2022 DSE 數學 單元一 (微積分與統計) 模擬試題 | Past Paper 練習

在 \(\left(1 + \frac{x}{k}\right)^n\) 按 \(x\) 的升冪排列的展開式中，其中 \(n\) 為正整數且 \(k\) 為非零實數。已知 \(x\) 的係數為 \(2\) 且 \(x^2\) 的係數為 \(\frac{3}{2}\)。求 \(n\) 及 \(k\) 的值。

袋子 \(X\) 內有 3 個紅球及 2 個藍球。袋子 \(Y\) 內有 2 個紅球及 4 個藍球。現擲一枚均勻的骰子。若擲得的點數為 1 或 2，則從袋子 \(X\) 中隨機抽取一個球；否則，從袋子 \(Y\) 中隨機抽取一個球。(a) 求抽得紅球的概率。(b) 已知抽得的是紅球，求擲得點數為 1 或 2 的概率。

在 \((1 + ax)^n (1 - 3x)^2\) 的展開式中，其中 \(n\) 為正整數且 \(a\) 為非零常數，\(x\) 的係數為 \(4\) 而 \(x^2\) 的係數為 \(-11\)。求 \(a\) 及 \(n\) 的值。

考慮曲線 \(C: y = \frac{e^{2x}}{x-1}\)，其中 \(x > 1\)。 (a) 求 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\)。 (2分) (b) 求 \(C\) 的極小值點的坐標。 (4分)

在 \((1 + kx)^n (1 - 2x)^5\) 的展開式中（其中 \(n\) 為正整數且 \(k\) 為常數），\(x\) 及 \(x^2\) 的係數分別為 \(-2\) 及 \(-16\)。求 \(n\) 及 \(k\) 的值。

某軟件系統包含由兩位程式設計師 Alice 和 Bob 所撰寫的程式碼。Alice 撰寫了 \(60\%\) 的程式碼，而 Bob 則撰寫了其餘的 \(40\%\)。已知 Alice 撰寫的程式碼中有 \(2\%\) 的行數含有錯誤，而 Bob 撰寫的程式碼中則有 \(5\%\) 的行數含有錯誤。現隨機抽取一行程式碼。 (a) 求所抽取的程式碼含有錯誤的概率。 (b) 已知所抽取的程式碼含有錯誤，求該行程式碼是由 Bob 撰寫的概率。

一間新創公司在成立 \(t\) 年後的利潤 \(P\)（以百萬港元計）以下列公式模擬：\(P(t) = 12 t^2 e^{-0.5t} + 5\)（其中 \(t \ge 0\)）。 (a) 求 \(\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}\)。 (b) 確定使利潤達到最大的 \(t\) 值。由此，求該公司的最大利潤，答案以 \(e\) 表示。

設 \(C\) 為一通過點 \((0, 4)\) 的曲線。已知 \(C\) 在任意點 \((x, y)\) 處的切線斜率為 \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = x \sqrt{2x^2 + 9}\)。求 \(C\) 的方程。

某化學反應缸內一種化學物質 \(X\) 的質量的變率（以克每星期為單位）可用下式模擬：\( \frac{dX}{dt} = \frac{80 \ln(t+1)}{(t+1)^2} \) 其中 \(t\)（\(t \ge 0\)）為自反應開始起計所經過的星期數。\n(a) 求化學物質 \(X\) 的質量的變率達到最大時的 \(t\) 值。 (4 分)\n(b) (i) 利用分部積分法，求 \( \int \frac{\ln(t+1)}{(t+1)^2} dt \)。 (3 分)\n(ii) 已知缸內化學物質 \(X\) 的初始質量為 100 克。求 5 星期後缸內化學物質 \(X\) 的質量，答案須準確至二位小數。 (4 分)

在開始化學處理 \(t\) 小時後，水樣中污染物的濃度 \(C(t)\)（以 ppm 為單位）模擬為\n\(C(t) = \frac{a t + b}{t^2 + 3}\) （其中 \(t \ge 0\)），\n其中 \(a\) 及 \(b\) 為常數。\n已知污染物的初始濃度為 \(4\text{ ppm}\)，且當 \(t = 1\) 時，污染物濃度的變率為 \(0\text{ ppm/hour}\)。\n\n(a) 求 \(a\) 及 \(b\) 的值。 （4 分）\n\n(b) 證明當 \(t > 1\) 時，污染物的濃度正在減少。 （2 分）\n\n(c) 求當 \(t = 3\) 時污染物濃度的變率。 （2 分）\n\n(d) 設 \(C''(t)\) 為 \(C(t)\) 的二階導數。\n(i) 求 \(C''(t)\)。\n(ii) 一名研究員聲稱當 \(t = 3\) 時，污染物濃度的減少率是快最的。你是否同意？解釋你的答案。 （4 分）

某公司推出一款新產品。在時間 \( t \) 換算為月份（其中 \( t \ge 0 \)），該產品的銷售率 \( S(t) \)（以每個月數千件為單位）經由以下公式模擬：
\( S(t) = \frac{a \ln(t+1) + b}{t+1} \)，
其中 \( a \) 及 \( b \) 均為正常數。

(a) 證明 \( S(t) \) 的最大值出現在 \( t = e^{1 - \frac{b}{a}} - 1 \)。 (4 分)

(b) 已知該產品的最大銷售率為每個月 \( 12 \) 千件，且該最大值出現在 \( t = 1 \) 月。
(i) 求 \( a \) 及 \( b \) 的值。
(ii) 由此，求產品剛發佈時（即 \( t = 0 \)）的銷售率。 (4 分)

(c) 產品在首 \( T \) 個月內的總銷售量（以千件為單位）由 \( I(T) = \int_0^T S(t) dt \) 給出。
(i) 利用代換 \( u = \ln(t+1) \)，以 \( T \) 表 \( I(T) \)。
(ii) 市場部聲稱該產品在首 5 個月內的總銷售量將超過 50 千件。你是否同意？解釋你的答案。 (5 分)

某化工廠向一湖泊排放污染物。設 \(A(t)\)（以 \(\text{kg}\) 為單位）為在時間 \(t\) 天（其中 \(t \ge 0\)）湖泊中的污染物總量。起初，湖泊中有 \(20\text{ kg}\) 的污染物。該湖泊中污染物總量的變化率模擬為：
$$\frac{dA}{dt} = \begin{cases} t \sqrt{4-t} & \text{當 } 0 \le t \le 4 \\\\ \frac{k \ln(t-3)}{(t-3)^2} & \text{當 } t > 4 \end{cases}$$
其中 \(k\) 為一正常數。

(a) (i) 求 \(\int_0^4 t \sqrt{4-t} dt\)。
(ii) 由此，求在 \(t=4\) 時湖泊中的污染物量。
（4 分）

(b) 假設 \(A(t)\) 在 \(t=4\) 處連續。
(i) 利用代換 \(u = t-3\)，求 \(\int \frac{\ln(t-3)}{(t-3)^2} dt\)。
(ii) 已知當 \(t \to \infty\) 時，湖泊中的污染物總量趨向最大水平 \(40\text{ kg}\)。證明 \(k = \frac{172}{15}\)。
（7 分）

(c) 設 \(k = \frac{172}{15}\)。
(i) 利用梯形法則將區間分成 2 個子區間，估計由 \(t=6\) 至 \(t=10\) 湖泊中污染物量的增加量。
(ii) 確定 (c)(i) 中的估計值是高估還是低估。解釋你的答案。
（3 分）