永久年金 (Perpetuities)：永恆的禮物

歡迎來到 Exam FM 中最優雅的主題之一！到目前為止，你處理的可能都是有固定結束日期的年金（例如 5 年期車貸或 30 年期房貸）。但如果付款永遠不會停止呢？這就是永久年金 (Perpetuities) 的世界。

雖然「永遠」這個概念在數學上聽起來很嚇人，但你會很快發現，永久年金的公式其實比一般年金簡單得多。在本章中，我們將探討為什麼這些無限現金流如此有用，以及如何掌握考試所需的計算方法。

究竟什麼是永久年金？

永久年金 (Perpetuity) 是一種付款會持續永遠的年金。因為在這種情況下時間永無止境，所以沒有所謂的「n」（期數）。

現實生活中的類比： 想像一位富有的捐贈者設立了一項大學獎學金。他們希望獎學金每年發放 10,000 美元，永久發放，且永遠不動用原始的「本金」。這個獎學金基金就是一個定額永久年金。

你知道嗎？ 「Perpetuity」這個詞與「perpetual」同源，意指永恆或不變。在金融領域，它代表一種只要機構（如政府或大學）存在就會持續下去的現金流。

關鍵先決條件：收斂的概念

如果你不是微積分專家也不用擔心！為什麼「永遠」的現金流會有有限的現值 (Present Value)？這是因為貨幣時間價值 (Time Value of Money)。500 年後收到的 100 美元，在今天幾乎一文不值。因為這些未來的款項在現值中會變得越來越小，最終它們會「加總」出一個特定的、有限的數值。

1. 期末付永久年金 (Perpetuity-Immediate)

期末付永久年金是指一系列定額付款，其中第一筆付款發生在今天之後的一個期間（在時間點 \(t=1\)）。

公式

在有效利率 \(i\) 下，支付額為 \(1\) 的期末付永久年金之現值 (\(PV\)) 為：

\( a_{\infty|i} = \frac{1}{i} \)

如果付款金額是 \(P\) 而非 \(1\)，公式則變為：

\( PV = \frac{P}{i} \)

範例： 如果你想每年年底永久收到 500 美元，且年有效利率為 5%，你今天必須投資多少錢？

逐步計算：
1. 確定付款額：\(P = 500\)
2. 確定利率：\(i = 0.05\)
3. 套用公式：\(PV = \frac{500}{0.05} = 10,000\)
答案：10,000 美元

為什麼有效？

換個角度想：如果你的銀行帳戶裡有 10,000 美元，賺取 5% 的利息，你將在年底賺取 500 美元的利息。如果你只提取那 500 美元的利息，你仍然有 10,000 美元的本金在下一年繼續賺取 500 美元。你可以永遠這樣做！

快速複習： 對於期末付永久年金，付款從 \(t=1\) 開始。公式就是付款額 / 利率。

2. 期初付永久年金 (Perpetuity-Due)

期初付永久年金是指一系列定額付款，其中第一筆付款發生在今天（即刻）（在時間點 \(t=0\)）。

公式

付款額為 \(1\) 的期初付永久年金之現值 (\(PV\)) 為：

\( \ddot{a}_{\infty|i} = \frac{1}{d} \)

請記住 \(d = \frac{i}{1+i}\)。你也可以這樣理解：
\( \ddot{a}_{\infty|i} = \frac{1}{i} + 1 \) （即「期末付」版本再加上現在立刻支付的一筆款項！）

如果付款金額是 \(P\)，公式則為：

\( PV = \frac{P}{d} \)

範例： 你贏得了一個「終身獎」，獎金從今天開始支付 500 美元，並且每年永久持續。如果年有效利率為 5%，這個獎項的價值是多少？

逐步計算：
1. 確定付款額：\(P = 500\)
2. 確定利率：\(i = 0.05\)
3. 計算折現率：\(d = \frac{0.05}{1.05} \approx 0.047619\)
4. 套用公式：\(PV = \frac{500}{0.047619} = 10,500\)
或者：\(PV = 500 + \frac{500}{0.05} = 500 + 10,000 = 10,500\)

記憶小撇步：
Immediate (期末) 開始得較晚，所以使用 \(i\)。
Due (期初) 開始於今天，所以使用 \(d\)。

應避免的常見陷阱

即使是最優秀的學生也可能犯這些錯誤，請務必留意！

  • 利率不匹配： 確保你的利率 \(i\) 與付款頻率相匹配。如果付款是每月一次，你必須使用月有效利率。
  • 「前一期」規則： 公式 \(PV = \frac{P}{i}\) 給出的是在第一筆付款時間點前一期的價值。如果第一筆付款在 \(t=5\)，公式 \(\frac{P}{i}\) 給出的是 \(t=4\) 時的價值。之後，你必須將該價值折現回 \(t=0\)。
  • 混淆 \(i\) 和 \(d\)： 請記住，對於任何年金或永久年金，期初付版本（從 \(t=0\) 開始）的價值總是高於期末付版本（從 \(t=1\) 開始），因為你更快拿到了錢！

總結與關鍵重點

你需要的公式：
1. 期末付永久年金：\(PV = \frac{P}{i}\)
2. 期初付永久年金：\(PV = \frac{P}{d}\)
3. 關係式：\(\ddot{a}_{\infty|i} = a_{\infty|i} \times (1+i)\)

成功步驟：
1. 畫出時間軸： 這是解決任何 FM 問題最重要的一步。標記出第一筆付款發生的時間。
2. 確定利率： 確保你的 \(i\) 與付款期間一致。
3. 檢查時間點： 第一筆付款是在今天 (\(t=0\)) 還是期間結束時 (\(t=1\))？
4. 套用與調整： 使用公式，然後將結果折現或累計到題目要求特定的時間點。

如果起初覺得棘手，不用擔心！ 永久年金其實是你的好朋友，因為它們消除了標準年金中複雜的 \((1+i)^{-n}\) 項。一旦你掌握了時間點，這些將會是你在考試中最快得分的部分。

考試小貼士： 如果題目提到「很長一段時間」或「無限期」，這通常是一個提示，讓你將現金流視為永久年金來處理！