代數與函數

歡迎來到純數學 3：代數與函數！

哈囉！你已經來到單元 P3 了，這一章節「代數與函數」絕對是這門課的重頭戲。雖然有些概念可能讓你覺得跟 P1 或 P2 的內容似曾相識，但我們現在要深入探索更複雜且重要的工具——特別是部分分式（Partial Fractions）和模函數（Modulus Function）。

如果一開始覺得有點難度也不用擔心！我們會把每一個概念拆解成清晰、易懂的操作步驟。掌握這些內容至關重要，因為部分分式往往是稍後在 P3 處理複雜積分問題的關鍵，而模函數則引入了一套全新的作圖和解方程技巧。讓我們開始吧！

第一節：代數分式與部分分式

1.1 真分式與假分式（快速重溫）

在我們開始拆分分式之前，必須先確認我們的代數分式是否為真分式（Proper Fraction）。

• 真分式：分子中 \(x\) 的最高次冪（次數）嚴格小於分母中 \(x\) 的最高次冪。 例子： \(\frac{2x + 1}{x^2 + 5x - 6}\)（1 次除以 2 次）。
• 假分式：分子中 \(x\) 的最高次冪（次數）大於或等於分母中 \(x\) 的最高次冪。 例子： \(\frac{x^3 - 2x + 1}{x^2 - 1}\)（3 次除以 2 次）。

關鍵步驟：如果遇到假分式，你必須先進行代數除法（多項式除法）。

若 \(\frac{A(x)}{B(x)}\) 是假分式，你必須將其除開，變為以下形式：

\[ \frac{A(x)}{B(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{B(x)} \]

其中 \(Q(x)\) 是商式（多項式部分），而 \(\frac{R(x)}{B(x)}\) 現在變成了一個可以進行部分分式拆解的真分式。

1.2 部分分式簡介

部分分式是將分式加法「逆向操作」的過程。我們將一個複雜的分式拆成兩個或多個更簡單的分式，這樣在後續運算（特別是積分）時會方便許多。

情況 A：分母為不同的線性因子

這是最常見的情況。如果分母可以因式分解為唯一且互異的線性項，即 \((ax+b)\) 和 \((cx+d)\)，那麼部分分式的結構就非常直觀。

設定規則：對於分式 \(\frac{P(x)}{(x+a)(x-b)}\)，我們寫成：

\[ \frac{P(x)}{(x+a)(x-b)} \equiv \frac{A}{x+a} + \frac{B}{x-b} \]

分步解法：

1. 設定恆等式（如上）。
2. 將整個恆等式兩邊同時乘上原始分母 \((x+a)(x-b)\)，以消去分母。
3. 方法 1：代入法（最簡單的方法）

   代入使括號變為零的 \(x\) 值（例如 \(x = -a\) 和 \(x = b\)）。這樣可以立刻抵銷掉一個未知數（\(A\) 或 \(B\)），從而求出另一個。

4. 方法 2：比較係數法

   展開等式右邊，並歸納 \(x^2\)、\(x\) 和常數項。令這些項的係數等於原始分子中對應項的係數。這會組成一組聯立方程。

速度小貼士：務必先使用代入法求出盡可能多的常數！只有當代入法無法再找出更多因子時（例如在情況 B 或 C 中），才考慮使用比較係數法。

情況 B：分母為重複的線性因子

如果一個因子出現了兩次，例如 \((x+a)^2\)，我們必須同時考慮單一因子和平方因子。這是學生最容易出錯的地方！

設定規則：對於分式 \(\frac{P(x)}{(x+a)^2(x-b)}\)，我們寫成：

\[ \frac{P(x)}{(x+a)^2(x-b)} \equiv \frac{A}{x+a} + \frac{B}{(x+a)^2} + \frac{C}{x-b} \]

例子：如果分母是 \((x-1)^3\)，你需要三個項：\(\frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{(x-1)^3}\)。

解題策略：

1. 使用代入法找出 \(B\) 和 \(C\)。(設 \(x=1\) 可找出 \(C\)，設 \(x=b\) 可找出 \(B\))。
2. 完成代入後，你必須使用比較係數法（例如比較 \(x\) 最高次項的係數）或代入一個簡單的數值（如 \(x=0\)）來求出最後一個未知常數 \(A\)。

情況 C：分母含有不可約二次因子

不可約二次因子（Irreducible Quadratic Factor）是指無法在實數範圍內進一步因式分解的二次表達式（例如 \(x^2 + 4\)）（即它沒有實數根）。

設定規則：對於分式 \(\frac{P(x)}{(x^2+ax+b)(x-c)}\)，其中 \(x^2+ax+b\) 為不可約二次式，我們寫成：

\[ \frac{P(x)}{(x^2+ax+b)(x-c)} \equiv \frac{Ax+B}{x^2+ax+b} + \frac{C}{x-c} \]

請注意，位於二次因子上的分子必須是線性項（\(Ax+B\)）。

解題策略：

1. 對線性因子使用代入法以求出 \(C\)。(例如，設 \(x=c\))。
2. 使用比較係數法（特別是針對最高次項，如 \(x^3\)，以及常數項）來設定聯立方程，從而求出 \(A\) 和 \(B\)。

第二節：模函數（絕對值）

模函數（Modulus Function），記作 \(|x|\)，代表 \(x\) 的絕對值。從概念上講，它表示一個數與零的距離，而距離永遠是正的！

2.1 定義與符號

模函數的分段定義如下：

\[ |x| = \begin{cases}\nx & \text{若 } x \ge 0 \ -x & \text{若 } x < 0 \end{cases} \]

例子： \(|5| = 5\)。但 \(|-5| = -(-5) = 5\)。

2.2 涉及模函數的圖像

理解模函數圖像的幾何意義對於作圖和圖解方程至關重要。

變換 1：\(y = |f(x)|\)

這表示你在計算出函數值之後再取絕對值。

規則：\(y = |f(x)|\) 的圖像可以透過將 \(y = f(x)\) 中所有位於 x 軸下方的部分，反射到正數區域（x 軸上方）而獲得。負數部分被「翻」上來了。

類比：想像 x 軸是一個鉸鏈，所有低於鉸鏈的部分都被往上翻轉。

變換 2：\(y = f(|x|)\)

這表示你對輸入變數 \(x\) 取絕對值。

規則：\(y = f(|x|)\) 的圖像總是關於 y 軸對稱的。

1. 畫出 \(x \ge 0\) 時的函數圖像。
2. 擦掉 \(x < 0\) 時的圖像。
3. 將 \(x \ge 0\) 的部分沿 y 軸反射，以填補 \(x < 0\) 的區域。

你知道嗎？滿足 \(f(x) = f(-x)\) 的函數稱為偶函數（even functions），它們總是具有 y 軸對稱性，這正是 \(y = f(|x|)\) 所產生的效果！

2.3 解涉及模函數的方程

在解 \(|ax + b| = c\) 或 \(|f(x)| = |g(x)|\) 這類方程時，有兩種可靠的方法。

方法 1：分段討論（推薦，簡單明瞭）

由於絕對值內的表達式可能是正數或負數，我們檢驗這兩種可能性。

分步解法（針對 \(|ax + b| = cx + d\)）：

1. 情況 1（正數）：假設括號內的表達式為正或零。 \[ ax + b = cx + d \]
2. 情況 2（負數）：假設括號內的表達式為負。我們必須在表達式前面加一個負號。 \[ -(ax + b) = cx + d \]
3. 解出這兩個線性方程，找出 \(x\) 的所有潛在解。
4. 驗根：務必將答案代回原始方程進行驗算，特別是如果右邊也包含 \(x\) 的情況。模函數問題有時會產生增根（extraneous solutions）（即符合衍生出的方程，但不符合原始方程的解）。

方法 2：兩邊平方

如果你兩邊都有模函數符號，平方通常很有效，因為 \(|A|^2 = A^2\)。

例子： \(|x + 1| = |2x - 5|\)
\[ (x + 1)^2 = (2x - 5)^2 \]

這會將方程簡化為標準的二次方程，你可以正常解出。此方法適用於方程，且當兩邊都已經是正數（即皆為模函數）時，可避免增根問題。

2.4 解涉及模函數的不等式

解模不等式比解方程需要更謹慎，我們強烈依賴其定義及對函數圖像的理解。

含有常數的不等式（快速技巧）

若 \(a\) 為正數：

• 「小於」（AND / 內部）： \(|x| < a\) 意指 \(x\) 與零的距離在 \(a\) 之內。 \[ |x| < a \implies -a < x < a \]
• 「大於」（OR / 外部）： \(|x| > a\) 意指 \(x\) 與零的距離大於 \(a\)。 \[ |x| > a \implies x > a \quad \text{或} \quad x < -a \]

涉及 \(x\) 在兩邊的不等式（唯一安全的方法）

解類似 \(|2x - 1| \le x + 4\) 的不等式時，兩邊平方是首選方法，但在處理表達式的符號時必須非常小心。

建議方法：平方（但務必記住符號限制！）

對於 \(|f(x)| \le g(x)\)：

1. 建立右邊的限制條件：由於 \(|f(x)|\) 永遠非負，右邊的表達式 \(g(x)\) 也必須非負才能有解。

   必要條件： \(g(x) \ge 0\)。這個限制必須納入你的最終解集中。

2. 兩邊平方：將兩邊平方並解出相應的二次不等式。 \[ (f(x))^2 \le (g(x))^2 \]
3. 合併解集：你的最終答案必須同時滿足步驟 2 找出的解集 AND 步驟 1 找出的限制條件。

替代方法：畫出 \(y = |f(x)|\) 和 \(y = g(x)\) 的圖像，找出哪個圖形高於另一個，這通常是解決複雜模不等式最直觀的方式。