歡迎來到債券定價的世界！

各位未來的精算師大家好！今天，我們要深入探討 Exam FM 考試大綱中極具實用性且經常考到的部分：債券的價格（Price）、帳面價值（Book Value）和市場價值（Market Value）。如果這些術語聽起來像艱澀的會計術語，請別擔心；讀完這份指南後，你就會發現它們其實只是從不同角度觀察債券隨時間變化的價值。你可以將此視為從貸款人的角度，學習如何追蹤一筆貸款的「餘額」。

1. 決定債券的價格

在討論帳面價值之前，我們必須先知道債券是如何定價的。簡單來說，債券的價格就是未來所有現金流的現值（Present Value, PV）。

當你購買債券時，你會獲得兩樣東西：
1. 一系列定期的付款，稱為利息（Coupons）。
2. 期末的一筆總金額，稱為贖回價值（Redemption Value）（通常記為 \(C\)）。

基本定價公式

Exam FM 中使用的標準公式為：
\(P = Fra_{\overline{n}|i} + Cv^n\)

其中：
\(P\) = 價格
\(F\) = 面值（Face Value，用於計算利息金額）
\(r\) = 每期的息票率（Coupon rate）
\(i\) = 收益率（Yield rate，投資者實際賺取的利率）
\(n\) = 距離到期的期數
\(C\) = 贖回價值（通常與面值相同，但未必總是如此！）

小貼士：如果題目說「一張 $1,000 的債券」，除非另有說明，否則通常代表 \(F\) 和 \(C\) 均為 $1,000。如果贖回價值不同，題目會稱其為「以 \(C\) 贖回的債券」。

類比：果樹

想像你買了一棵果樹。「價格」是你今天支付的成本。「利息」是你每年收穫的水果籃。「贖回價值」則是果樹停止生產後，你賣掉木材所獲得的金額。要找出公平價格，你只需將所有未來的果實和木材價值換算成今天的美元價值即可！

重點總結：價格不過是折現後的利息總和加上折現後的贖回價值。

2. 溢價與折價

你經常會聽到債券以溢價（Premium）或折價（Discount）出售。這完全取決於息票率（\(r\)）與收益率（\(i\)）之間的關係。

溢價 (\(P > C\))：當息票率高於市場利率（\(r > i\)）時，就會發生這種情況。投資者喜歡高息票，因此願意支付超過贖回價值的價格來獲得它們。
折價 (\(P < C\))：當息票率低於市場利率（\(r < i\)）時，就會發生這種情況。因為利息「偏低」，債券必須更便宜才能吸引買家。

記憶口訣：「如果利息 Great（高），你要付出的 Rate（價錢） 就高（溢價）。如果利息 Low（低），價格必須 Go（走低）（折價）。」

3. 帳面價值 (\(B_t\))

債券在時間 \(t\) 的帳面價值是投資者資產負債表上所記錄的價值。它本質上是債券在任何時間點的「未償餘額」。

如何計算帳面價值

計算時間 \(t\) 的帳面價值有兩種方法，但對 Exam FM 而言，預期法（Prospective Method）通常最簡單：

預期法：
\(B_t = Fra_{\overline{n-t}|i} + Cv^{n-t}\)

簡單來說：要找出今天的帳面價值，只需計算剩餘所有未來付款的現值。如果一張 10 年期債券已經發行了 4 年，還剩下 6 年。你只需找出這剩餘 6 年的利息和贖回價值的現值即可。

你知道嗎？在最開始（時間 0），帳面價值就是價格（\(B_0 = P\)）。在最後（時間 \(n\)），帳面價值正好等於贖回價值（\(B_n = C\)）。

4. 溢價攤銷與折價累積

隨著時間流逝，帳面價值會從原始價格向最終的贖回價值移動。這種變動稱為攤銷（amortization，如果價值下降）或累積（accumulation，如果價值上升）。

基本關係

對於任何期間，以下邏輯永遠成立：
賺取利息 = (期初帳面價值) \(\times\) (收益率 \(i\))
本金調整 = 利息收入 - 賺取利息

1. 溢價攤銷：如果你支付了溢價，帳面價值會在每一期減少，直到達到 \(C\)。每一期減少的金額就是「溢價攤銷」。
2. 折價累積：如果你以折價購買，帳面價值會在每一期增加，直到達到 \(C\)。這種增加稱為「折價累積」。

步驟說明：攤銷表邏輯

1. 從期初帳面價值 (\(B_{t-1}\)) 開始。
2. 計算賺取的利息：\(I_t = i \cdot B_{t-1}\)。
3. 查看你的利息收入：\(Fr\)。
4. 兩者之差 \((Fr - I_t)\) 就是帳面價值變動的金額。
5. 新的帳面價值：\(B_t = B_{t-1} - (Fr - I_t)\)。

常見錯誤：不要將利息收入（Coupon）與賺取的利息（Interest Earned）混淆。利息收入是你收到的現金；賺取的利息是根據收益率計算出的投資理論增值。

重點總結：帳面價值會隨著時間推移，不斷向贖回價值「靠攏」。

5. 市場價值

雖然帳面價值是基於購買時的收益率，但市場價值是債券在當前市場利率下，今天能賣出的價格。

計算方式：市場價值的計算方法與帳面價值完全相同，但你必須使用當前市場利率（\(i'\)）而非原始收益率（\(i\)）。

\(MV_t = Fra_{\overline{n-t}|i'} + Cv_{i'}^{n-t}\)

類比：想像你買了一棟房子並申請了固定利率抵押貸款。你的「帳面價值」就像是根據合約計算出的剩餘貸款餘額。「市場價值」則是如果你現在試圖在房地產市場出售房屋，別人願意支付的價格。兩者可能會有很大差異！

6. 總結與快速複習

快速複習框

- 價格 (\(P\))：所有未來現金流在時間 0 的現值。
- 帳面價值 (\(B_t\))：剩餘現金流在時間 \(t\) 的現值（使用原始收益率）。
- 市場價值 (\(MV_t\))：剩餘現金流在時間 \(t\) 的現值（使用當前市場收益率）。
- 溢價：當 \(r > i\) 時，價格 \(>\) 贖回價值。
- 折價：當 \(r < i\) 時，價格 \(<\) 贖回價值。

最後鼓勵

如果攤銷表的公式起初讓你感到不知所措，別擔心。只需記住核心概念：債券只是一系列付款的組合。無論你是計算初始價格還是中間的帳面價值，你都只是在進行現值計算。掌握「預期法」，你就離通過 Exam FM 這部分內容不遠了！