歡迎來到代數與函數的世界！
歡迎開啟你 International AS Level Mathematics 學習之旅的第一個重要基石！可以把代數 (Algebra) 想像成數學的「文法」。就像你需要語法來構建句子一樣，你需要這些代數規則來解決 Pure Mathematics 1 中幾乎所有的題目。如果一開始覺得有些抽象，別擔心——我們會把它拆解成簡單、易於掌握的步驟，並附上許多小技巧來幫助你記住這些規則。
1. 指數 (Indices) 與根式 (Surds)
在我們建立複雜的函數圖像之前，必須先熟練掌握「小數字」（冪）和「平方根」（根式）。
指數定律
指數只是重複乘法的速記法。以下是你必須掌握的規則：
1. 乘法： \(a^m \times a^n = a^{m+n}\) （指數相加）
2. 除法： \(a^m \div a^n = a^{m-n}\) （指數相減）
3. 冪的冪： \((a^m)^n = a^{mn}\) （指數相乘）
4. 負指數： \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) （負號意味著「取倒數」）
5. 分數指數： \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\)
記憶小撇步： 對於分數指數，請記住「根在下面 (The Root is at the bottom)」。就像樹一樣，分母 (\(n\)) 就是樹根！
根式運算
根式是無理數平方根（如 \(\sqrt{2}\)）。你需要學會如何有理化分母 (Rationalise the Denominator)。這是一個華麗的說法，意思是「把分母上的平方根消去」。
例子： 要將 \(\frac{k}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}\) 有理化，你需要將分子和分母同時乘以共軛複數 (conjugate)，即 \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\)。符號會產生「衝突」並抵消中間的根式項！
關鍵重點：
請務必先簡化根式（例如 \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}\)），這樣計算會容易得多。
2. 二次函數 (Quadratic Functions)
二次函數的形式為 \(ax^2 + bx + c\)。這些是你在自然界隨處可見的「U 型」或「n 型」曲線，例如拋物線。
判別式 (Discriminant)：解的偵探
在二次方程求根公式 \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) 中，根號下的部分 \(b^2 - 4ac\) 被稱為判別式。它能告訴我們圖像與 x 軸有多少個交點：
- 若 \(b^2 - 4ac > 0\)：兩個不同的實根（圖像與 x 軸有兩個交點）。
- 若 \(b^2 - 4ac = 0\)：一個重實根（圖像剛好「觸碰」x 軸）。
- 若 \(b^2 - 4ac < 0\)：沒有實根（圖像完全浮在 x 軸上方或下方）。
配方法 (Completing the Square)
這是一種將二次函數重寫為 \(a(x + p)^2 + q\) 的技巧。這非常有幫助，因為它能精確指出圖像的頂點 (Turning Point) 位置：位於 \((-p, q)\)。
快速複習： 要對 \(x^2 + bx + c\) 進行配方，取 \(b\) 的一半，將其平方後減去它。形式如下：\((x + \frac{b}{2})^2 - (\frac{b}{2})^2 + c\)。
關鍵重點：
判別式告訴你有多少個解；配方法則告訴你圖像在哪裡轉向。
3. 聯立方程與不等式
有時你需要找出兩條線在哪裡相交，或者圖像的哪些區域滿足特定條件。
代入法求解
在 P1 中，你經常會遇到一個線性方程和一個二次方程的組合。
1. 將線性方程重新排列，得到 \(y = \dots\) 或 \(x = \dots\)
2. 將此式代入二次方程中。
3. 解出得到的二次方程。
別忘了： 算出 \(x\) 後，記得代回原式求出對應的 \(y\)！
二次不等式
求解 \(x^2 - 5x + 6 < 0\) 與求解方程不同。
1. 找出臨界值 (critical values)（即等於零的地方）。
2. 畫出草圖。
3. 觀察草圖：如果是 \(< 0\)，你需要的是 x 軸下方的部分。如果是 \(> 0\)，則需要 x 軸上方的部分。
常見錯誤： 學生經常忘記在乘以或除以負數時要改變不等號的方向！例子：\(-2x < 10\) 會變成 \(x > -5\)。
4. 多項式與圖像
你需要能夠畫出三次函數 (Cubic, \(x^3\)) 和倒數函數 (Reciprocal, \(\frac{k}{x}\) 與 \(\frac{k}{x^2}\)) 的草圖。
倒數函數圖像
\(y = \frac{k}{x}\) 和 \(y = \frac{k}{x^2}\) 的圖像有漸近線 (Asymptotes)。
什麼是漸近線？ 你可以把它想像成一個「力場」。圖像會越來越靠近那條線（如 x 軸或 y 軸），但永遠不會真正觸碰或穿過它。
交點
你知道嗎？ 兩個圖像 \(y = f(x)\) 和 \(y = g(x)\) 的交點，實際上就是方程 \(f(x) = g(x)\) 的解。如果兩條線沒有交點，它們組合方程的判別式就會是負數！
5. 圖像變換
在這裡，我們會拿一個基本圖像（如 \(y = x^2\)）並對它進行移動或變形。想像這個圖像是一條金屬線，你可以平移或拉伸它。
這是你在 P1 中需要掌握的四種變換：
1. \(f(x) + a\)： 將圖像向上平移 \(a\) 個單位（垂直平移）。
2. \(f(x + a)\)： 將圖像向左平移 \(a\) 個單位（水平平移）。注意：這個比較「反直覺」——加號代表向左！
3. \(a f(x)\)： 將圖像垂直拉伸，縮放因子為 \(a\)。
4. \(f(ax)\)： 將圖像水平壓縮，縮放因子為 \(\frac{1}{a}\)。又是另一個「反直覺」的例子！
「內外」技巧：
- 如果變化在括號外面（如 \(f(x) + a\)），它會影響 y 坐標，並且變換與你直覺預期的完全一致。
- 如果變化在括號裡面（如 \(f(x + a)\)），它會影響 x 坐標，並且變換結果與你預期的相反。
關鍵重點：
對於括號內的水平變化，永遠反向思考！ \(+3\) 代表向左移 \(3\) 個單位，乘以 \(2\) 代表你要把 x 值除以 \(2\)。
總結清單
- 我能簡化 \(\sqrt{50}\) 並有理化 \(\frac{1}{\sqrt{3}+1}\) 嗎？
- 我知道 \(b^2 - 4ac = 0\) 代表只有一個重根嗎？
- 我能透過配方法找出二次函數的頂點嗎？
- 我知道 \(y = f(x+2)\) 會將圖像向左移動嗎？
- 我能透過先提出共同因子 \(x\)，對簡單的三次式如 \(x^3 + 4x^2 + 3x\) 進行因式分解嗎？
如果起初覺得有點棘手，別擔心！ 代數是一項熟能生巧的技能。繼續練習繪製圖像，很快這些規律就會成為你的直覺。