歡迎來到多人壽險的世界！

在你的 CM1 學習之旅中，目前接觸的大多是關於單一個人（「單人壽險」，single life）的模型。但在現實世界中，許多保險產品涉及夫婦、商業夥伴或家庭。本章將介紹多人壽險模型，重點探討當涉及兩個生命時，我們該如何計算保費及精算現值。

如果剛開始覺得有點吃力，請別擔心！如果你已經理解了單人壽險函數，其實你已經掌握了核心要素，我們現在只是要學習如何將它們組合起來。這就像從「獨奏」轉變為「二重奏」——音樂雖然變得更豐富了，但基本的音符是一樣的。


1. 兩種基本狀態：聯生（Joint Life）與最後生存者（Last Survivor）

處理兩個生命，假設為 (x) 和 (y) 時，我們通常關注兩種情境：當第一個人去世時，或是當最後一個人去世時。

聯生狀態 \( (xy) \)

聯生狀態（Joint Life status）僅在兩者皆存活時存在。只要其中一人（首位）去世，該狀態即「失效」或結束。

類比：想像一場網球雙打比賽。只要其中一位球員離開球場，「團隊」狀態就結束了。

  • 符號：簡單記作 \( xy \)。
  • 生存機率：若狀態要存活 \( t \) 年，\( x \) 和 \( y \) 必須同時存活。假設兩者獨立：\( {}_tp_{xy} = {}_tp_x \times {}_tp_y \)。

最後生存者狀態 \( (\overline{xy}) \)

最後生存者狀態（Last Survivor status）只要有至少其中一人存活，該狀態就持續存在。只有在第二個人（最後一人）去世時，該狀態才會「失效」。

類比：想像一張「買一送一」優惠券，只要你的袋子裡還剩下至少一件商品，優惠券就仍然有效。

  • 符號：我們在年齡上方加上一條橫線來表示：\( \overline{xy} \)。
  • 生存機率：這是指 \( x \) 存活，或 \( y \) 存活，或兩者皆存活的機率。計算上，使用 \( 1 - (\text{兩者皆死亡的機率}) \) 會更簡單。
  • 公式： \( {}_tp_{\overline{xy}} = {}_tp_x + {}_tp_y - {}_tp_{xy} \)。

快速回顧：
聯生 \( (xy) \) = 結束於第一人死亡。
最後生存者 \( (\overline{xy}) \) = 結束於第二人死亡。


2. 兩人的壽險保單函數

與單人壽險一樣，我們也可以根據這些狀態來設計給付保險金的契約。

聯生壽險 \( A_{xy} \)

此保單在第一人死亡的年度末（若是 \( \bar{A}_{xy} \) 則為立即）支付 1 單位的保險金。誰先去世並不重要，只要有人先離世，錢就會支付。

最後生存者壽險 \( A_{\overline{xy}} \)

此保單在第二人死亡的年度末支付 1 單位的保險金。這常見於用於遺產稅規劃的「終身壽險」保單。

核心關係公式

有一個你必須背誦的重要恆等式，它連結了單人、聯生與最後生存者：

\( A_x + A_y = A_{xy} + A_{\overline{xy}} \)

為什麼？你可以這樣想：如果你擁有兩份保單——一份在第一人死亡時給付，另一份在第二人死亡時給付——你總共保證會有兩筆給付，分別對應 \( x \) 的死亡和 \( y \) 的死亡。

重點提示：如果你知道其中三個數值，就一定能算出第四個！


3. 兩人的年金函數

年金的邏輯與壽險相同，我們只需決定付款何時停止。

聯生年金 \( a_{xy} \)

只要兩者皆存活，付款就會持續。一旦其中一人去世，付款即停止。

最後生存者年金 \( a_{\overline{xy}} \)

只要至少一人存活，付款就會持續。這是夫妻之間最常見的退休金類型；如果其中一人去世，倖存者將繼續領取收入。

公式：
就像壽險一樣，我們有一個漂亮的關係式：
\( a_{\overline{xy}} = a_x + a_y - a_{xy} \)

逐步計算技巧：
1. 計算單人年金 \( a_x \) 和 \( a_y \)。
2. 計算聯生年金 \( a_{xy} \)。
3. 使用上述公式求出最後生存者年金。


4. 條件式壽險（Contingent Assurances）

有時，保險金僅在特定人士先去世時才支付。我們在必須先去世的那個人年齡上方標上一個小的「1」來代表。

  • \( A_{xy}^1 \)：在 \( x \) 死亡時支付保險金，前提是 \( x \) 比 \( y \) 先去世。
  • \( A_{xy}^2 \)：在 \( x \) 死亡時支付保險金，前提是 \( x \) 在 \( y \) 之後去世。

你知道嗎？
如果你將 \( A_{xy}^1 \) 和 \( A_{yx}^1 \) 相加，你會得到 \( A_{xy} \)。這是因為第一個去世的人必然是 \( x \) 或 \( y \) 其中之一！

常見錯誤：不要將 \( A_{xy}^2 \) 與 \( A_{\overline{xy}} \) 搞混。\( A_{\overline{xy}} \) 在第二人死亡時支付（無論是誰）。\( A_{xy}^2 \) 則是在 \( x \) 死亡時支付，但前提是 \( x \) 是後離世的那一個。


5. 延後給付年金（Reversionary Annuities）

延後給付年金（Reversionary annuity）是一種特殊的「等待型」年金，通常記為 \( a_{x|y} \)。這意味著年金會支付給 \( y \)，但僅在 \( x \) 去世之後才開始。

類比：想像一場接力賽。\( y \) 正在等待 \( x \) 「交棒」（去世），之後 \( y \) 才能開始跑步（領取年金）。如果 \( y \) 比 \( x \) 先去世，年金就永遠不會開始！

簡單邏輯：
對 \( y \) 在 \( x \) 死後領取的延後年金現值，等於 \( y \) 全期年金的現值，減去他們同時存活期間的價值。
\( a_{x|y} = a_y - a_{xy} \)


6. 在獨立假設下的評估

為了在考試中解決這些問題，我們通常假設兩個生命是獨立的，這會讓數學運算簡單得多。

獨立性的關鍵規則：
  1. 生存機率： \( {}_tp_{xy} = {}_tp_x \times {}_tp_y \)。
  2. 死亡力（Force of Mortality）：聯生狀態的死亡力是個別死亡力的總和： \( \mu_{xy}(t) = \mu_x(t) + \mu_y(t) \)。
  3. 預期現值 (EPV)：如果兩人的死亡力皆為常數（假設為 \( \mu_x \) 和 \( \mu_y \)）且利率為 \( \delta \)，則：
    \( \bar{a}_{xy} = \frac{1}{\mu_x + \mu_y + \delta} \)

記憶小撇步：對於聯生狀態，狀態結束的「風險」較高，因為有兩個人都可能導致狀態結束。這就是為什麼我們將死亡力相加的原因！


7. 總結與快速回顧

必須背誦的關鍵公式：

  • 最後生存者年金： \( a_{\overline{xy}} = a_x + a_y - a_{xy} \)
  • 延後給付年金： \( a_{x|y} = a_y - a_{xy} \)
  • 機率（聯生）： \( {}_tp_{xy} = {}_tp_x \times {}_tp_y \)
  • 機率（最後生存者）： \( {}_tp_{\overline{xy}} = {}_tp_x + {}_tp_y - ({}_tp_x \times {}_tp_y) \)

最後鼓勵：多人壽險函數的核心在於理解為了讓保險金支付，誰必須保持存活。如果卡住了，試著畫出時間軸——標出 \( x \) 何時死亡、\( y \) 何時死亡，並標示出發生給付的區間。你一定做得到的！