單元 P3：純數 3 - 三角學綜合學習筆記
歡迎來到刺激的 P3 三角學世界！如果你以為 P1 和 P2 已經涵蓋了三角形的所有知識，那你就錯了。P3 將三角函數轉化為強大的代數工具。
本章對於掌握後續的 P3 主題（特別是微分、積分和代數運算）至關重要。如果剛開始覺得有些棘手，別擔心；我們會將複雜的恆等式拆解成簡單且易記的規則。學完本章，你將能解開以往無法處理的複雜方程式！
1. 組合的力量：複角恆等式
複角恆等式讓我們能夠展開角度相加或相減的三角函數，例如 \(\sin(A+B)\) 或 \(\cos(x-45^{\circ})\)。這是 P3 三角學中幾乎所有知識的基礎。
1.1 六大核心複角恆等式
你需要熟背這六個恆等式，以下是一些小撇步，幫助你記住各函數及其符號的放置位置：
正弦恆等式（「分享」函數）：
- \(\sin(A + B) \equiv \sin A \cos B + \cos A \sin B\)
- \(\sin(A - B) \equiv \sin A \cos B - \cos A \sin B\)
記憶口訣：正弦很友善——它會分享函數（正弦、餘弦、餘弦、正弦），而且符號不變（加號保持加號，減號保持減號）。
餘弦恆等式（「自私」函數）：
- \(\cos(A + B) \equiv \cos A \cos B - \sin A \sin B\)
- \(\cos(A - B) \equiv \cos A \cos B + \sin A \sin B\)
記憶口訣：餘弦比較自私——它會將相同函數聚在一起（餘弦、餘弦、正弦、正弦），而且符號互換（加號變減號，減號變加號）。
正切恆等式：
- \(\tan(A + B) \equiv \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}\)
- \(\tan(A - B) \equiv \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B}\)
小撇步：分子上的符號與角度組合的符號一致，分母上的符號則相反。
重點摘要：複角恆等式是簡化組合角度函數的代數方法。善用記憶口訣，避免弄錯符號！
2. 倍角的力量：倍角恆等式
倍角恆等式其實就是當 \(A = B\) 時，複角恆等式的特殊情況。它們對於處理表達式至關重要，特別是在解方程式或為積分做準備時。
2.1 推導倍角公式
在 \(\sin(A+B)\) 的複角公式中令 \(B = A\)：
\(\sin(A + A) = \sin A \cos A + \cos A \sin A\)
正弦倍角公式：
\(\sin(2A) \equiv 2\sin A \cos A\)
在 \(\cos(A+B)\) 的複角公式中令 \(B = A\)：
\(\cos(A + A) = \cos A \cos A - \sin A \sin A\)
餘弦倍角主要公式：
\(\cos(2A) \equiv \cos^2 A - \sin^2 A\)
2.2 \(\cos(2A)\) 的三種形式——至關重要！
利用畢氏恆等式 \(\sin^2 A + \cos^2 A \equiv 1\)，我們可以代換並創造出另外兩種非常有用的 \(\cos(2A)\) 形式。這些形式經常被用來將三角函數的次方從 2 降至 1（線性化）。
-
僅以 \(\cos^2 A\) 表示：
代入 \(\sin^2 A = 1 - \cos^2 A\)：
\(\cos(2A) \equiv \cos^2 A - (1 - \cos^2 A)\)
\(\cos(2A) \equiv 2\cos^2 A - 1\) -
僅以 \(\sin^2 A\) 表示：
代入 \(\cos^2 A = 1 - \sin^2 A\)：
\(\cos(2A) \equiv (1 - \sin^2 A) - \sin^2 A\)
\(\cos(2A) \equiv 1 - 2\sin^2 A\)
正切倍角公式：
\(\tan(2A) \equiv \frac{2\tan A}{1 - \tan^2 A}\)
你知道嗎？這些公式不僅適用於 \(2A\)。如果你看到 \(\sin(4x)\)，你可以將其寫為 \(2\sin(2x)\cos(2x)\)。如果你看到 \(\cos(x)\)，你可以將其寫為 \(2\cos^2(x/2) - 1\)。左側的角度永遠是右側角度的兩倍。
避免常見錯誤：不要弄混三種餘弦倍角恆等式。如果你需要代換 \(\cos^2 A\)，請重新整理相關公式：
\(\cos^2 A \equiv \frac{1}{2}(1 + \cos(2A))\)（在積分中非常實用！）
重點摘要：倍角恆等式可簡化 \(2A\) 的函數。三種形式的 \(\cos(2A)\) 對於改變三角項的次方至關重要。
3. R-公式：簡化 \(a\cos\theta + b\sin\theta\)
想像你有兩個簡單的正弦波，其中一個相對於另一個有輕微平移，將它們相加後會產生一個複雜的新波形。R-公式（或稱輔助角法）是一個讓我們能將 \(a\cos\theta + b\sin\theta\) 合併為單一、簡潔的三角函數的工具，通常寫作 \(R\cos(\theta \pm \alpha)\) 或 \(R\sin(\theta \pm \alpha)\) 的形式。
3.1 為何要使用 R-公式？（比喻）
考慮 \(y = 3\sin\theta + 4\cos\theta\)。
因為我們處理的是兩個不同的函數，所以很難直接找出其最大值，或解出 \(3\sin\theta + 4\cos\theta = 2\) 這類方程式。R-公式能將這個複雜的表達式轉換為單一的平移正弦或餘弦曲線，使計算變得輕而易舉！
3.2 分步方法（使用 \(R\cos(\theta - \alpha)\)）
假設我們要將 \(a\cos\theta + b\sin\theta\) 表達成 \(R\cos(\theta - \alpha)\) 的形式，其中 \(R > 0\) 且 \(0^{\circ} < \alpha < 90^{\circ}\)。
步驟 1：展開目標形式
利用餘弦複角恆等式（符號互換！）：
\(R\cos(\theta - \alpha) \equiv R(\cos\theta \cos\alpha + \sin\theta \sin\alpha)\)
\(R\cos(\theta - \alpha) \equiv (R\cos\alpha)\cos\theta + (R\sin\alpha)\sin\theta\)
步驟 2：比較係數
將此展開式與原表達式 \(a\cos\theta + b\sin\theta\) 對比：
(1) \(a = R\cos\alpha\) (\(\cos\theta\) 的係數)
(2) \(b = R\sin\alpha\) (\(\sin\theta\) 的係數)
步驟 3：計算 R（振幅）
將方程式 (1) 和 (2) 平方後相加：
\(a^2 + b^2 = R^2\cos^2\alpha + R^2\sin^2\alpha\)
\(a^2 + b^2 = R^2(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)\)
因為 \(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1\)：
\(R = \sqrt{a^2 + b^2}\)
步驟 4：計算 \(\alpha\)（相位移）
將方程式 (2) 除以方程式 (1)：
\(\frac{R\sin\alpha}{R\cos\alpha} = \frac{b}{a}\)
\(\tan\alpha = \frac{b}{a}\)
\(\alpha = \arctan\left(\frac{b}{a}\right)\)
關於符號的關鍵注意：
計算 \(R\) 和 \(\alpha\) 時，請務必始終使用 \(a\) 和 \(b\) 的正值。目標形式的選擇（例如 \(R\sin(\theta + \alpha)\) 對比 \(R\cos(\theta - \alpha)\)）已經處理了原表達式中的符號。
R-公式的應用：
- 尋找最大/最小值：\(R\cos(\theta \pm \alpha)\) 的最大值永遠是 \(R\)，最小值則是 \(-R\)。
- 解方程式：它能將像 \(a\cos\theta + b\sin\theta = k\) 這樣的方程式簡化為可解形式 \(R\cos(\theta - \alpha) = k\)。
快速複習：
R 是以 a 和 b 為邊長的直角三角形的斜邊。而 \(\alpha\) 即是其中的角。
重點摘要：R-公式是一種將正弦和餘弦函數的線性組合合併為單一平移三角函數 \(R f(\theta \pm \alpha)\) 的技術，能有效簡化最大/最小值問題及方程式求解。
4. 在 P3 中解三角方程式
在 P3 中，解方程式需要將 P2 的所有技巧（CAST 圖、週期/範圍檢查）與 P3 的恆等式結合起來。
4.1 使用恆等式解方程式的策略
解方程式時，主要目標是簡化方程式，使其只包含一個三角函數且只包含一個角度項（例如，只包含 \(\sin x\)，而不混用 \(\sin x\) 與 \(\cos x\)，或是混用 \(\sin x\) 與 \(\sin 2x\)）。
- 檢查函數類型：如果有混合函數（例如 \(\sin 2x\) 和 \(\cos x\)），使用倍角恆等式將倍角轉換為單角：\(\sin 2x = 2\sin x \cos x\)。
- 檢查角度類型：如果表達式為 \(3\sin x + 4\cos x = 1\)，使用 R-公式將其合併為一個函數：\(5\cos(x - 36.9^{\circ}) = 1\)。
- 檢查次方類型：如果方程式為 \(\cos 2x = 3\cos x - 1\)，代入合適的 \(\cos 2x\) 形式以消除倍角，並建立關於 \(\cos x\) 的二次方程式。（使用 \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\)）。
- 解出所得的簡單或二次方程式：利用反函數求出主值。
- 找出所有解：利用 CAST 圖或給定範圍內的圖形對稱性求出完整解。
範例流程：求 \(\cos 2\theta + \sin\theta = 0\) 在 \(0^{\circ} \le \theta < 360^{\circ}\) 下的解。
步驟 1：簡化。方程式包含 \(2\theta\) 和 \(\theta\)。使用僅含 \(\sin\theta\) 項的 \(\cos 2\theta\) 恆等式。
\((1 - 2\sin^2\theta) + \sin\theta = 0\)
步驟 2：整理為二次方程式。
\(2\sin^2\theta - \sin\theta - 1 = 0\)
步驟 3：解二次方程式。令 \(S = \sin\theta\)。
\((2S + 1)(S - 1) = 0\)
因此，\(\sin\theta = 1\) 或 \(\sin\theta = -1/2\)。
步驟 4：求最終解。
若 \(\sin\theta = 1\)，則 \(\theta = 90^{\circ}\)。
若 \(\sin\theta = -1/2\)，主值為 \(-30^{\circ}\)。在給定範圍內（使用 C 和 T 象限），解為 \(180^{\circ} + 30^{\circ} = 210^{\circ}\) 和 \(360^{\circ} - 30^{\circ} = 330^{\circ}\)。
解為：\(90^{\circ}, 210^{\circ}, 330^{\circ}\)。
5. 反三角函數（\(\arcsin, \arccos, \arctan\)）
我們經常處理反三角函數（也稱為 arc 函數），如 \(\arcsin x\)，它代表正弦值為 \(x\) 的角度。
5.1 限制定義域（主值）的必要性
一個函數要存在反函數，它必須是一對一的（反函數必須通過水平線測試）。由於標準三角函數是週期性的（多個角度會有相同的函數值），我們必須限制它們的定義域以確保反函數是真正的函數。反函數的輸出稱為主值。
快速定義：
- \(\mathbf{y = \arcsin x}\) (或 \(\sin^{-1} x\))：代表 \(x = \sin y\)。
- \(\mathbf{y = \arccos x}\) (或 \(\cos^{-1} x\))：代表 \(x = \cos y\)。
- \(\mathbf{y = \arctan x}\) (或 \(\tan^{-1} x\))：代表 \(x = \tan y\)。
5.2 定義域與值域（主值）
這些限制是必要的，它們定義了計算機輸出角度的具體範圍。
反正弦函數：\(y = \arcsin x\)
- 定義域（允許的 x 值）：\(-1 \le x \le 1\)
- 值域（輸出的 y 值）：\(-\frac{\pi}{2} \le y \le \frac{\pi}{2}\) (或 \(-90^{\circ} \le y \le 90^{\circ}\))
反餘弦函數：\(y = \arccos x\)
- 定義域（允許的 x 值）：\(-1 \le x \le 1\)
- 值域（輸出的 y 值）：\(0 \le y \le \pi\) (或 \(0^{\circ} \le y \le 180^{\circ}\))
反正切函數：\(y = \arctan x\)
- 定義域（允許的 x 值）：\(x \in \mathbb{R}\) (所有實數)
- 值域（輸出的 y 值）：\(-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}\) (或 \(-90^{\circ} < y < 90^{\circ}\))
給學習者的建議：當要求計算反函數時，請務必檢查限制後的範圍落在哪個象限。\(\arcsin\) 和 \(\arctan\) 使用第一和第四象限。\(\arccos\) 使用第一和第二象限。
重點摘要：反三角函數僅能輸出特定受限範圍內（主值）的角度，這是因為原三角函數必須是一對一的。
恭喜你！你已經掌握了 P3 三角學的核心代數工具。勤加練習將這些恆等式應用於複雜的方程式，你會發現它們很快就能被簡化。繼續加油！