多狀態模型中的期望現值 (EPV) 簡介
歡迎！在 CM1 的學習旅程中，我們已經研究過多狀態模型的「組件」——了解人們如何在健康 (Healthy)、患病 (Sick) 和死亡 (Dead) 等狀態之間轉移。現在，我們將運用這些知識來做一些非常實用的事情：為這些轉移標上「價格」！
在本章中，我們將學習如何計算取決於這些轉移的現金流量的期望現值 (Expected Present Value, EPV)。無論是在受保人生病時支付的疾病津貼，還是在被診斷出患有某種疾病時立即支付的一筆過補償，這些技術都是現代健康保險定價的基石。
註：本章內容直接建立在上一章「多狀態馬可夫模型：轉移強度與概率」的基礎上。我們假設你已經熟悉轉移概率 \( {}_t p_x^{ij} \) 和轉移強度 \( \mu_{x+t}^{ij} \) 的概念。
現金流量的三大支柱
在處理多狀態模型（如健康保險）時，現金流量通常分為以下三類：
- 保費 (Premiums)： 通常在受保人處於健康狀態時連續支付。
- 年金類給付 (Annuity-type Benefits)： 在受保人處於特定狀態（例如患病）時連續支付。
- 一筆過給付 (Lump Sum Benefits)： 在發生特定轉移（例如從健康轉到死亡）的瞬間立即支付。
要計算其中任何一項的 EPV，我們都遵循一個簡單的黃金準則：價值 = (金額) \(\times\) (折現因子) \(\times\) (概率)。由於這些現金流量是隨時間發生的，我們使用微積分（積分）來進行加總。
1. 在某狀態下應付給付的 EPV
想像一份保單，當受保人處於患病 (s) 狀態時，每年會以 \( \$1 \) 的速率支付疾病津貼。如果該受保人在 \( x \) 歲時處於健康 (h) 狀態，那麼這份津貼在今天的價值是多少？
我們需要加總在每個可能的時刻 \( t \)，受保人處於「患病」狀態的折現概率。
計算公式：
假定受保人目前處於狀態 \( i \)，在狀態 \( j \) 期間每年度支付金額為 \( 1 \) 的連續年金 EPV 記作 \( \bar{a}_x^{ij} \)：
\( \bar{a}_x^{ij} = \int_{0}^{n} e^{-\delta t} \cdot {}_t p_x^{ij} \, dt \)
公式拆解：
- \( e^{-\delta t} \)：這是我們的折現因子（將未來的金錢折算回今天）。
- \( {}_t p_x^{ij} \)：這是 \( x \) 歲處於狀態 \( i \) 的人在時間 \( t \) 時處於狀態 \( j \) 的概率。
- \( \int_{0}^{n} \dots dt \)：我們正在將從時間 \( 0 \) 到合約結束時間 \( n \) 的所有微小價值片段加總起來。
小貼士： 如果給付是在受保人維持其初始狀態時支付的（例如健康時支付保費），公式則使用 \( {}_t p_x^{ii} \)。
2. 發生轉移時應付給付的 EPV
有些給付並非因為受保人「處於」某個狀態而支付，而是因為「轉移」到另一個狀態的行為而支付。例如，當受保人從健康 (h) 轉移到死亡 (d) 的瞬間，立即支付 \( \$10,000 \) 的一筆過保險金。
為了計算這項價值的 EPV，我們會觀察在時間 \( t \) 處於狀態 \( i \)，並在該瞬間「跳躍」到狀態 \( j \) 的概率。
計算公式：
從狀態 \( i \) 轉移到狀態 \( j \) 時立即支付金額 \( 1 \) 的給付 EPV 為：
\( EPV = \int_{0}^{n} e^{-\delta t} \cdot {}_t p_x^{ii} \cdot \mu_{x+t}^{ij} \, dt \)
為什麼用這個公式？
可以將其視為一連串的事件：
1. 該受保人必須在時間 \( t \) 處於狀態 \( i \)。概率為：\( {}_t p_x^{ii} \)。
2. 他們必須在該瞬間轉移到狀態 \( j \)。強度為：\( \mu_{x+t}^{ij} \)。
3. 我們將這筆支付折現回今天：\( e^{-\delta t} \)。
要避免的常見錯誤： 學生經常混淆 \( {}_t p_x^{ij} \) 和 \( {}_t p_x^{ii} \mu_{x+t}^{ij} \)。請記住：
- \( {}_t p_x^{ij} \) 是在時間 \( t \) 處於狀態 \( j \) 的概率。
- \( {}_t p_x^{ii} \mu_{x+t}^{ij} \) 與進入狀態 \( j \) 的瞬間有關。
3. 計算保費（等值原理）
就像在較簡單的人壽保險模型中一樣，我們使用等值原理 (Equivalence Principle) 來計算保費。該原理指出：
保費的 EPV = 給付的 EPV
假設我們有一個「健康-患病-死亡」模型。受保人在健康 (h) 時支付連續保費 \( P \)。作為回報，他們在患病 (s) 時獲得連續給付 \( B \)，如果直接從健康狀態死亡 (d)，則獲得一筆過給付 \( S \)。
價值等式如下：
\( P \cdot \bar{a}_x^{hh} = B \cdot \bar{a}_x^{hs} + S \cdot \int_{0}^{n} e^{-\delta t} \cdot {}_t p_x^{hh} \cdot \mu_{x+t}^{hd} \, dt \)
循序漸進的方法：
1. 確定所有可能的狀態和轉移。
2. 列出所有現金流量（它們處於哪個狀態？由哪個轉移觸發？）。
3. 寫下每項現金流量的積分。
4. 設定總 EPV (收入) = 總 EPV (支出)，並解出未知數。
簡單情況與常數強度
課程綱要提到你只需要在簡單情況下進行計算。通常這意味著轉移強度 (\( \mu \)) 和利息強度 (\( \delta \)) 均為常數的情況。
當這些數值為常數時，積分會變得容易得多。例如，如果 \( \mu \) 是離開某個狀態的唯一途徑，那麼留在該狀態的概率為 \( e^{-\mu t} \)。積分則如下所示：
\( \int_{0}^{\infty} e^{-\delta t} \cdot e^{-\mu t} \, dt = \int_{0}^{\infty} e^{-(\delta + \mu) t} \, dt = \frac{1}{\delta + \mu} \)
你知道嗎？這在數學上與連續永續年金的公式 \( \bar{a}_{\infty} = 1/\delta \) 完全相同，只是使用了一個考慮了離開該狀態風險的「調整後」利率！
快速複習：核心重點
「狀態」準則： 如果款項是因佔用某狀態而支付，請使用處於該狀態的概率 (\( {}_t p_x^{ij} \))。
「轉移」準則： 如果款項是因在狀態之間移動而支付，請使用處於第一個狀態的概率乘以轉移強度 (\( {}_t p_x^{ii} \cdot \mu_{x+t}^{ij} \))。
「折現」準則： 務必在積分中包含折現因子 \( e^{-\delta t} \)。
「等值」準則： 收入的 EPV = 支出的 EPV。
總結與下一步
在多狀態模型中計算 EPV 可能會因為積分而顯得令人畏縮，但這其實只是基本壽險精算原理的邏輯延伸。一旦你確定給付是為了「停留」還是「離開」，公式自然就水到渠成了！
在下一章中，我們將研究多重減損表 (Multiple Decrement Tables)，這是一種特殊的多狀態模型，其中的轉移是單向的（不可恢復！）。理解了這裡的 EPV 邏輯，將使那一章的內容更容易掌握。