代數與函數

簡介：代數與函數精通（純數學 1）

歡迎來到數學的基石！代數與函數是絕大多數高等數學的基礎。如果這章內容剛開始看起來有點棘手，別擔心；我們會將複雜的概念拆解成簡單、易於掌握的步驟。

在 P1 的這一部分，你將學會求解超越簡單線性形式的方程式、理解圖象的行為，並像專家一樣處理函數。這些知識對於未來學習微積分（Calculus）和坐標幾何（Coordinate Geometry）至關重要。讓我們開始吧！

第一節：求解二次方程式

二次方程式是指任何可以寫成標準形式的方程式：
\[ ax^2 + bx + c = 0 \] 其中 \(a\)、\(b\) 和 \(c\) 為常數，且 \(a \ne 0\)。此方程式的解稱為根。

方法 1：因式分解（快速求解）

當根是簡單的整數時，因式分解是最有效的方法。你需要尋找兩個數，它們的積為 \(c\)，且和為 \(b\)。

例子：求解 \(x^2 + 5x + 6 = 0\)
1. 尋找兩個數，其積為 6，和為 5（這兩個數為 2 和 3）。
2. 寫成因式分解形式：\((x + 2)(x + 3) = 0\)
3. 由於乘積為零，其中一個括號必須為零。
4. \(x + 2 = 0 \implies x = -2\)。
5. \(x + 3 = 0 \implies x = -3\)。

方法 2：配方法（尋找轉折點）

配方法至關重要，因為它能讓你輕鬆找到二次函數圖象的轉折點（頂點），這對於許多關於求極大值或極小值的 P1 題目來說是關鍵。

目標是將 \(ax^2 + bx + c\) 改寫為 \(a(x + p)^2 + q\) 的形式。

逐步指南（針對 \(x^2 + bx + c\)）：
1. 將 \(x\) 的係數減半：\(p = \frac{b}{2}\)。
2. 寫出平方括號：\((x + p)^2\)。
3. 減去因平方而產生的額外常數項：\((x + p)^2 - p^2 + c\)。

繪圖重點：如果 \(y = a(x + p)^2 + q\)，其轉折點永遠位於 \((-p, q)\)。

方法 3：二次公式（救命稻草）

如果無法進行因式分解，這個公式永遠能幫你找出根（如果存在的話）。

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

你知道嗎？二次公式實際上是通過對一般形式 \(ax^2 + bx + c = 0\) 使用配方法推導出來的！

第二節：判別式與二次不等式

判別式 (\(\Delta\))

判別式是二次公式中根號底下的部分：\(\Delta = b^2 - 4ac\)。它能讓你在不解出整個方程式的情況下，判斷根的性質（類型與數量）。你可以把它想像成是在問：「圖象與 x 軸相交多少次？」

• 情況 1：\(\Delta > 0\)（正數）：有兩個相異的實根。（與 x 軸相交兩次）。
• 情況 2：\(\Delta = 0\)（零）：有一個實根（或兩個相同的根）。（與 x 軸僅相切一次）。
• 情況 3：\(\Delta < 0\)（負數）：無實根。（從未接觸或穿過 x 軸）。

求解二次不等式

求解不等式（例如 \(x^2 + x - 6 > 0\)）需要一個關鍵的額外步驟：畫草圖！這對於 P1 的成功至關重要。

常見錯誤提醒： 求解 \( -x^2 > 4 \) 時，不要試圖兩邊同時開根號，且當兩邊同乘 \(-1\) 時要特別小心（記得要改變不等號的方向！）。

不等式求解步驟（例如 \(x^2 + x - 6 > 0\)）：
1. 找到臨界值：將其視為方程式並求解 \(x^2 + x - 6 = 0\)。根為 \(x=-3\) 和 \(x=2\)。
2. 繪製草圖：由於 \(x^2\) 項為正（\(a=1\)），拋物線呈 U 型（「笑臉」），並在 -3 和 2 處穿過 x 軸。
3. 確定區域：我們需要圖象 \(> 0\) 的部分（即 x 軸上方）。
4. 寫出解：解包含了兩個獨立的區域。
解： \(x < -3\) 或 \(x > 2\)。

第三節：聯立方程式

在 P1 中，你經常需要解包含一個線性方程式（直線）和一個非線性方程式（例如拋物線或圓）的聯立方程式。我們使用代入法。

代入法步驟（例如 \(y = x + 1\) 和 \(y = x^2 - 11\)）：
1. 在線性方程式中隔離一個變數。
2. 將此表達式代入非線性方程式中，得到一個單變數的二次方程式。
代入： \(x + 1 = x^2 - 11\)
3. 求解得出的二次方程式。（\(x = 4\) 或 \(x = -3\)）。
4. 找出相應的 \(y\) 值。 此步驟請使用簡單的線性方程式，以減少計算錯誤。
若 \(x = 4\)，則 \(y = 4 + 1 = 5\)。
若 \(x = -3\)，則 \(y = -3 + 1 = -2\)。
5. 寫下解對。 解必須以坐標對的形式給出：\((4, 5)\) 和 \((-3, -2)\)。

重點提示：如果你找到兩個 \(x\) 值，你必須找出兩個相應的 \(y\) 值。你最終得到的解對數量應該與 \(x\) 解的數量相同。

第四節：函數、定義域與值域

函數記號與定義

函數是一種將輸入值（定義域）映射到唯一輸出值（值域）的規則。我們使用以下記號：
\[ f: x \to \text{關於 } x \text{ 的規則} \quad \text{或} \quad y = f(x) \]

類比：函數就像自動販賣機。你輸入一個特定的指令（錢幣 + 按鈕），就能精確地得到一個對應的輸出（特定的零食）。

定義域與值域

• 定義域 (Domain)：所有可能的輸入值 (\(x\)) 的集合。
• 值域 (Range)：所有可能的輸出值 (\(f(x)\) 或 \(y\)) 的集合。

對於 P1 的函數，定義域通常為所有實數 (\(x \in \mathbb{R}\))，除非遇到兩個常見的限制：
1. 分母不能為零：排除使分母為零的 \(x\) 值。
2. 負數不能開平方根：確保根號內的項 \(\ge 0\)。

要求二次函數的值域時，請務必先找到轉折點 \((p, q)\)。
如果圖象是 U 型（\(a>0\)），值域為 \(f(x) \ge q\)。
如果圖象是 N 型（\(a<0\)），值域為 \(f(x) \le q\)。

第五節：圖象變換

變換讓我們能通過改變已知函數 \(y=f(x)\) 的圖象，來繪製新的圖象 \(y=g(x)\)。

圖象變換的黃金法則

這是掌握本章最重要的概念：

1. 當變更發生在函數外部 (\(f(x) + a\)) 時，它會影響 y 坐標，且行為是直觀的（如你預期）。
2. 當變更發生在函數內部 (\(f(x + a)\)) 時，它會影響 x 坐標，且行為是反直覺的（與你預期的相反）。

1. 平移 (Translations)

在不改變圖象形狀的情況下移動位置。

• \(y = f(x) + a\)：垂直移動 \(a\) 個單位（若 \(a>0\) 向上移）。
• \(y = f(x + a)\)：水平移動 \(-a\) 個單位（若 \(a>0\) 向左移）。

例子：\(f(x+3)\) 會將圖象向左平移 3 個單位（與 +3 相反）。

2. 拉伸 (Stretches)

改變距離軸線的距離。

• \(y = a f(x)\)：以 \(a\) 為倍數進行垂直拉伸。
• \(y = f(ax)\)：以 \(\frac{1}{a}\) 為倍數進行水平拉伸。

3. 反射 (Reflections)

• \(y = -f(x)\)：對 x 軸進行反射（y 值取負）。
• \(y = f(-x)\)：對 y 軸進行反射（x 值取負）。

組合變換的小撇步：如果題目同時涉及拉伸/反射和平移，請務必先進行拉伸/反射，然後再進行平移。