你好，未來的 P3 數學家們！
歡迎來到 P3 單元的核心章節——代數與函數！如果你以為學完 P1 和 P2 之後函數就結束了，那可就大錯特錯了！P3 會在你原本熟悉的領域（如定義域、值域和圖像）之上，引入更多進階工具，例如模函數 (Modulus Function)、複雜的函數組合 (Function Combinations)，以及強大的部分分式 (Partial Fractions)技巧。
這一章至關重要。這裡的概念是日後學習微積分、積分甚至微分方程的基石。如果某些部分看起來有點棘手，別擔心，我們會將所有內容拆解成易於理解的小步驟。讓我們一起攻克 P3 函數吧！
1. 模函數 (絕對值)
模函數記作 \(|x|\)，代表一個數的絕對值。簡單來說，它永遠輸出輸入值的非負值。
1.1 模函數的定義
其定義採用分段形式：
- 若 \(x \ge 0\)，則 \(|x| = x\)
- 若 \(x < 0\)，則 \(|x| = -x\)
比喻： 可以將模函數想像成計算距離。無論你向北走 5 公里 (+5) 還是向南走 5 公里 (-5)，你所移動的距離永遠是正 5 公里。它消除了方向（正負號）。
關鍵詞： 絕對值 (absolute value) 與模函數可以互換使用。
1.2 模函數的圖像
你需要掌握兩種主要的模函數變換：
情況 A：繪製 \(y = |f(x)|\)
這會影響輸出（即 \(y\) 值）。原函數 \(y=f(x)\) 圖像中任何位於 \(x\)-軸下方（即 \(y\) 為負值）的部分，都需要沿 \(x\)-軸向上翻轉。
繪製 \(y = |f(x)|\) 的步驟：
- 畫出原圖 \(y = f(x)\)。
- 找出位於 \(x\)-軸下方的部分。
- 將這些部分沿 \(x\)-軸翻轉過來。
情況 B：繪製 \(y = f(|x|)\)
這會影響輸入（即 \(x\) 值）。由於 \(|x|\) 意味著輸入到 \(f\) 的永遠是正值，因此圖像必須關於 \(y\)-軸對稱。
繪製 \(y = f(|x|)\) 的步驟：
- 忽略原圖 \(y=f(x)\) 的左半部分（\(x < 0\) 的部分）。
- 保留右半部分（\(x \ge 0\) 的部分）。
- 將右半部分沿 \(y\)-軸翻轉，補上左半部分，形成新圖。
1.3 解模方程與不等式
解這類題型最保險的方法是考慮兩種分開的情況（正輸入值與負輸入值），或者對於方程，使用平方消去法。
解方程 (例如 \(|2x - 1| = x + 4\))
方法一：分開討論兩種情況
- 情況 1 (正)： \(2x - 1 = x + 4 \implies x = 5\)
- 情況 2 (負)： \(-(2x - 1) = x + 4 \implies -2x + 1 = x + 4 \implies -3 = 3x \implies x = -1\)
- 重要檢查： 務必將答案代回原方程檢驗，特別是當 \(x\) 兩邊都有出現時。（在本題中，\(x=5\) 和 \(x=-1\) 均可行。）
方法二：兩邊同時平方 (強烈建議，保險之選)
若 \(|A| = B\)，則 \(A^2 = B^2\)。這能徹底消除模符號。
例如：\(|2x - 1| = x + 4\)
\((2x - 1)^2 = (x + 4)^2\)
\(4x^2 - 4x + 1 = x^2 + 8x + 16\)
\(3x^2 - 12x - 15 = 0\)
\(x^2 - 4x - 5 = 0\)
\((x - 5)(x + 1) = 0\)
解為：\(x = 5\) 和 \(x = -1\)。
解不等式
解不等式通常最簡單的方法是兩邊平方或繪製圖像。
規則 1：小於 (\(<\) 或 \(\le\))
若 \(|x| < a\)，則 \(-a < x < a\)。 (「夾心」不等式)
例子： \(|2x - 1| \le 5\)
\(-5 \le 2x - 1 \le 5\)
\(-4 \le 2x \le 6\)
\(-2 \le x \le 3\)
規則 2：大於 (\(>\) 或 \(\ge\))
若 \(|x| > a\)，則 \(x > a\) 或 \(x < -a\)。 (「外圍」解)
例子： \(|3x + 2| > 4\)
情況 1： \(3x + 2 > 4 \implies 3x > 2 \implies x > 2/3\)
情況 2： \(3x + 2 < -4 \implies 3x < -6 \implies x < -2\)
解為：\(x < -2\) 或 \(x > 2/3\)
模函數重點總結：
模函數讓結果變為正數。解題時，使用兩種情況（\(A=B\) 和 \(A=-B\)）或兩邊平方。一定要記得檢驗答案！
2. 函數組合
在 P3 中，我們不僅通過加減乘除來組合函數，還會將一個函數的輸出直接當作另一個函數的輸入。這稱為複合函數 (Composition)。
2.1 函數符號複習：定義域與值域
- 定義域 (Domain)： 所有允許的輸入值 (\(x\)) 的集合。
- 值域 (Range)： 函數作用於定義域後，產生的所有輸出值 (\(y\)) 的集合。
函數 \(f\) 通常定義為 \(f: x \mapsto f(x)\)，並附帶特定定義域。例如，\(f: x \mapsto \sqrt{x}\)，\(x \in \mathbb{R}, x \ge 0\)。(定義域為 \(x \ge 0\))。
2.2 複合函數
當你有兩個函數 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 時，複合函數 \(fg(x)\) 意味著先應用 \(g\)，再對結果應用 \(f\)。
符號： \(fg(x)\) 代表 \(f(g(x))\)。
順序很重要！ \(fg(x)\) 通常與 \(gf(x)\) 不同。
例子： 設 \(f(x) = 2x + 1\) 且 \(g(x) = x^2\)。
\(fg(x) = f(g(x)) = f(x^2) = 2(x^2) + 1 = 2x^2 + 1\)
\(gf(x) = g(f(x)) = g(2x + 1) = (2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1\)
2.3 複合函數的定義域
這往往是學生最容易出錯的地方。若要讓 \(fg(x)\) 存在，內層函數 (\(g\)) 的值域必須是外層函數 (\(f\)) 定義域的子集。
複合函數 \(fg\) 的定義域是所有滿足 \(g(x)\) 的輸出能作為 \(f\) 的有效輸入之 \(x\) 值集合。
需要注意的例子：
設 \(f(x) = \frac{1}{x}\) 且 \(g(x) = 3 - x\)。\(f\) 的定義域為 \(x \ne 0\)。
\(fg(x) = f(3 - x) = \frac{1}{3 - x}\)。
為了使 \(fg(x)\) 有定義，\(g(x)\) 的輸出不能為零。
\(g(x) = 0 \implies 3 - x = 0 \implies x = 3\)。
因此，\(fg\) 的定義域為 \(x \ne 3\)。
函數組合重點總結：
組合意味著將一個函數「嵌套」在另一個裡面：\(f(g(x))\)。記得檢查內層函數輸出的定義域限制。
3. 反函數
反函數 \(f^{-1}(x)\) 的作用是「撤銷」\(f(x)\) 的運算。如果 \(f\) 將 5 變成 10，那麼 \(f^{-1}\) 就會將 10 還原成 5。
3.1 反函數存在的條件
函數必須是一對一 (one-to-one) 函數才存在反函數。這意味著每一個輸出 (\(y\)) 只對應一個輸入 (\(x\))。
- 測試方法： 使用水平線測試 (Horizontal Line Test)。如果任何一條水平線與 \(f(x)\) 的圖像相交超過一次，則該函數不是一對一的，因此在該定義域內不存在反函數。
- 二次函數 (拋物線) 通常是多對一的。若要為 \(f(x) = x^2\) 找反函數，我們必須限制定義域（例如限制為 \(x \ge 0\)）。
3.2 尋找反函數 \(f^{-1}(x)\) 的步驟
這是一個機械化的步驟：
例子步驟：求 \(f(x) = \frac{3x - 1}{x + 2}\) 的 \(f^{-1}(x)\)
- 將 \(f(x)\) 替換為 \(y\)： \[ y = \frac{3x - 1}{x + 2} \]
- 交換 \(x\) 和 \(y\)： (這是反運算的定義) \[ x = \frac{3y - 1}{y + 2} \]
- 重新排列，使 \(y\) 成為主項： \[ x(y + 2) = 3y - 1 \] \[ xy + 2x = 3y - 1 \]
- 將含有 \(y\) 的項移到一邊，不含 \(y\) 的移到另一邊： \[ xy - 3y = -1 - 2x \]
- 提取 \(y\)： \[ y(x - 3) = -1 - 2x \]
- 相除以隔離 \(y\)： \[ y = \frac{-1 - 2x}{x - 3} \]
- 將 \(y\) 替換為 \(f^{-1}(x)\)： \[ f^{-1}(x) = \frac{-1 - 2x}{x - 3} \]
冷知識： 若一個有理函數滿足 \(f(x) = f^{-1}(x)\)，則稱其為自反函數。這種情況發生在函數圖像關於 \(y=x\) 對稱時。
3.3 反函數的定義域與值域
當函數變為反函數時，定義域與值域會互換：
- \(f\) 的定義域 = \(f^{-1}\) 的值域。
- \(f\) 的值域 = \(f^{-1}\) 的定義域。
記憶小技巧： DR = RD (Domain/Range 互換變成 Range/Domain)。
3.4 反函數的圖像
\(y = f^{-1}(x)\) 的圖像只是 \(y = f(x)\) 的圖像關於直線 \(y = x\) 的反射。
反函數重點總結：
要求：必須是一對一。方法是交換 \(x\) 和 \(y\) 並重新排列。圖像關於 \(y=x\) 對稱。
4. 部分分式 (Partial Fractions)
部分分式是一種將單個複雜分數（通常涉及多項式）拆解為兩個或多個簡單分數之和的技巧。這一點非常關鍵，因為這些簡單分數通常更容易進行積分（這是你在 P4 中會大量使用的技能）。
4.1 真分式與假分式
部分分式拆解僅適用於真分式。
- 真分式： 分子的次數（最高冪次）小於分母的次數。（例如：\(\frac{x}{x^2+1}\)）。
- 假分式： 分子的次數大於或等於分母的次數。（例如：\(\frac{x^2+3}{x^2-1}\)）。
如果遇到假分式，必須先執行代數長除法（或觀察法）！ 結果會變成一個多項式加上一個真分式餘數： \[ \frac{\text{分子}}{\text{分母}} = \text{多項式} + \frac{\text{餘數}}{\text{分母}} \]
4.2 三種主要的拆解形式 (P3 重點)
我們假設分母已經完全因式分解。
形式 1：相異線性因子
若分母包含類似 \((ax+b)(cx+d)\) 的因子，拆解為：
\[ \frac{P(x)}{(ax+b)(cx+d)} \equiv \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d} \]形式 2：重複線性因子
若分母包含類似 \((ax+b)^2\) 的平方因子，我們需要為該因子設置兩項：
\[ \frac{P(x)}{(ax+b)^2(cx+d)} \equiv \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{(ax+b)^2} + \frac{C}{cx+d} \]注意： 務必包含單次冪項 \(A/(ax+b)\)。
形式 3：不可約二次因子 (簡單提及)
若分母包含無法進一步分解的二次因子（例如 \(x^2+4\)），其分子必須設為線性：
\[ \frac{P(x)}{(ax^2+bx+c)(dx+e)} \equiv \frac{Ax+B}{ax^2+bx+c} + \frac{C}{dx+e} \]4.3 拆解過程
要求出未知的常數 (A, B, C 等)，有兩種主要方法：
方法一：代入法 (快捷方法)
此法最適合處理相異線性因子。建立恆等式後，選擇讓分母為零的 \(x\) 值。這會抵消一個或多個常數，讓你輕鬆解出剩餘的常數。
步驟例子 (相異因子)：
將 \(\frac{5x - 1}{(x - 1)(x + 2)}\) 拆解。
- 建立恆等式： \[ \frac{5x - 1}{(x - 1)(x + 2)} \equiv \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{x + 2} \]
- 同乘以分母： \[ 5x - 1 \equiv A(x + 2) + B(x - 1) \]
- 代入 \(x = 1\) (以抵消 \(B\))： \[ 5(1) - 1 = A(1 + 2) + B(0) \] \[ 4 = 3A \implies A = 4/3 \]
- 代入 \(x = -2\) (以抵消 \(A\))： \[ 5(-2) - 1 = A(0) + B(-2 - 1) \] \[ -11 = -3B \implies B = 11/3 \]
- 寫出最終拆解： \[ \frac{4/3}{x - 1} + \frac{11/3}{x + 2} \]
方法二：比較係數法
當因子無法直接代入抵消（例如存在不可約二次因子）或作為重複因子的備選方案時，此法必不可少。
- 建立恆等式並展開（如上步驟 2）。
- 完全展開右側，按 \(x\) 的冪次分組。 \[ 5x - 1 \equiv (A+B)x + (2A - B) \]
- 比較相對應的 \(x\) 冪次係數：
- \(x^1\) 的係數： \(5 = A + B\)
- \(x^0\) 的係數 (常數項)： \(-1 = 2A - B\)
- 解聯立方程組求 A 和 B。(兩式相加：\(4 = 3A \implies A = 4/3\)。代回得 \(B=11/3\))。
給學生的建議： 對於重複因子（形式 2），可混合使用：用代入法求出與最高冪次相關的常數（如 \(B\) 和 \(C\)），再用比較係數法求剩餘的常數（如 \(A\)）。
部分分式重點總結：
部分分式拆解複雜分數。若分子次數 \(\ge\) 分母次數，先執行長除法。靈活使用代入法（快速求值）和比較係數法（系統求解）來找出未知常數。
現在你已經攻克了 P3 中繁重的代數與函數部分！請多加練習反函數的代數重排與部分分式，這些機械化的技能對於提升考試速度與準確性至關重要。繼續努力！