歡迎來到微分的世界！
你好，未來的數學家！本章節微分 (Differentiation) 可說是純粹數學中最強大的工具之一。別擔心公式起初看起來很複雜；我們會把它們拆解成簡單的小部分。在本單元結束時，你將能夠計算幾乎所有複雜函數的瞬間變化率。
我們會學到什麼？ 我們將超越 P1/P2 中基礎的多項式微分，引入新的函數（例如 \(e^x\) 和 \(\ln x\)），以及處理複雜現實問題所需的進階技巧（例如積法則 Product Rule 和商法則 Quotient Rule）。
1. P3 微分核心：指數、對數及三角函數
在 P1 和 P2 中，我們主要對 \(x^n\) 進行微分。現在，我們要引入定義 P3 數學的關鍵函數。
1.1. 指數函數與對數函數
數值 e（約為 2.718）非常特別，因為函數 \(y = e^x\) 的斜率（梯度）永遠等於該函數本身的值！
法則：
- 若 \( y = e^x \)，則 \( \frac{dy}{dx} = e^x \)。
- 若 \( y = e^{kx} \)，則 \( \frac{dy}{dx} = ke^{kx} \)。 （我們需要乘以冪次中的常數。）
- 若 \( y = \ln x \)，則 \( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x} \)。 （此規則僅適用於 \( x > 0 \)。）
例 1.1：基礎 P3 微分
求 \( y = 5e^{3x} - 2\ln x \) 的微分：
\begin{align*} \frac{dy}{dx} &= 5(3e^{3x}) - 2\left(\frac{1}{x}\right) \\ &= 15e^{3x} - \frac{2}{x} \end{align*}
1.2. 三角函數的微分（P3 範疇）
你應該還記得先前模組中關於正弦 (sine) 和餘弦 (cosine) 的微分規則。但 P3 要求你掌握正切 (tangent) 以及三個倒數函數：正割 (secant)、餘割 (cosecant) 和餘切 (cotangent) 的規則。
六大核心法則：
- 若 \( y = \sin x \)，則 \( \frac{dy}{dx} = \cos x \)。
- 若 \( y = \cos x \)，則 \( \frac{dy}{dx} = -\sin x \)。 （注意負號！）
- 若 \( y = \tan x \)，則 \( \frac{dy}{dx} = \sec^2 x \)。
- 若 \( y = \sec x \)，則 \( \frac{dy}{dx} = \sec x \tan x \)。
- 若 \( y = \csc x \)，則 \( \frac{dy}{dx} = -\csc x \cot x \)。
- 若 \( y = \cot x \)，則 \( \frac{dy}{dx} = -\csc^2 x \)。
記憶小撇步（負號）： 請注意，任何以 "c" 開頭的三角函數（\( \cos x, \csc x, \cot x \)），其微分結果都會帶有負號。
背誦以上六個三角函數微分法則！你必須能夠即時反應並寫出它們。
2. 連鎖律 (Chain Rule)（複合函數）
如果你需要微分像 \( y = \sin(x^2) \) 或 \( y = (3x+1)^5 \) 這樣的函數該怎麼辦？這些是複合函數（一個函數套在另一個函數裡面）。這時我們就要使用連鎖律。
類比：俄羅斯娃娃
想像一個俄羅斯套娃。要把它完全打開，你必須先打開外層的娃娃，然後再打開內層的娃娃。連鎖律的運作方式也是一樣：先對外層函數微分，然後乘以內層函數的微分。
2.1. 連鎖律公式
若 \( y \) 是 \( u \) 的函數，且 \( u \) 是 \( x \) 的函數，則：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} \]
2.2. 分步應用
目標： 微分 \( y = e^{\sin x} \)
- 找出內層函數 (\( u \))： 這是位於主函數內部的部分。
\( u = \sin x \)
- 求出 \(\frac{du}{dx}\)：
\( \frac{du}{dx} = \cos x \)
- 找出外層函數（以 \( u \) 表示的 \( y \))： 用 \( u \) 取代內部部分。
\( y = e^u \)
- 求出 \(\frac{dy}{du}\)：
\( \frac{dy}{du} = e^u \)
- 應用連鎖律： 將微分結果相乘，最後將 \( u \) 還原為 \( \sin x \)。
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx} = (e^u) \times (\cos x) = e^{\sin x} \cos x \]
加速技巧： 永遠先對外部結構進行微分，並保持內部完全不變。然後再乘以內部的微分。
例子：若 \( y = \ln(4x^2+1) \)，外部是 \(\ln(\dots)\)，內部是 \(4x^2+1\)。
- 外部微分：\( \frac{1}{\text{內部}} \)。即 \( \frac{1}{4x^2+1} \)。
- 內部微分：\( 8x \)。
- 結果：\( \frac{dy}{dx} = \frac{1}{4x^2+1} \times 8x = \frac{8x}{4x^2+1} \)。
連鎖律重點： 每當遇到函數嵌套在另一個函數內時就要使用它。「先微分外面，再乘以內部的微分」。
3. 積法則 (Product Rule)
當你需要微分兩個 \(x\) 函數的乘積時，需使用積法則。例如 \( y = x^2 \cos x \) 或 \( y = e^x \ln x \)。你不能直接將兩個部分分開微分再相乘！
3.1. 積法則公式
若 \( y = uv \)，其中 \( u \) 和 \( v \) 都是 \( x \) 的函數，則：
\[ \frac{dy}{dx} = u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} \]
記憶口訣： 記作：U D-V 加 V D-U。
3.2. 分步應用
目標： 微分 \( y = x^3 e^{5x} \)
- 找出 \( u \) 和 \( v \)：
\( u = x^3 \)
\( v = e^{5x} \)
- 求出微分（\(\frac{du}{dx}\) 和 \(\frac{dv}{dx}\)）：
\( \frac{du}{dx} = 3x^2 \)
\( \frac{dv}{dx} = 5e^{5x} \)（這裡使用了連鎖律！）
- 代入公式（\( u\frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx} \)）：
\[ \frac{dy}{dx} = (x^3)(5e^{5x}) + (e^{5x})(3x^2) \]
- 化簡（記得盡量因式分解！）：
\[ \frac{dy}{dx} = 5x^3 e^{5x} + 3x^2 e^{5x} = x^2 e^{5x} (5x + 3) \]
一個常見的錯誤是認為 \( uv \) 的微分僅僅是 \( u'v' \)。這是不對的！ 你必須使用完整的積法則公式。
積法則重點： 當兩個不同的函數相乘時使用它。兩個項（\(u\frac{dv}{dx}\) 和 \(v\frac{du}{dx}\)）的順序無關緊要，因為兩者是相加的。
4. 商法則 (Quotient Rule)
當你需要微分兩個 \(x\) 函數的商時，需使用商法則。例如 \( y = \frac{\sin x}{x^2+1} \)。
4.1. 商法則公式
若 \( y = \frac{u}{v} \)，其中 \( u \)（分子）和 \( v \)（分母）都是 \( x \) 的函數，則：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2} \]
記憶口訣（對於商法則至關重要）：
"低 D-高 減 高 D-低，除以 低的平方。"
（其中 低 = \( v \)，高 = \( u \)，D-高 = \(\frac{du}{dx}\)，等等。）
相減的順序（低 D-高 減 高 D-低）非常關鍵！
4.2. 分步應用
目標： 微分 \( y = \frac{3x}{\ln x} \)
- 找出 \( u \) (高) 和 \( v \) (低)：
\( u = 3x \)
\( v = \ln x \)
- 求出微分：
\( \frac{du}{dx} = 3 \)
\( \frac{dv}{dx} = \frac{1}{x} \)
- 代入公式（\( \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2} \)）：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{(\ln x)(3) - (3x)(\frac{1}{x})}{(\ln x)^2} \]
- 化簡：（注意 \( 3x \times \frac{1}{x} = 3 \)）
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{3\ln x - 3}{(\ln x)^2} = \frac{3(\ln x - 1)}{(\ln x)^2} \]
你知道嗎？ 如果你將商寫成負指數形式（例如 \(\frac{x}{e^x} = x e^{-x}\)），也可以改用積法則。不過，對於複雜的分母，商法則通常更安全且更快捷。
商法則重點： 使用「低 D-高 減 高 D-低，除以 低的平方」口訣來正確記住公式，特別是相減的順序。
5. 隱函數微分 (Implicit Differentiation)
到目前為止，所有的函數都是顯函數 (explicit)，意味著 \( y \) 明確地以 \( x \) 的形式表達（例如 \( y = x^2 + 5 \)）。
隱函數 (implicit functions) 是那些 \( x \) 和 \( y \) 混合在一起，無法輕易分離的函數，例如 \( x^2 + y^2 = 25 \)（圓）或 \( \sin(y) + xy = e^x \)。
當我們對一個隱函數進行關於 \( x \) 的微分時，每一個包含 \( y \) 的項都必須使用連鎖律來微分。
5.1. 關鍵法則：微分 Y 項
當對任何包含 \( y \) 的項進行關於 \( x \) 的微分時，你需要先像平常一樣對該項微分（視該變數為 \(x\)），然後立即乘以 \( \frac{dy}{dx} \)。
-
例子： 對 \( y^2 \) 進行關於 \( x \) 的微分。
\( \frac{d}{dx} (y^2) = 2y \cdot \frac{dy}{dx} \)
-
例子： 對 \( \sin(y) \) 進行關於 \( x \) 的微分。
\( \frac{d}{dx} (\sin y) = \cos y \cdot \frac{dy}{dx} \)
5.2. 隱函數微分分步應用
目標： 求曲線 \( x^2 + 4y^3 = 5xy \) 的 \( \frac{dy}{dx} \)
- 逐項微分：
-
左式第一項 (\( x^2 \))： 正常微分。
\( \frac{d}{dx} (x^2) = 2x \)
-
左式第二項 (\( 4y^3 \))： 正常微分，並乘以 \( \frac{dy}{dx} \)。
\( \frac{d}{dx} (4y^3) = 12y^2 \frac{dy}{dx} \)
-
右式第三項 (\( 5xy \))： 這需要積法則！設 \( u=5x \) 且 \( v=y \)。
\( \frac{du}{dx} = 5 \)
\( \frac{dv}{dx} = 1 \cdot \frac{dy}{dx} \)
積法則結果：\( v\frac{du}{dx} + u\frac{dv}{dx} = y(5) + 5x(\frac{dy}{dx}) = 5y + 5x \frac{dy}{dx} \)
-
左式第一項 (\( x^2 \))： 正常微分。
- 列出方程式：
\[ 2x + 12y^2 \frac{dy}{dx} = 5y + 5x \frac{dy}{dx} \]
- 整理項並因式分解： 將所有包含 \( \frac{dy}{dx} \) 的項移到一側，其餘移到另一側。
\[ 12y^2 \frac{dy}{dx} - 5x \frac{dy}{dx} = 5y - 2x \]
提取 \( \frac{dy}{dx} \)：
\[ \frac{dy}{dx} (12y^2 - 5x) = 5y - 2x \]
- 解出 \(\frac{dy}{dx}\)：
\[ \frac{dy}{dx} = \frac{5y - 2x}{12y^2 - 5x} \]
重要提示： 當需要求隱函數曲線在特定點 \((x_1, y_1)\) 的斜率時，你需要將 \(x\) 和 \(y\) 座標代入最後的導數表達式中。
隱函數微分重點： 永遠記得連鎖律的貢獻：每當你微分一個 \(y\) 項時，必須加上因子 \( \frac{dy}{dx} \)。
6. 應用：切線、法線與變化率
求導數 \( \frac{dy}{dx} \) 的主要目的，在於求曲線在某點的斜率。這對於定義切線與法線至關重要。
6.1. 切線與法線
若曲線在點 \( P(x_1, y_1) \) 的斜率為 \( m_T \)（切線斜率）：
- 切線方程為： \( y - y_1 = m_T (x - x_1) \)。
- 法線的斜率 \( m_N \) 與切線垂直： \( m_N = -\frac{1}{m_T} \)。
- 法線方程為： \( y - y_1 = m_N (x - x_1) \)。
6.2. 相關變化率 (Related Rates of Change)
通常量會隨時間 \( t \) 改變。P3 問題經常使用連鎖律將兩個或多個變數的變化率連結起來。
假設你知道氣球的面積 (\(A\)) 對其半徑 (\(r\)) 的變化率 \(\frac{dA}{dr}\)，也知道半徑對時間 (\(t\)) 的變化率 \(\frac{dr}{dt}\)。要找出面積對時間的變化率 \(\frac{dA}{dt}\)，我們使用：
\[ \frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \times \frac{dr}{dt} \]
這正是連鎖律應用於變化率的例子！ 你需要建立適當的鏈條，將已知的速率與你想求的速率連結起來。
例 6.2：相關變化率設定
若水注入圓柱形水箱，使得體積 \(V\) 以 \( 0.5 \text{ m}^3/\text{min} \) 的速率變化（即 \( \frac{dV}{dt} = 0.5 \)），而我們想求高度 \(h\) 的變化率（即 \( \frac{dh}{dt} \)），我們需要一個連結 \(V\) 和 \(h\) 的公式（\( V = \pi r^2 h \)），然後使用鏈條：
\[ \frac{dh}{dt} = \frac{dh}{dV} \times \frac{dV}{dt} \]
（注意 \(\frac{dh}{dV}\) 是 \(\frac{dV}{dh}\) 的倒數。）
微分技巧需要不斷練習、再練習！如果你能掌握何時該使用連鎖律、積法則或商法則，並且熟練隱函數微分的機制，你就已經征服了 P3 最困難的部分！