微分學基本指南：求導函數 (單元 P1)
歡迎來到微分學的世界！這可以說是你在純數學中學到的最重要概念之一。別擔心，如果起初覺得有點挑戰性，我們將把這些複雜的觀念拆解成簡單且易於理解的步驟。
在本章中，你將學會如何找出曲線在任何一點上的精確陡峭程度，也就是斜率 (gradient)。這項技能對於理解事物的變化至關重要——無論是移動物體的速率、溫度的升高速率，還是體積與面積的最佳化（這些是你稍後會學到的課題！）。
微分的核心目標：從求平均變率（例如旅程的平均速度）轉向求瞬時變率（例如你當下的精確速度）。
1. 理解曲線的斜率
關於曲線的難題
你已經知道如何找出直線的斜率（\(m = \frac{\text{change in } y}{\text{change in } x}\)）。直線的斜率是恆定不變的——它在任何地方都是一樣的。
然而，對於像 \(y = x^2\) 這樣的曲線，斜率是隨時在改變的。在 \(x=1\) 處，曲線的陡峭程度顯然比在 \(x=10\) 處平緩。
切線的概念
為了找出曲線在特定點 P 的斜率，我們使用一條剛好接觸曲線該點的直線，這條線稱為切線 (tangent)。
- 想像用一個小放大鏡聚焦在 P 點。如果你放大得足夠大，曲線看起來就會像一條直線。
- 這條「直線」（切線）的斜率，就是該曲線在該點的確切斜率。
關鍵術語：
- 尋找導函數的過程稱為微分 (Differentiation)。
- 微分的結果稱為導數 (Derivative) 或導函數 (Gradient Function)。
導數的符號標記
如果原始函數為 \(y = f(x)\)，我們通常使用三種方式來寫出它的導數：
- \(\frac{dy}{dx}\)（讀作 "dee-y by dee-x"）：當開頭為 \(y =\) 關於 \(x\) 的表達式時使用。
- \(f'(x)\)（讀作 "f prime of x"）：當開頭為 \(f(x)\) 時使用。
- \(y'\)：較少見，但有時為了簡便會使用。
你知道嗎？ 符號 \(\frac{dy}{dx}\) 代表當 x 的變化量趨近於零時，y 的微小變化量 (\(\delta y\)) 除以 x 的微小變化量 (\(\delta x\)) 的極限。它字面上的意思就是「y 對 x 的變率」。
快速回顧：微分賦予我們一個新的函數 \(\frac{dy}{dx}\)，它可以用來計算原曲線在任何給定 x 值下的斜率。
2. 微分法則（冪法則）
P1 中絕大多數的微分都涉及運用一條非常強大的規則：冪法則 (Power Rule)。
規則 1：冪法則（針對 \(ax^n\)）
若 \(y = ax^n\)，其中 \(a\) 為常數係數，且 \(n\) 為實數（可以是正數、負數或分數），則其導數為：
\[ \frac{dy}{dx} = nax^{n-1} \]
運算技巧：
- 相乘：將指數 \(n\) 移到前面，並乘以係數 \(a\)。
- 相減：將原本的指數 \(n\) 減去 1。
例 1：基本多項式
設 \(y = 5x^3\)
- 將指數 (3) 乘以係數 (5)：\(3 \times 5 = 15\)。
- 將指數減 1：\(3 - 1 = 2\)。
- 結果：\(\frac{dy}{dx} = 15x^2\)。
規則 2：微分線性項（當 \(n=1\) 時）
若 \(y = ax\)（即 \(ax^1\)）
套用規則：\(\frac{dy}{dx} = 1 \times a x^{1-1} = ax^0\)。因為 \(x^0 = 1\)，所以導數就只是 \(a\)。
例子：若 \(y = 7x\)，則 \(\frac{dy}{dx} = 7\)。 (這很合理，因為直線 \(y=7x\) 的斜率就是 7。)
規則 3：微分常數（當 \(n=0\) 時）
若 \(y = c\)（其中 \(c\) 為任意數字，例如 \(y=10\）。我們可以將其寫成 \)y = 10x^0\)。
套用規則：\(\frac{dy}{dx} = 0 \times 10 x^{0-1} = 0\)。
關鍵結論：任何常數的導數永遠是零。（水平線的陡峭程度為零。）
3. 為微分準備複雜的表達式
冪法則僅適用於 \(ax^n\) 形式的項。如果你的函數看起來很複雜（包含根號、分數或括號），你必須先進行重寫。
黃金法則：每一項都必須寫成「係數乘以 x 的某個冪次」的形式。
逐步範例：重寫項
- 根式 (Surds)：將根號轉換為分數指數。
- 分數：利用 \(x^{-n} = \frac{1}{x^n}\) 將分母的項轉換為負指數。
- 混合項：在微分前先化簡。
原始： \(f(x) = \sqrt{x}\)
重寫： \(f(x) = x^{1/2}\)
微分： \(f'(x) = \frac{1}{2}x^{(1/2 - 1)} = \frac{1}{2}x^{-1/2}\)
原始： \(y = \frac{3}{x^4}\)
重寫： \(y = 3x^{-4}\)
微分： \(\frac{dy}{dx} = (-4) \times 3 x^{(-4 - 1)} = -12x^{-5}\)
原始： \(y = \frac{2x^3 - 4}{x}\)
重寫 (將每一項除以 x)： \(y = \frac{2x^3}{x} - \frac{4}{x} = 2x^2 - 4x^{-1}\)
逐項微分： \(\frac{dy}{dx} = (2 \times 2x^{2-1}) - (-1 \times 4x^{-1-1}) = 4x + 4x^{-2}\)
微分和與差
如果你的函數是一個多項式（由多個相加或相減的項組成），你可以分別微分每一項，然後將結果加減起來。這有時稱為線性規則 (Rule of Linearity)。
例 2：完整多項式微分
求 \(y = 2x^4 - 3x^2 + 5x - 8\) 的 \(\frac{dy}{dx}\)
- \(2x^4\) 微分後得 \(8x^3\)。
- \(-3x^2\) 微分後得 \(-6x^1\)。
- \(+5x\) 微分後得 \(+5\)。
- \(-8\) (常數) 微分後得 \(0\)。
結果：\(\frac{dy}{dx} = 8x^3 - 6x + 5\)
常見錯誤警示！
本章最常見的錯誤就是太早開始微分！
如果你看到括號、根號或除法（當分母不是常數時），請務必先展開或重寫！
例子：若 \(y = x(x+2)\)，你必須先展開成 \(y = x^2 + 2x\) 後再進行微分。
4. 應用：切線與法線
導函數 \(\frac{dy}{dx}\) 的主要用途是求曲線在特定點 \((x_1, y_1)\) 處的切線方程式。
步驟 1：求斜率 (m)
要找出切線在給定 x 坐標處的斜率 \(m\)：
- 將原函數 \(y\) 微分求出 \(\frac{dy}{dx}\)。
- 將給定的 \(x\) 坐標代入 \(\frac{dy}{dx}\) 的表達式中，求出數值斜率 \(m_{tangent}\)。
步驟 2：求切線方程式
使用直線方程式格式：\(y - y_1 = m(x - x_1)\)，其中 \(m\) 為 \(m_{tangent}\)，\((x_1, y_1)\) 為切點。
法線 (Normal Line)
法線是通過切點 \((x_1, y_1)\) 且與切線垂直的直線。
若切線斜率為 \(m_{tangent}\)，則法線斜率 \(m_{normal}\) 為其負倒數：
\[ m_{normal} = -\frac{1}{m_{tangent}} \]
要找出法線方程式，請使用 \(y - y_1 = m_{normal}(x - x_1)\)。
例 3：求切線與法線
求曲線 \(y = x^2 + 3x - 1\) 在 \(x=2\) 處的法線方程式。
A. 求 y 坐標：
將 \(x=2\) 代入 \(y\)：
\(y = (2)^2 + 3(2) - 1 = 4 + 6 - 1 = 9\)。
該點為 \((2, 9)\)。
B. 求導函數：
\(y = x^2 + 3x - 1\)
\(\frac{dy}{dx} = 2x + 3\)
C. 求切線斜率 (\(m_T\))：
將 \(x=2\) 代入 \(\frac{dy}{dx}\)：
\(m_{tangent} = 2(2) + 3 = 7\)
D. 求法線斜率 (\(m_N\))：
\(m_{normal} = -\frac{1}{m_{tangent}} = -\frac{1}{7}\)
E. 求法線方程式：
使用 \(y - y_1 = m_N(x - x_1)\)，其中 \(m_N = -\frac{1}{7}\) 且點為 \((2, 9)\)：
\(y - 9 = -\frac{1}{7}(x - 2)\)
(兩邊乘以 7 以消除分數)：
\(7(y - 9) = -1(x - 2)\)
\(7y - 63 = -x + 2\)
\(x + 7y - 65 = 0\) (標準式)
關鍵結論：微分提供了切線的斜率。法線的斜率則是切線斜率的負倒數。
5. 應用：遞增與遞減函數（選擇性補充：二階導數）
我們可以使用導函數 \(\frac{dy}{dx}\) 來判斷曲線在特定區間內是向上還是向下走。
識別曲線的行為
- 遞增函數：當斜率為正時，函數為遞增（從左到右向上走）。
條件：\(\frac{dy}{dx} > 0\) - 遞減函數：當斜率為負時，函數為遞減（向下走）。
條件：\(\frac{dy}{dx} < 0\) - 駐點 (Stationary Point)：曲線暫時呈現水平狀態（山峰或山谷）。
條件：\(\frac{dy}{dx} = 0\)
類比：如果你走在路徑上，而你的高度 (y) 正在增加，那麼坡度 (\(\frac{dy}{dx}\)) 必定為正。
二階導數 (\(\frac{d^2y}{dx^2}\))
二階導數簡而言之就是對導數再微分一次。它衡量的是斜率本身的變化率（即曲線彎曲的速度）。
符號：
若 \(y = f(x)\)，二階導數記為：
\[ \frac{d^2y}{dx^2} \quad \text{ 或 } \quad f''(x) \]
流程：
- 求一階導數：\(\frac{dy}{dx}\)。 2. 對 \(\frac{dy}{dx}\) 再進行微分，求出二階導數：\(\frac{d^2y}{dx^2}\)。
例 4：二階導數
求 \(y = 3x^4 - 2x + 5\) 的 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)
- 一階導數：
\(\frac{dy}{dx} = 12x^3 - 2\) - 二階導數（對第一個結果微分）：
\(\frac{d^2y}{dx^2} = 36x^2\)
在 P1 課程中，引入二階導數主要是為了判斷駐點的性質（最小值或最大值），但最根本的技能在於正確求出導數，這將有助於你分析曲線行為。
P1 微分學總結
- 準備工作是關鍵：使用冪法則前，務必先重寫根號 (\(x^{1/2}\)) 和分數 (\(x^{-n}\))。
- 冪法則：指數移到前面相乘，再將指數減 1 (\(nax^{n-1}\))。
- 應用：\(\frac{dy}{dx}\) 給出切線的斜率。
- 法線：法線斜率為切線斜率的負倒數。
- 曲線行為：\(\frac{dy}{dx} > 0\) 代表遞增；\(\frac{dy}{dx} < 0\) 代表遞減。