2023 DSE 數學 單元一 (微積分與統計) 模擬試題 | Past Paper 練習

設 \(X\) 為一離散隨機變量，其概率分佈如下：\n\n\(\begin{array}{c|c|c|c|c} x & 1 & 3 & 5 & 7 \\ \hline P(X=x) & p & q & 0.3 & p \end{array}\)\n\n其中 \(p\) 及 \(q\) 為常數。\n\n(a) 已知 \(E(X) = 4.1\)，求 \(p\) 及 \(q\)。\n(b) 求 \(Var(3 - 2X)\)。

某繁忙十字路口每星期發生的交通意外數目服從平均值為 4 的泊松分佈。
設 \(\bar{X}\) 為隨機抽取的 100 星期中，在該十字路口記錄的每星期平均交通意外數目。

(a) 寫出 \(\bar{X}\) 的平均值及方差。
(b) 利用中心極限定理，求 \(\bar{X}\) 介乎 3.7 與 4.3 之間的概率。

占位符

某電子公司從三家供應商 \(A\)、\(B\) 和 \(C\) 進口零件，其比例分別為 \(40\%\)、\(35\%\) 和 \(25\%\)。來自 \(A\)、\(B\) 和 \(C\) 的零件的次品率分別為 \(2\%\)、\(3\%\) 和 \(5\%\)。 (a) 求隨機抽取的一個零件是次品的概率。 (b) 已知隨機抽取的一個零件是次品，求該零件是由供應商 \(A\) 或 \(C\) 供應的概率。

設 \(A\) 及 \(B\) 為兩事件。已知 \(P(A) = 0.4\)、\(P(B | A) = 0.3\) 及 \(P(A' \cap B') = 0.48\)，其中 \(A'\) 及 \(B'\) 分別為 \(A\) 及 \(B\) 的對立事件。\n\n(a) 求 \(P(A \cap B)\)。\n\n(b) 求 \(P(B)\)。\n\n(c) \(A\) 與 \(B\) 是否獨立？試解釋你的答案。

設對所有實數 \(x\)， \(f(x) = (1 - 2x)^3 (1 + ax)^n\)，其中 \(a\) 為一常數且 \(n\) 為一正整數。
(a) 將 \(f(x)\) 展開為 \(x\) 的升冪式，直至 \(x^2\) 項。 (3分)
(b) 已知 \(f(x)\) 的展開式中 \(x\) 的係數為 \(2\)，且 \(f''(0) = -24\)。求 \(a\) 及 \(n\) 的值。 (4分)

某培養皿中的細菌數目 \( N \) 經由以下公式模擬： \[ N(t) = 500 + a \ln(bt + 1), \] 其中 \( t \ge 0 \) 為自觀察開始起計的時數（以小時為單位），且 \( a \) 及 \( b \) 均為正常數。 已知當 \( t = 2 \) 時，\( N = 500 + 10 \ln 3 \) 且細菌數目隨時間 \( t \) 的變化率為每小時 \( \frac{10}{3} \)。 (a) 求 \( a \) 及 \( b \) 的值。 (4分) (b) 求當 \( t = 5 \) 時，該培養皿中細菌數目的變化率。 (2分)

求 \(\int_{0}^{1} \frac{x^3}{\sqrt{1+3x^2}} \, dx\) 的值。

考慮曲線 \(C: y = x e^{-x}\)，其中 \(x \ge 0\)。

(a) 求 \(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2}\)。 (2分)

(b) 利用梯形法則將區間分成 4 個子區間，估算由 \(C\)、 \(x\) 軸與直線 \(x=1\) 所圍成的區域的面積，答案須準確至四位小數。 (3分)

(c) 確定 (b) 中的估算值是過高估計還是過低估計。解釋你的答案。 (2分)

某製造商生產有機蜂蜜。每瓶蜂蜜的重量 \(X\) 克假設服從正態分佈。
(a) 現隨機抽取一個由 100 瓶蜂蜜組成的樣本。設 \(x_i\)（其中 \(i = 1, 2, \dots, 100\)）為該樣本中第 \(i\) 瓶蜂蜜的重量（以克為單位）。已知 \(\sum x_i = 25200\) 及 \(\sum (x_i - \bar{x})^2 = 396\)，其中 \(\bar{x}\) 為樣本平均值。
(i) 求每瓶蜂蜜重量的總體均值和總體方差的無偏估計值。
(ii) 構建每瓶蜂蜜重量的總體均值的 95% 置信區間。
(5 分)
(b) 設已知每瓶蜂蜜的重量確實服從均值為 \(\mu = 252\) 克及標準差為 \(\sigma = 2\) 克的正態分佈。若一瓶蜂蜜的重量少於 248.5 克，則被歸類為「不足量」。
(i) 求隨機抽取的一瓶蜂蜜為不足量的概率。
(3 分)
(c) 該些蜂蜜被包裝成箱，每箱含有 12 瓶蜂蜜。
(i) 求一箱蜂蜜中含有最少 2 瓶不足量蜂蜜的概率。
(ii) 若一箱蜂蜜含有最少 2 瓶不足量蜂蜜，則會被送往檢驗。若隨機逐一抽取 20 箱蜂蜜，求第 3 箱被送往檢驗的箱子為第 8 箱被抽取的箱子的概率。
(5 分)

某製造商生產有機蜂蜜。每瓶蜂蜜的重量 \(X\) 克假設服從正態分佈。
(a) 現隨機抽取一個由 100 瓶蜂蜜組成的樣本。設 \(x_i\)（其中 \(i = 1, 2, \dots, 100\)）為該樣本中第 \(i\) 瓶蜂蜜的重量（以克為單位）。已知 \(\sum x_i = 25200\) 及 \(\sum (x_i - \bar{x})^2 = 396\)，其中 \(\bar{x}\) 為樣本平均值。
(i) 求每瓶蜂蜜重量的總體均值和總體方差的無偏估計值。
(ii) 構建每瓶蜂蜜重量的總體均值的 95% 置信區間。
(5 分)
(b) 設已知每瓶蜂蜜的重量確實服從均值為 \(\mu = 252\) 克及標準差為 \(\sigma = 2\) 克的正態分佈。若一瓶蜂蜜的重量少於 248.5 克，則被歸類為「不足量」。
(i) 求隨機抽取的一瓶蜂蜜為不足量的概率。
(3 分)
(c) 該些蜂蜜被包裝成箱，每箱含有 12 瓶蜂蜜。
(i) 求一箱蜂蜜中含有最少 2 瓶不足量蜂蜜的概率。
(ii) 若一箱蜂蜜含有最少 2 瓶不足量蜂蜜，則會被送往檢驗。若隨機逐一抽取 20 箱蜂蜜，求第 3 箱被送往檢驗的箱子為第 8 箱被抽取的箱子的概率。
(5 分)

假設某客戶服務台每小時收到的客戶查詢數目服從平均值為 3.2 的泊松分佈。 (a) (i) 求在指定的一小時內，該客戶服務台剛好收到 2 個查詢的概率。 (ii) 求在指定的一小時內，該客戶服務台收到最少 3 個查詢的概率。 (5分) (b) 假設一天有 8 個工作小時，且每小時收到的客戶查詢數目是相互獨立的。求在一天中，最少有 6 個工作小時各自收到最少 3 個查詢的概率。 (3分) (c) 假設每個客戶查詢被分類為「投訴」或「一般查詢」的概率分別為 0.25 及 0.75，且各查詢之間相互獨立。已知在某特定一小時內剛好收到 4 個查詢，求其中最少有 2 個是投訴的概率。 (4分)

醫學研究員對注射後 \(t\) 小時，患者血液中藥物的濃度 \(C(t)\)（以 \(\text{mg/L}\) 爲單位）建立模型如下：\(C(t) = A(t+1)e^{-0.5t}\) （其中 \(t \ge 0\)），而 \(A\) 爲正常數。

(a) 求 \(C(t)\) 遞增的 \(t\) 值範圍，以及 \(C(t)\) 遞減的 \(t\) 值範圍。以 \(A\) 表示 \(C(t)\) 的極大點的坐標。(3分)

(b) 求曲線 \(y = C(t)\) 的拐點的坐標（其中 \(t \ge 0\)）。(3分)

(c) 略呈曲線 \(y = C(t)\)（其中 \(t \ge 0\)），並標示其極大點、拐點以及 \(y\) 軸截距的坐標。(2分)

(d) 第二種藥物的濃度 \(D(t)\)（以 \(\text{mg/L}\) 爲單位）的模型如下：\(D(t) = B t^2 e^{-0.5t}\) （其中 \(t \ge 0\)），而 \(B\) 爲正常數。假設在第一種藥物的濃度 \(C(t)\) 達到極大的瞬間，第二種藥物的濃度 \(D(t)\) 的增加變率為 \(1.5 e^{-0.5} \text{ mg/L/hour}\)。
(i) 求 \(B\) 的值。
(ii) 血液中兩種藥物的總濃度記為 \(T(t) = C(t) + D(t)\)。研究員聲稱最大總濃度發生在 \(t = 2\)。假設 \(A = 4\)，判定該聲稱是否正確。(4分)

在一次實驗室實驗中，水樣中污染物含量 \(P\)（以毫克計）的變化率由以下模型模擬：
\[ \frac{dP}{dt} = \frac{160 t e^{-0.1 t^2}}{(3 + e^{-0.1 t^2})^2} \]
其中 \(t\) 為自實驗開始起計的時間（以小時為單位，且 \(t \ge 0\)）。最開始時，水樣中有 \(150\text{ 毫克}\) 的污染物。

(a) 求 \( \int \frac{t e^{-0.1 t^2}}{(3 + e^{-0.1 t^2})^2} dt \)。 (4分)

(b) (i) 利用 (a) 的結果，以 \(t\) 表 \(P\)。
(ii) 求經過很長時間後，水樣中污染物的含量。 (4分)

(c) 求當 \(t = 5\) 時 \( \frac{d^2P}{dt^2} \) 的值。由此，判定在 \(t = 5\) 時污染物的增加率是正在增加還是正在減少。數值答案須準確至二位小數。 (5分)