歡迎來到微分（單元 P4）章節！
你好，未來的數學家！這章節是你真正開始釋放微積分威力的地方。在 P3 單元中，你學習了計算變化率的基本概念；而在 P4 單元，我們將擴充工具箱，以處理更複雜且迷人的函數，包括指數、對數以及進階的三角函數表達式。
為什麼這很重要？ 微分是現實世界中模擬變化的骨幹。無論你是要計算火箭的精確速度、細菌菌落的瞬時生長率，還是優化複雜的結構，你都在運用這章中將會掌握的技巧。
如果某些概念（例如隱函數微分）起初看起來很陌生，請不用擔心。我們會將所有內容拆解成易於理解、循序漸進的步驟。讓我們開始吧！
第 1 節：P4 中的標準微分公式
在 P3 中，你已經掌握了冪法則（power rules）。現在，我們將引入超越函數（即「超越」代數範疇的函數）的關鍵微分公式。
1.1 指數函數：\(e^x\)
數字 \(e\)（歐拉數，約為 2.718）是微積分中最特殊的數。它的微分結果非常簡單。
若 \(y = e^x\)，則 \(\frac{dy}{dx} = e^x\)。
記憶小撇步（神奇函數）： 指數函數 \(e^x\) 的微分等於它自己，它保持不變！
一般情況（使用連鎖律）：
若 \(y = e^{f(x)}\)，則 \(\frac{dy}{dx} = f'(x) e^{f(x)}\)。
例子：若 \(y = e^{3x^2+5}\)，則 \(f(x) = 3x^2+5\)，故 \(f'(x) = 6x\)。因此，\(\frac{dy}{dx} = 6x e^{3x^2+5}\)。
1.2 對數函數：\(\ln x\)
自然對數（\(\ln x\)）是 \(e^x\) 的反函數。
若 \(y = \ln x\)（其中 \(x>0\)），則 \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}\)。
一般情況（使用連鎖律）：
若 \(y = \ln(f(x))\)，則 \(\frac{dy}{dx} = \frac{f'(x)}{f(x)}\)。
例子：若 \(y = \ln(4x^3)\)，則 \(f(x) = 4x^3\)，故 \(f'(x) = 12x^2\)。因此，\(\frac{dy}{dx} = \frac{12x^2}{4x^3} = \frac{3}{x}\)。
快速回顧：指數與對數微分
- \(\frac{d}{dx} (e^{ax}) = a e^{ax}\)
- \(\frac{d}{dx} (\ln(ax)) = \frac{a}{ax} = \frac{1}{x}\)
1.3 標準三角函數微分（複習與 P4 新增內容）
你應該還記得正弦（sine）與餘弦（cosine）的變化循環。你在 P4 中必須牢記的一個關鍵新微分公式是 \(\tan x\) 的微分。
1. 若 \(y = \sin x\)，則 \(\frac{dy}{dx} = \cos x\)。
2. 若 \(y = \cos x\)，則 \(\frac{dy}{dx} = -\sin x\)。
3. 若 \(y = \tan x\)，則 \(\frac{dy}{dx} = \sec^2 x\)。
避免常見錯誤： 別忘了負號！
記住：以 Co 開頭的函數（如 Cos）都有 Cold（負數）的微分結果。
第 2 節：精通進階微分法則（P4 應用）
P4 要求你熟練運用連鎖律（Chain Rule）、積法則（Product Rule）和商法則（Quotient Rule），並經常將它們與我們剛學到的新函數結合使用。
2.1 連鎖律（函數的函數）
當一個函數嵌套在另一個函數內時使用（例如 \(\sin(x^2)\)、\(e^{5x}\)、\((2x+1)^3\)）。
公式：若 \(y = f(u)\) 且 \(u = g(x)\)，則 \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}\)。
比喻：洋蔥
想像函數是一個洋蔥。你先微分最外層（將內層函數視為一個變量），然後乘以內層函數的微分。
例子：微分 \(y = \cos(x^3)\)。
- 外層 (cos)：微分結果為 \(-\sin(\text{內容物})\)。
- 內層 (內容物 \(x^3\))：微分結果為 \(3x^2\)。
- 相乘：\(\frac{dy}{dx} = -\sin(x^3) \times 3x^2 = -3x^2 \sin(x^3)\)。
2.2 積法則
當兩個 \(x\) 的函數相乘時使用（例如 \(x^2 e^x\)、\(x \cos x\)）。
公式：若 \(y = uv\)，則 \(\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}\)。
記憶小撇步： 「前導後不導，加後導前不導」。
例子：微分 \(y = x^2 \ln x\)。
設 \(u = x^2\) 且 \(v = \ln x\)。
則 \(\frac{du}{dx} = 2x\) 且 \(\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}\)。
\(\frac{dy}{dx} = (x^2) \left(\frac{1}{x}\right) + (\ln x) (2x)\)
\(\frac{dy}{dx} = x + 2x \ln x\)。 (如果需要，可提取 \(x\)：\(x(1 + 2 \ln x)\))。
2.3 商法則
當一個 \(x\) 的函數除以另一個函數時使用（例如 \(\frac{e^x}{x}\)、\(\frac{\sin x}{x^2+1}\)）。
公式：若 \(y = \frac{u}{v}\)，則 \(\frac{dy}{dx} = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\)。
記憶小撇步（口訣）：
「低 D 高，減高 D 低，再除以低平方！」
（低 = \(v\)，高 = \(u\)，D = 微分）
關鍵點： 分子的順序很重要！必須是 \(v \frac{du}{dx}\) 減去 \(u \frac{dv}{dx}\)。
例子：微分 \(y = \frac{\sin x}{e^x}\)。
設 \(u = \sin x\)，\(\frac{du}{dx} = \cos x\)。
設 \(v = e^x\)，\(\frac{dv}{dx} = e^x\)。
\(\frac{dy}{dx} = \frac{(e^x)(\cos x) - (\sin x)(e^x)}{(e^x)^2}\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{e^x (\cos x - \sin x)}{e^{2x}}\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{\cos x - \sin x}{e^x}\)。
2.4 三角函數倒數的微分
這些微分通常使用商法則推導，但為了速度和準確性，建議你將它們背誦下來。
- 若 \(y = \sec x\)，則 \(\frac{dy}{dx} = \sec x \tan x\)。
- 若 \(y = \csc x\)，則 \(\frac{dy}{dx} = -\csc x \cot x\)。
- 若 \(y = \cot x\)，則 \(\frac{dy}{dx} = -\csc^2 x\)。
你知道嗎？ 所有以字母 'C' 開頭的三角函數微分（\(\cos x\)、\(\csc x\)、\(\cot x\)）結果均帶有負號！
第 3 節：隱函數微分（Implicit Differentiation）
隱函數微分是 P4 的核心技能。當 \(y\) 不能輕易（或根本無法）明確寫成 \(x\) 的函數時，我們使用此法（例如 \(x^2 + y^2 = 25\)）。
3.1 概念：將 \(y\) 視為 \(f(x)\)
當你微分只涉及 \(x\) 的項時，正常微分即可。但當你微分涉及 \(y\) 的項時，必須應用連鎖律，因為 \(y\) 隱含地是 \(x\) 的函數。
即 \(\frac{d}{dx} (y^n) = \frac{d}{dy} (y^n) \times \frac{dy}{dx} = n y^{n-1} \frac{dy}{dx}\)。
規則： 每當你對含有 \(y\) 的項進行關於 \(x\) 的微分時，必須將結果乘以 \(\frac{dy}{dx}\)。
3.2 隱函數微分的步驟
步驟 1： 對方程式中的每一項進行關於 \(x\) 的微分。
步驟 2： 如果有混合項（例如 \(xy\)），使用積法則。記得 \(y\) 的部分要乘以 \(\frac{dy}{dx}\)！
步驟 3： 將所有包含 \(\frac{dy}{dx}\) 的項移到方程式的一側，將其他項移到另一側。
步驟 4： 提取 \(\frac{dy}{dx}\) 並解出結果。
例子：求 \(x^2 + y^3 + 2xy = 5\) 的 \(\frac{dy}{dx}\)。
步驟 1 & 2：逐項微分
\(\frac{d}{dx}(x^2) = 2x\)
\(\frac{d}{dx}(y^3) = 3y^2 \frac{dy}{dx}\)
\(\frac{d}{dx}(2xy)\) 需要使用積法則。設 \(u=2x\) (\(\frac{du}{dx}=2\)) 及 \(v=y\) (\(\frac{dv}{dx}=\frac{dy}{dx}\))。
\(2xy\) 的微分：\(u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} = 2x \frac{dy}{dx} + y(2)\)
\(\frac{d}{dx}(5) = 0\)
微分後的方程式： \(2x + 3y^2 \frac{dy}{dx} + 2x \frac{dy}{dx} + 2y = 0\)
步驟 3 & 4：收集並求解
\(3y^2 \frac{dy}{dx} + 2x \frac{dy}{dx} = -2x - 2y\)
\(\frac{dy}{dx} (3y^2 + 2x) = -2x - 2y\)
\(\frac{dy}{dx} = \frac{-2x - 2y}{3y^2 + 2x}\)
隱函數微分的重點總結
隱函數微分不過是連鎖律的重複應用。每當你看到 \(y\)，把它當作內層函數，並記得加上 \(\frac{dy}{dx}\)。
第 4 節：相關變化率（Related Rates of Change）
本節應用連鎖律來解決當兩個變化率（兩種不同量變化的快慢）透過單一變量（通常是時間 \(t\)）連接的問題。
例如：如果我們知道體積的變化快慢（\(\frac{dV}{dt}\)），氣球的半徑變化有多快（\(\frac{dr}{dt}\)）？
4.1 基本關係
我們經常使用連鎖律來連接兩個變化率：
\[ \frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dB} \times \frac{dB}{dt} \]
在此公式中，\(A\) 和 \(B\) 是兩個變化量（如面積與半徑），而 \(t\) 是共同的連結變量（時間）。
4.2 相關變化率的解題步驟
步驟 1：識別已知資訊。 列出已知速率以及感興趣那一刻變數的值。
步驟 2：找到連結方程式。 寫出連接兩個量的代數公式（例如 \(V = \frac{4}{3} \pi r^3\)）。
步驟 3：建立連鎖律公式。 決定需要連結哪些速率。如果你知道 \(\frac{dV}{dt}\) 並需要 \(\frac{dr}{dt}\)，你需要： \[ \frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dr} \times \frac{dr}{dt} \]
步驟 4：微分連結方程式。 找出所需的中間導數（例如從方程式算出 \(\frac{dV}{dr}\)）。該導數會是一個包含變數（如 \(r\)）的表達式。
步驟 5：代入並求解。 將已知值（包括變數的瞬時值和已知速率）代入連鎖律公式並計算所需的速率。
例子類比：融化的冰塊
如果一個冰塊融化，其體積 \(V\) 以 \(2 \text{ cm}^3\text{/min}\) 的速率減少（\(\frac{dV}{dt} = -2\)）。我們想求邊長 \(x\) 為 \(5 \text{ cm}\) 時，邊長的變化速率（\(\frac{dx}{dt}\)）。
連結方程式： \(V = x^3\)
中間導數： \(\frac{dV}{dx} = 3x^2\)
連鎖律： \(\frac{dV}{dt} = \frac{dV}{dx} \times \frac{dx}{dt}\)
代入已知值（當 \(x=5\) 時）：
\(-2 = (3(5)^2) \times \frac{dx}{dt}\)
\(-2 = 75 \times \frac{dx}{dt}\)
\(\frac{dx}{dt} = -\frac{2}{75} \text{ cm/min}\) （負號證實邊長正在減少）。
快速回顧：P4 微分檢查清單
請確保你能夠流暢運用：
- \(e^{f(x)}\) 和 \(\ln(f(x))\) 的微分。
- 靈活結合積法則、商法則與連鎖律。
- 隱函數微分（特別是像 \(x^2 y\) 這類的混合項）。
- 解決涉及「相關變化率」的應用題。
恭喜你攻克了這個重要的章節！持續練習，這些進階技巧將會成為你的第二天性。