歡迎來到非定額現金流的世界！

在之前的學習中，你可能已經熟練掌握了定額年金（Level Annuities）——即每一期支付金額都相同的年金。但在現實世界中，情況往往不會一成不變！想想你未來的職涯：你很可能會獲得年度加薪（幾何增長），又或者你在償還貸款時，利息會減少而本金還款額會改變（算術變動）。本章節就是要教你如何處理這些會增加、減少或遵循特定規律的現金流。如果一開始覺得公式很多，別擔心；我們會把它們拆解成你可以一眼辨認出的簡單模式。

1. 幾何增長年金 (Geometrically Increasing Annuities)

幾何增長年金是指一系列付款，每一期的支付金額都比前一期增加固定的百分比。這非常適合用來模擬通貨膨脹或固定比例的薪資加薪。

規律

想像第一期的付款為 \(1\)。下一期為 \(1(1+g)\)，再下一期為 \(1(1+g)^2\)，以此類推，持續 \(n\) 期。

如何計算現值 (PV)

你可以選擇背誦一長串公式，但這裡有一個小秘訣：把它看作是標準年金的修正版。如果利率為 \(i\)，增長率為 \(g\)，我們可以使用一個「淨」利率來計算。

期末付年金（Annuity-immediate）的現值公式為：
\( PV = \frac{1 - (\frac{1+g}{1+i})^n}{i-g} \)

常見錯誤：

留意 \(i = g\) 的情況！ 如果利率等於增長率，分母會變成零。在這種特殊情況下，公式會優美地簡化為：
\( PV = n \times v \) （其中 \(v = \frac{1}{1+i}\)）
其實，更簡單的思考方式是：PV 加總中的每一項都變得完全相同！所以 \(PV = \frac{n}{1+i}\)。

快速總結：

當你看到「每年增加 X%」時，這就是幾何年金。請使用 \( \frac{1 - (\dots)}{i-g} \) 公式。

2. 算術增長年金 (Arithmetically Increasing Annuities)

在算術級數中，付款金額是按固定的金額而非百分比增加。把它想像成樓梯：每一階的高度完全相同。

標準遞增年金 \( (Ia)_{\bar{n}|} \)

這是一個特定案例，第一期支付 1，第二期支付 2，第三期支付 3，第 \(n\) 期支付 \(n\)。

公式：
\( (Ia)_{\bar{n}|} = \frac{\ddot{a}_{\bar{n}|i} - nv^n}{i} \)

步驟拆解：

1. 計算期初付年金（Annuity-due）的價值 \(\ddot{a}_{\bar{n}|}\)。
2. 減去「遞減」項 \(nv^n\)。
3. 將整個結果除以利率 \(i\)。

類比：樓梯

想像你在堆疊一組樓梯方塊。每年你都在堆疊的基礎上多加一塊。上述公式告訴你所有這些方塊在今天的價值。

3. 算術遞減年金 (Arithmetically Decreasing Annuities)

這正好相反！付款從高額開始，每一期減少 1。第一期支付 \(n\)，第二期支付 \(n-1\)，最後一期支付 1。

公式：

\( (Da)_{\bar{n}|} = \frac{n - a_{\bar{n}|i}}{i} \)

你知道嗎？

遞增年金與遞減年金之間有一個很酷的關係。如果你將一個 \(n\) 年的遞增年金與一個 \(n\) 年的遞減年金相加，你會得到每年相等的 \((n+1)\) 固定付款！這有時可以幫助你檢查計算結果是否正確。

4. 「P-Q」公式：適用於任何算術級數

如果付款不是從 1 開始怎麼辦？如果它們從 $500 開始，每年增加 $20 呢？這就是 P-Q 公式派上用場的時候，它會是你最好的朋友。

參數說明：

- P = 第一期的付款金額。
- Q = 增加量（如果是遞減，請使用負數）。
- n = 付款期數。

通用公式：

\( PV = P a_{\bar{n}|} + Q \frac{a_{\bar{n}|} - nv^n}{i} \)

註：此公式的後半部分 (\( \frac{a_{\bar{n}|} - nv^n}{i} \)) 在某些教科書中等同於 \(\frac{(Ia)_{\bar{n}|} - a_{\bar{n}|}}{i}\)，但上述版本對計算而言最為直接。

範例：

如果你第一年收到 $100，第二年 $110，第三年 $120：
- P = 100
- Q = 10
- n = 3

5. 彩虹或回文年金 (Rainbow or Palindromic Annuities)

有時考試會給你一個先增加後減少的年金（例如：1, 2, 3, 2, 1）。這通常被稱為彩虹年金 (Rainbow Annuity)。

秘訣：

與其拆解成兩個 P-Q 公式，不如記住這個優美的恆等式：
一個支付序列為 (1, 2, ..., n-1, n, n-1, ..., 1) 的現值簡單地等於：
\( PV = a_{\bar{n}|} \times \ddot{a}_{\bar{n}|} \)
或者更簡單地：
\( PV = (a_{\bar{n}|})^2 \times (1+i) \)

總結與成功秘訣

快速回顧框：

- 幾何型： 使用增長率公式。記得檢查 \(i=g\) 的情況。
- 算術遞增： 從 1 開始，到 \(n\) 結束。公式使用 \(\ddot{a}_{\bar{n}|}\)。
- 算術遞減： 從 \(n\) 開始，到 1 結束。公式使用 \(a_{\bar{n}|}\)。
- P-Q 方法： 適用於任何「非標準」起點的算術數列。

考試專業技巧：

1. 畫時間軸！ 這是處理非定額現金流最重要的一步。如果增長從第 2 年才開始，請務必確保你的 \(n\) 和指數是對齊的。
2. 檢查時點： 這是期末付年金（第一筆支付在 \(t=1\)）還是期初付年金（第一筆支付在 \(t=0\)）？上述公式皆為期末付 (immediate)。如果是期初付 (due)，只需將最終答案乘以 \((1+i)\)。
3. 不要驚慌： 如果你忘記了公式，當 \(n\) 很小（如 \(n=3\) 或 \(4\)）時，你總是可以直接將每一筆付款分別折現。多花一分鐘計算總比猜測一個你不確定的公式要好！

你可以的！ 掌握這些規律是通過 Exam FM 的最大障礙之一。一旦你能識別出「步進」是百分比（幾何）還是金額（算術），你就已經成功了一半！