健康保險結構簡介

歡迎！在這個章節中，我們將會把學過的「多重狀態模型」(Multiple State Models) 理論應用到現實世界的場景：健康保險。如果你曾經好奇保險公司是如何決定入息保障 (Income Protection) 或危疾保障 (Critical Illness cover) 的收費，這裡就是關鍵所在。

如果轉移符號起初看起來像外星語，請不用擔心。我們只是從「生存或死亡」（單一減損模型）轉向一個包含「健康」、「患病」或「死亡」的世界。讀完這份筆記後，你將能夠自信地建立計算這些看似複雜的現金流所需的方程。

基礎三狀態模型

大多數健康保險數學的基礎是健康-患病-死亡模型 (Healthy-Sick-Dead Model，通常稱為 Sickness-Death model)。它通常由三個狀態組成：

  • 狀態 H (Healthy - 健康)： 起始點。受保人正在工作並繳付保費。
  • 狀態 S (Sick - 患病)： 受保人患病並正在領取患病津貼。
  • 狀態 D (Dead - 死亡)： 吸收狀態 (Absorbing state)。不再支付保費或患病津貼。

轉移強度 (Transition Forces)： 我們使用 \(\mu_{x+t}^{jk}\) 來表示在年齡 \(x+t\) 時，從狀態 \(j\) 轉移到狀態 \(k\) 的「強度」或瞬時率。在健康保險中，最常見的轉移包括：

  • \(\mu_{x+t}^{HS}\)：患病強度（成為索償人）。
  • \(\mu_{x+t}^{SH}\)：康復強度（重拾健康）。
  • \(\mu_{x+t}^{HD}\)：健康人士的死亡強度。
  • \(\mu_{x+t}^{SD}\)：患病人士的死亡強度（可能高於健康人士！）。

快速複習： 在 CM1 中，我們通常假設這些強度在特定區間內（例如每一歲之間）是常數，以便於處理積分計算！

健康保險給付類型

在本章中，我們專注於保單賠付的兩種主要方式：

1. 患病津貼 (入息保障)

這是在受保人處於「患病」狀態期間進行的連續支付。你可以把它想像成一種「薪金替代」，只要受保人仍在患病，支付就不會停止。

每年支付額為 \(S\)、支付期為 \(n\) 年的患病津貼的預期現值 (EPV) 為：

\(EPV = \int_{0}^{n} S \cdot e^{-\delta t} \cdot {}_t p_x^{HS} dt\)

其中 \({}_t p_x^{HS}\) 是指目前健康的人（年齡為 \(x\)）在時間 \(t\) 處於患病狀態的機率。

2. 一筆過給付 (危疾/死亡)

這些是在轉移發生的那一刻支付的一筆過賠償。例如，一份危疾保單可能會在某人從「健康」轉移到「患病」的那一刻支付金額 \(B\)。

在從健康轉移到患病時立即支付的給付 \(B\) 的 EPV 為：

\(EPV = \int_{0}^{n} B \cdot e^{-\delta t} \cdot {}_t p_x^{HH} \cdot \mu_{x+t}^{HS} dt\)

重點提示： 如果給付是基於「處於某個狀態」，我們使用處於該狀態的機率。如果給付是基於「狀態間的轉移」，我們則使用處於起始狀態的機率乘以轉移強度。

保費結構

保險不是免費的！受保人必須繳付保費以維持保障有效。在健康保險模型中，我們通常假設：

  • 保費以每年 \(P\) 的比率連續支付。
  • 保費僅在受保人健康時（狀態 H）支付。
  • 如果受保人患病，通常會豁免保費（他們在領取津貼期間停止繳費）。

保障期為 \(n\) 年的保費 EPV 為：

\(EPV(Premiums) = \int_{0}^{n} P \cdot e^{-\delta t} \cdot {}_t p_x^{HH} dt\)

你知道嗎？ 「保費豁免」(Waiver of Premium) 是現實保險中常見的功能。這意味著當你因病重無法工作時，保險公司實際上會替你支付保費。

應用價值方程

為了找到淨保費 (Net Premium，即在不考慮開支或利潤的情況下，完美平衡給付成本的保費)，我們使用等值原理 (Equivalence Principle)：

保費 EPV = 給付 EPV

逐步計算指南：
  1. 識別狀態： 通常是健康 (Healthy)、患病 (Sick) 和死亡 (Dead)。
  2. 識別現金流：
    • 流出：健康時的保費 (\(P \times {}_t p_x^{HH}\))。
    • 流入：患病時的患病津貼 (\(S \times {}_t p_x^{HS}\))。
    • 流入：患病轉移時的一筆過給付 (\(B \times {}_t p_x^{HH} \mu_{x+t}^{HS}\))。
  3. 建立積分： 使用 \(e^{-\delta t}\) 對每項現金流進行折現。
  4. 求解未知數： 通常題目會要求你計算年保費率 \(P\)。

應避免的常見錯誤

1. 混淆機率： 在計算轉移時的一筆過給付時錯誤地使用了 \({}_t p_x^{HS}\)。請記住：\({}_t p_x^{HS}\) 表示該人在時間 \(t\) 已經處於患病狀態。對於在病倒那一刻支付的一筆過賠償，你需要使用強度 \(\mu\)。

2. 遺漏「生存」要求： 為了支付保費，受保人必須處於健康狀態 (\(HH\))。如果他們患病或死亡，保費收入就會停止。

3. 積分上下限： 務必檢查給付是終身的還是固定年期 (\(n\)) 的。

總結表：EPV 公式

現金流類型 觸發條件 積分內的數學項
連續保費 處於狀態 H \(P \cdot {}_t p_x^{HH}\)
連續給付 處於狀態 S \(S \cdot {}_t p_x^{HS}\)
患病時的一筆過給付 轉移 H \(\to\) S \(B \cdot {}_t p_x^{HH} \cdot \mu_{x+t}^{HS}\)
死亡時的一筆過給付 轉移 H \(\to\) D \(D \cdot {}_t p_x^{HH} \cdot \mu_{x+t}^{HD}\)

關於康復的備註： 如果模型允許康復 (\(S \to H\))，機率 \({}_t p_x^{HH}\) 會變得更複雜，因為它必須考慮到那些曾經患病後又康復的人！這些機率通常使用「多重狀態馬可夫模型」(Multiple-state Markov models) 章節中的方法來計算。

考試重點： 大多數關於此主題的 CM1 考試題目都會為你提供轉移機率，或要求你定義積分。請專注於理解為什麼在特定的給付中要使用特定的機率 (\(p\)) 或強度 (\(\mu\))。