歡迎來到代數與函數（單元 P4）！
各位數學家好！這一章節至關重要。雖然你可能覺得自己已經學過「代數」和「函數」，但 P4 會將這些技巧提升到另一個層次。我們不再只是單純地解方程式，而是要掌握代數運算的技巧，以便在後續單元處理更進階的微積分問題，特別是複雜的積分運算。
不用擔心，如果代數有時讓你覺得像解謎一樣令人頭痛，我們會為你拆解 P4 中最棘手的概念：部分分式（Partial Fractions）。學完這一章，你將能夠把複雜的分式拆解成更小、更簡單的部分，為之後的積分做好萬全準備！
P4 的必備工具：部分分式
部分分式分解（Partial Fraction Decomposition）是代數分式加法的逆運算。你從一個複雜的分式開始，將其拆解為兩個或多個更簡單的分式之和（即它的「部分」）。
為什麼要使用部分分式？
想像一下，如果你要計算一個複雜的積分，例如 \(\int \frac{3x+1}{(x-1)(x+2)} dx\)。直接積分會非常困難。
但如果我們能證明：
$$\frac{3x+1}{(x-1)(x+2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+2}$$
...那麼積分就會變得簡單，得出涉及 ln（對數）的項，這部分將在微積分章節中詳細說明。部分分式將原本巨大的難題轉化為兩個簡單易解的小問題。
快速複習：真分式與假分式
在進行部分分式分解之前，你必須先檢查分子（上方）和分母（下方）多項式的次數（degree）。
- 真分式：分子的次數小於分母的次數。（例如：\(\frac{x+5}{x^2+3}\)）。你可以直接進行分解。
- 假分式：分子的次數大於或等於分母的次數。（例如：\(\frac{x^3-2}{x^2+x}\)）。停下來！你必須先進行代數除法。
常見錯誤：在未進行除法前就嘗試對假分式使用部分分式。這絕對會導致失分！
逐步教學：處理假分式（多項式除法）
如果你的分式是假分式，必須進行代數除法，將其重寫為一個多項式加上一個真分式。
類比：想想分數 \(\frac{17}{3}\)。你知道 \(\frac{17}{3} = 5 + \frac{2}{3}\)。
在代數中，我們將除法的結果寫成這樣： $$\frac{\text{分子}}{\text{分母}} = \text{商} + \frac{\text{餘式}}{\text{分母}}$$
如何進行代數除法
我們來計算 \(\frac{2x^3 + x^2 - 1}{x^2 + 1}\)：
- 設置：寫出除法式（類似數字的長除法）。
- 首項：問自己：\(x^2\) 乘以什麼會得到 \(2x^3\)？答案是：\(2x\)。這就是商的第一項。
- 乘回：將 \(2x\) 乘以除式（\(x^2 + 1\)）：\(2x(x^2+1) = 2x^3 + 2x\)。
- 相減：將此結果從分子中減去。\((2x^3 + x^2 - 1) - (2x^3 + 2x) = x^2 - 2x - 1\)。
- 重複：問自己：\(x^2\) 乘以什麼會得到餘式的首項 (\(x^2\))？答案是：\(+1\)。這是商的下一項。
- 最後相減：將 \(1\) 乘以除式：\(1(x^2+1) = x^2 + 1\)。將其從餘式中減去：\((x^2 - 2x - 1) - (x^2 + 1) = -2x - 2\)。
- 結果：由於 \(-2x-2\) 的次數（1 次）小於除式 \(x^2+1\) 的次數（2 次），我們停止計算。
最終結果為： $$\frac{2x^3 + x^2 - 1}{x^2 + 1} = \underbrace{(2x+1)}_{\text{商}} + \underbrace{\frac{-2x-2}{x^2+1}}_{\text{真分式}}$$
你只需要對其中的真分式部分進行部分分式分解！
重點摘要：一定要檢查次數。如果是假分式，先進行除法。部分分式步驟僅適用於餘式部分。
P4 中部分分式的三種形式
分母的結構決定了你該如何設置部分分式分解。我們使用大寫字母（A, B, C 等）作為需要求出的未知常數。
1. 情況一：不同的線性因式 (Distinct Linear Factors)
這是最常見且最簡單的類型。分母中的因式皆不同且為線性（1 次方）。
結構： $$\frac{P(x)}{(ax+b)(cx+d)} \equiv \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d}$$
求 A 和 B 的方法（代入法 - 快速技巧）
解出 A 和 B 最快的方法是代入法（常被稱為「遮蓋法」，雖然這個名字有時會讓人混淆）。
步驟 1： 寫出恆等式，並將等式兩邊乘以原始分母： $$\frac{3x-1}{(x-2)(x+1)} \equiv \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+1}$$ $$3x-1 \equiv A(x+1) + B(x-2)$$
步驟 2：求 A： 選擇一個能使 B 項為零的 x 值。（令 \(x=2\)）。 $$3(2)-1 = A(2+1) + B(2-2)$$ $$5 = 3A \implies A = \frac{5}{3}$$
步驟 3：求 B： 選擇一個能使 A 項為零的 x 值。（令 \(x=-1\)）。 $$3(-1)-1 = A(-1+1) + B(-1-2)$$ $$-4 = -3B \implies B = \frac{4}{3}$$
最終答案： $$\frac{3x-1}{(x-2)(x+1)} \equiv \frac{5/3}{x-2} + \frac{4/3}{x+1}$$
2. 情況二：重複的線性因式 (Repeated Linear Factors)
當分母中有一個因式的次方大於 1（例如平方）時會出現此情況。這種設置需要特別注意。
結構：你必須為重複因式的每一個次方包含一項，直到最高次方為止。 $$\frac{P(x)}{(ax+b)^2(cx+d)} \equiv \frac{A}{ax+b} + \frac{B}{(ax+b)^2} + \frac{C}{cx+d}$$
你知道嗎？如果因式是三次的，即 \((ax+b)^3\)，你需要三項：\(\frac{A}{ax+b} + \frac{B}{(ax+b)^2} + \frac{C}{(ax+b)^3}\)。
求 A, B 和 C 的方法（綜合運用法）
代入法僅適用於能讓括號歸零的因式（即求出 B 和 C）。求 A 通常需要使用係數比較法。
考慮：$$\frac{x^2+x+2}{(x-1)^2(x+1)} \equiv \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{x+1}$$
步驟 1： 乘以分母 \((x-1)^2(x+1)\)： $$x^2+x+2 \equiv A(x-1)(x+1) + B(x+1) + C(x-1)^2$$
步驟 2：使用代入法求 B 和 C：
- 若要找 C，令 \(x = -1\)： $$(-1)^2 + (-1) + 2 = C(-1-1)^2$$ $$2 = 4C \implies C = \frac{1}{2}$$
- 若要找 B，令 \(x = 1\)： $$(1)^2 + (1) + 2 = B(1+1)$$ $$4 = 2B \implies B = 2$$
步驟 3：使用係數比較法求 A：
由於代入法無法輕易求出 A，我們觀察 \(x\) 的最高次項，即 \(x^2\)：
$$x^2+x+2 \equiv A(x^2-1) + B(x+1) + C(x^2-2x+1)$$比較兩邊 \(x^2\) 的係數：
- 左式 \(x^2\) 的係數：1
- 右式 \(x^2\) 的係數：\(A\) (來自 \(A(x^2)\)) + \(C\) (來自 \(C(x^2)\))
$$1 = A + C$$
已知 \(C = 1/2\)： $$1 = A + \frac{1}{2} \implies A = \frac{1}{2}$$
分解結果為：$$\frac{1/2}{x-1} + \frac{2}{(x-1)^2} + \frac{1/2}{x+1}$$
3. 情況三：不可約二次因式 (Irreducible Quadratic Factors)
雖然涉及此情況的積分通常超出 P4 的範圍，但有時仍需要進行分解。不可約二次因式是指無法分解為實數線性因式的二次式（即 \(b^2 - 4ac < 0\)）。（例如：\(x^2+4\)）。
結構：不可約二次因式上方的分子必須是一個線性表達式 (\(Bx+C\))。
$$\frac{P(x)}{(ax+b)(cx^2+dx+e)} \equiv \frac{A}{ax+b} + \frac{Bx+C}{cx^2+dx+e}$$（注意：對於 P4 標準積分題目，你主要會用到情況一和情況二，但理解這種形式對複雜的代數運算很有幫助。）
快速複習：部分分式設置規則
1. 真分式檢查：若為假分式，必須先除。
2. 不同的線性因式： \(\frac{A}{ax+b} + \frac{B}{cx+d}\)
3. 重複的線性因式： \(\frac{A}{ax+b} + \frac{B}{(ax+b)^2} + \dots\)（必須包含到最高次方）
4. 不可約二次因式： \(\frac{Ax+B}{x^2+c}\)
求常數的方法
你有兩種強大的技巧來求常數（A, B, C...）。通常，最好的策略是兩者混用！
方法 A：代入法（根值法）
這是最快的方法。透過將 x 設為線性因式的根（例如對於 \((x-2)\) 的因式，令 \(x=2\)），你可以讓所有包含該因式的項消失，從而分離出一個常數。這完全適用於所有不同的線性因式以及重複線性因式的最高次方項。
方法 B：係數比較法
當代入法無法分離出所有常數時（例如在求重複因式的情況下的 A，或處理二次因式時），此方法是必要的。
過程：
- 展開恆等式右側的所有項。
- 根據 \(x\) 的次方（例如 \(x^2, x^1, x^0\)）對項進行分組。
- 將左側每一項的係數與右側對應的總係數相匹配。
- 解出所得的聯立方程式。
鼓勵一下：係數比較法過程可能較繁瑣，但它非常可靠。開始時，務必從 \(x\) 的最高次項係數比較起，因為這通常能得到最簡單的 A, B 或 C 的方程式。
總結與後續步驟
你現在已經掌握了純數學 4 (Pure Mathematics 4) 所需的核心代數技巧：部分分式分解。這項技能不僅是理論，更是一種專門為讓複雜積分變得可行而設計的實用工具。
請記住 P4 口訣：檢查次數，假分式先除，正確設置因式，代入或比較求常數。祝你學習順利！