弧度制、弧長及扇形面積
歡迎來到弧度制（radian measure）這一章！如果你曾經好奇為甚麼數學家喜歡用弧度而不是度數（degrees），本章就會為你揭曉答案。度數是把一個圓隨意劃分為 \(360\) 等份（這個概念可追溯至古巴比倫時代），而弧度則是利用圓本身的幾何特徵——即半徑與弧長——來量度角。這令許多幾何公式變得格外簡潔優美。
在 Pearson Edexcel 國際 GCSE 進階純粹數學（Further Pure Mathematics）考試（卷一及卷二）中，弧度題目往往是大型坐標幾何、三角學或微積分綜合題的第一步。初學時若感到陌生也不必擔心——只要掌握好核心關係，這些公式絕對是整份試卷中最容易穩拿的分數！
1. 甚麼是弧度（Radian）？
試想像將一條長度等於圓半徑 \(r\) 的細繩，緊貼著圓周彎曲平放。這條彎曲弧線在圓心所張開的角，就定義為剛好 \(1\text{ 弧度}\)（\(1\text{ radian}\)）（通常縮寫為 \(1\text{ rad}\)，或帶有上標 \(\text{c}\)，寫成 \(1^{\text{c}}\)）。
由於整個圓周長度是 \(2\pi r\)，因此完整轉一圈（\(360^\circ\)）的圓周剛好包含 \(2\pi\) 個半徑長度的弧。由此我們得出最基本的等價關係：
\(2\pi\text{ 弧度} = 360^\circ\)
兩邊同除以 \(2\)，便可得出最實用的單位換算恆等式：
\(\pi\text{ 弧度} = 180^\circ\)
度數與弧度之間的換算
要在兩種單位之間進行換算：
• 由度數轉為弧度：乘以 \(\frac{\pi}{180^\circ}\)
• 由弧度轉為度數：乘以 \(\frac{180^\circ}{\pi}\)
例子：將 \(60^\circ\) 轉換為弧度。
\(60^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{60\pi}{180} = \frac{\pi}{3}\text{ 弧度}\)
例子：將 \(\frac{3\pi}{4}\text{ 弧度}\) 轉換為度數。
\(\frac{3\pi}{4} \times \frac{180^\circ}{\pi} = \frac{3 \times 180^\circ}{4} = 135^\circ\)
必須能即時反應的常用特殊角換算
• \(30^\circ = \frac{\pi}{6}\text{ rad}\)
• \(45^\circ = \frac{\pi}{4}\text{ rad}\)
• \(60^\circ = \frac{\pi}{3}\text{ rad}\)
• \(90^\circ = \frac{\pi}{2}\text{ rad}\)
• \(180^\circ = \pi\text{ rad}\)
• \(270^\circ = \frac{3\pi}{2}\text{ rad}\)
• \(360^\circ = 2\pi\text{ rad}\)
重點提示：\(\pi\text{ 弧度} = 180^\circ\)。請務必時刻將這個關係牢記在心。
2. 圓的弧長（Arc Length）
弧（arc）是圓周上的一段連續部分。當圓心角 \(\theta\) 以弧度為單位量度時，弧長 \(s\) 與半徑 \(r\) 之間的關係會變得極為直接。
回顧常規數學中以度數計算的公式：\(\text{弧長} = \frac{\theta^\circ}{360^\circ} \times 2\pi r\)。
把公式中的 \(360^\circ\) 替換為 \(2\pi\) 弧度，即可得出：
\(s = \frac{\theta}{2\pi} \times 2\pi r = r\theta\)
弧長公式：
\(s = r\theta\)
其中 \(r\) 為半徑，\(\theta\) 為所張的圓心角（以弧度表示）。
課程範圍重要注意事項：這條公式不會在考試附設的公式表（Appendix 4）中提供。課程指引（Appendix 5）明確要求考生必須熟背並默寫此公式。
扇形周界（Perimeter of a Sector）
扇形的形狀就像一片披薩。它的邊界由兩條直線邊（每條長度為 \(r\)）和一條彎曲的弧（弧長 \(s\)）組成。
\(\text{扇形周界} = 2r + s = 2r + r\theta = r(2 + \theta)\)
例題一：計算弧長及周界
一個圓的半徑為 \(6\text{ cm}\)。某扇形的圓心角為 \(\frac{2\pi}{3}\text{ 弧度}\)。
求：
(a) 該扇形的弧長，答案以 \(\pi\) 的精確倍數表示。
(b) 該扇形的總周界，答案準確至 \(3\) 位有效數字。
解題步驟：
(a) 應用 \(s = r\theta\)：
\(s = 6 \times \frac{2\pi}{3} = 4\pi\text{ cm}\)
(b) 應用 \(\text{周界} = 2r + s\)：
\(\text{周界} = 2(6) + 4\pi = 12 + 4\pi \approx 12 + 12.566 = 24.6\text{ cm}\)（準確至 \(3\text{ 位有效數字}\)）
重點提示：弧長計算非常簡單，就是 \(s = r\theta\)。如果題目要求計算扇形的周界，切記要在弧長之外加上兩條半徑的長度（\(2r\)）。
3. 扇形面積（Area of a Sector）
扇形（sector）是由兩條半徑及其間所夾的弧圍成的平面區域。與弧長一樣，當以弧度量度 \(\theta\) 時，面積公式亦會大幅簡化。
利用圓心角佔整個圓（\(2\pi\)）的比例計算：
\(\text{面積} = \frac{\theta}{2\pi} \times \pi r^2 = \frac{1}{2}r^2\theta\)
扇形面積公式：
\(A = \frac{1}{2}r^2\theta\)
其中 \(r\) 為半徑，\(\theta\) 為圓心角（以弧度表示）。
課程範圍重要注意事項：此公式同樣不會提供在考試公式表上，你必須將它熟記在心。
面積的另一種形式
留意到由於 \(s = r\theta\)，我們可以將 \(s\) 代入面積公式：
\(A = \frac{1}{2}r(r\theta) = \frac{1}{2}rs\)
如果題目直接給出了弧長和半徑，這條變形公式就能派上用場，無需先計算角 \(\theta\)！
例題二：求未知角
一個半徑為 \(8\text{ cm}\) 的扇形，其面積為 \(28\text{ cm}^2\)。
求該扇形的角 \(\theta\)（以弧度表示），答案準確至 \(3\) 位有效數字。
解題步驟：
\(A = \frac{1}{2}r^2\theta\)
\(28 = \frac{1}{2}(8)^2\theta\)
\(28 = \frac{1}{2}(64)\theta\)
\(28 = 32\theta\)
\(\theta = \frac{28}{32} = \frac{7}{8} = 0.875\text{ 弧度}\)
重點提示：扇形面積為 \(A = \frac{1}{2}r^2\theta\)。進行乘法計算前，請務必先確認 \(\theta\) 已轉換為弧度單位。
4. 弓形（Segments of a Circle）
弓形（segment）是由一條弦（chord）及連接其兩端點的弧所圍成的區域。一條弦會把圓分成兩個弓形：劣弓形（minor segment）（面積較小者）和優弓形（major segment）（面積較大者）。
劣弓形面積
要計算劣弓形的面積，只需從整個扇形的面積中，減去由圓心和弦所組成的等腰三角形面積：
\(\text{弓形面積} = \text{扇形面積} - \text{三角形面積}\)
回顧第 10D 節的三角形面積公式：\(\text{面積} = \frac{1}{2}ab\sin C\)。
在這裡，夾角兩旁的邊長都是半徑（\(a = r, b = r\)），夾角為 \(\theta\)：
\(\text{三角形面積} = \frac{1}{2}r^2\sin\theta\)
綜合以上兩者：
\(\text{弓形面積} = \frac{1}{2}r^2\theta - \frac{1}{2}r^2\sin\theta = \frac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)\)
弓形周界
弓形的周界由彎曲的弧和筆直的弦組成。
• 彎曲弧長：\(s = r\theta\)
• 直線弦長：應用第 10D 節的餘弦定理（余弦定理，cosine rule：\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\)）：
\(\text{弦長}^2 = r^2 + r^2 - 2(r)(r)\cos\theta = 2r^2 - 2r^2\cos\theta = 2r^2(1 - \cos\theta)\)
另一種方法是將等腰三角形平分成兩個直角三角形，得出 \(\text{弦長} = 2r\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\)。
\(\text{弓形周界} = r\theta + 2r\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\)
例題三：典型考試綜合題
圓心為 \(O\) 的圓半徑為 \(r = 5\text{ cm}\)。圓周上有 \(A\)、\(B\) 兩點，使得 \(\angle AOB = 1.2\text{ 弧度}\)。
計算：
(a) 弦 \(AB\) 的長度，準確至 \(3\) 位有效數字。
(b) 由弦 \(AB\) 與弧 \(AB\) 圍成的劣弓形面積，準確至 \(3\) 位有效數字。
解題步驟：
(a) 對 \(\triangle AOB\) 應用餘弦定理：
\(AB^2 = 5^2 + 5^2 - 2(5)(5)\cos(1.2)\)
請確保計算機已設定為 RAD（弧度）模式！ \(\cos(1.2) \approx 0.362358\)
\(AB^2 = 25 + 25 - 50(0.362358) = 50 - 18.1179 = 31.882\)
\(AB = \sqrt{31.882} \approx 5.65\text{ cm}\)
(b) 應用弓形面積公式：
\(\text{面積} = \frac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)\)
\(\text{面積} = \frac{1}{2}(5^2)(1.2 - \sin(1.2))\)
計算機保持在弧度模式：\(\sin(1.2) \approx 0.932039\)
\(\text{面積} = \frac{25}{2}(1.2 - 0.932039) = 12.5 \times 0.267961 \approx 3.35\text{ cm}^2\)
重點提示：弓形面積公式為 \(\frac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)\)。千萬不要在計算機設為度數（DEG）模式時計算這條公式！
5. 常見陷阱與應試心得
• 計算機模式（Calculator Mode）：這是進階純數考試中最常失分的原因。當計算 \(\sin\theta\) 或 \(\cos\theta\) 且 \(\theta\) 為弧度時，必須檢查計算機屏幕顯示為 R（弧度），而非 D（度數）。
• 周界 vs. 弧長：審題時務必看清用字。如果題目要求計算扇形周界（perimeter of the sector），不少同學往往只計算了弧長 \(r\theta\)，卻忘了加上兩條直線半徑（\(+ 2r\)）。
• 精確值 vs. 近似值：Edexcel 試卷經常要求以 \(\pi\) 表示精確答案（例如 \(4\pi\text{ cm}\)）。除非題目另有指明，否則應給出含 \(\pi\) 的精確倍數，或將非整除答案捨入至 \(3\) 位有效數字。
• 題目以度數給出角度：如果試題給出的角以度數表示，在使用 \(s = r\theta\) 或 \(A = \frac{1}{2}r^2\theta\) 之前，必須先將其轉換為弧度。
6. 快速溫習摘要
單位換算：\(\pi\text{ rad} = 180^\circ \implies 1\text{ rad} = \frac{180^\circ}{\pi}\)
弧長：\(s = r\theta\)
扇形周界：\(P = 2r + r\theta\)
扇形面積：\(A = \frac{1}{2}r^2\theta\)
扇形內三角形面積：\(A_{\text{三角形}} = \frac{1}{2}r^2\sin\theta\)
劣弓形面積：\(A_{\text{弓形}} = \frac{1}{2}r^2(\theta - \sin\theta)\)