2023 DSE 數學 單元一 (微積分與統計) 答案詳解與評分準則

(a) 由於概率總和為 1，我們有：\n\(p + q + 0.3 + p = 1 \implies 2p + q = 0.7\) --- (1)\n\n由於 \(E(X) = 4.1\)，我們有：\n\(1(p) + 3(q) + 5(0.3) + 7(p) = 4.1 \implies 8p + 3q = 2.6\) --- (2)\n\n由 (1) 可得 \(q = 0.7 - 2p\)。\n將其代入 (2)：\n\(8p + 3(0.7 - 2p) = 2.6 \implies 2p = 0.5 \implies p = 0.25\)\n\n因此，\(q = 0.7 - 2(0.25) = 0.2\)。\n\n(b) 首先，計算 \(E(X^2)\)：\n\(E(X^2) = 1^2(0.25) + 3^2(0.2) + 5^2(0.3) + 7^2(0.25) = 0.25 + 1.8 + 7.5 + 12.25 = 21.8\)\n\n隨後，\(X\) 的方差為：\n\(Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 21.8 - 4.1^2 = 4.99\)\n\n因此，所求的方差為：\n\(Var(3 - 2X) = (-2)^2 Var(X) = 4(4.99) = 19.96\)

(a) \n- 列出 \(2p + q = 0.7\) (1M)\n- 列出 \(8p + 3q = 2.6\) (1M)\n- 求得 \(p = 0.25\) 及 \(q = 0.2\) (1A)\n\n(b)\n- 求得 \(E(X^2) = 21.8\) (1M)\n- 求得 \(Var(X) = 4.99\) 或使用 \(Var(3-2X) = 4Var(X)\) (1M)\n- 答案為 \(19.96\) (1A)

(a) 由於每星期的意外數目服從平均值為 \(\lambda = 4\) 的泊松分佈，總體平均值為 \(\mu = 4\)，而總體方差為 \(\sigma^2 = 4\)。
\(\bar{X}\) 的平均值為：
\(E(\bar{X}) = \mu = 4\)
\(\bar{X}\) 的方差為：
\(Var(\bar{X}) = \frac{\sigma^2}{n} = \frac{4}{100} = 0.04\)

(b) 由於樣本量 \(n = 100\) 足夠大（即 \(n \ge 30\)），根據中心極限定理，\(\bar{X}\) 近似服從正態分佈：
\(\bar{X} \sim \mathcal{N}(4, 0.04)\) 近似。

所求概率為：
\(P(3.7 \le \bar{X} \le 4.3) \approx P\left( \frac{3.7 - 4}{\sqrt{0.04}} \le Z \le \frac{4.3 - 4}{\sqrt{0.04}} \right)\)
\(= P\left( \frac{-0.3}{0.2} \le Z \le \frac{0.3}{0.2} \right)\)
\(= P(-1.5 \le Z \le 1.5)\)
\(= 2 \times P(0 \le Z \le 1.5)\)
\(= 2 \times 0.4332\)
\(= 0.8664\)

(a)
- \(\bar{X}\) 的平均值 \(= 4\) (1A)
- \(\bar{X}\) 的方差 \(= 0.04\) (1A)

(b)
- 標準化並應用中心極限定理 (1M)
- 表示為 \(P(-1.5 \le Z \le 1.5)\) 或等價式 (1M)
- 正確答案 0.8664 (1A)

占位符

占位符

(a) 設 \(A\)、\(B\) 和 \(C\) 分別為零件來自供應商 \(A\)、\(B\) 和 \(C\) 的事件，而 \(D\) 為零件是次品的事件。 \(P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) + P(C)P(D|C) = (0.40)(0.02) + (0.35)(0.03) + (0.25)(0.05) = 0.008 + 0.0105 + 0.0125 = 0.031\)。 (b) 所求的概率為 \(P(A \cup C | D) = \frac{P(A \cap D) + P(C \cap D)}{P(D)} = \frac{(0.40)(0.02) + (0.25)(0.05)}{0.031} = \frac{0.008 + 0.0125}{0.031} = \frac{41}{62} \approx 0.661\)。 或，\(P(B | D) = \frac{P(B \cap D)}{P(D)} = \frac{(0.35)(0.03)}{0.031} = \frac{21}{62}\)，因此 \(P(A \cup C | D) = 1 - P(B | D) = 1 - \frac{21}{62} = \frac{41}{62} \approx 0.661\)。

甲部: 1M 寫出全概率公式，1M 代入正確數值，1A 正確答案 0.031（或 31/1000）。乙部: 1M 寫出貝葉斯定理公式，1M 計算相交概率，1M 代入條件概率公式，1A 正確答案 41/62（或約 0.661）。

(a) 利用條件概率的定義：\n\( P(B | A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} \)\n\( 0.3 = \frac{P(A \cap B)}{0.4} \)\n\( P(A \cap B) = 0.12 \)\n\n(b) 根據德摩根定律 (De Morgan's Laws)：\n\( P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) \)\n由於 \(P(A' \cap B') = 0.48\)，我們得：\n\( P(A \cup B) = 1 - 0.48 = 0.52 \)\n利用概率加法公式：\n\( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \)\n\( 0.52 = 0.4 + P(B) - 0.12 \)\n\( 0.52 = 0.28 + P(B) \)\n\( P(B) = 0.24 \)\n\n(c) 我們檢視獨立事件的定義：\n\( P(A) \times P(B) = 0.4 \times 0.24 = 0.096 \)\n由於 \(P(A \cap B) = 0.12 \neq 0.096\) （或 \(P(B | A) = 0.3 \neq P(B) = 0.24\)），因此事件 \(A\) 與 \(B\) 不是獨立的。

(a)\n1M: 應用條件概率定義：\(P(A \cap B) = P(B | A) \times P(A)\)\n1A: \(P(A \cap B) = 0.12\)\n\n(b)\n1M: 求得 \(P(A \cup B) = 0.52\) 或應用 \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)\n1A: \(P(B) = 0.24\)\n\n(c)\n1M: 計算 \(P(A) \times P(B)\) 或比較 \(P(B | A)\) 與 \(P(B)\)\n1A: 指出兩事件不是獨立並給出正確解釋。

(a) 利用二項式定理：
\((1 - 2x)^3 = 1 - 6x + 12x^2 + \dots\)
\((1 + ax)^n = 1 + nax + \frac{n(n-1)}{2}a^2 x^2 + \dots\)
因此，
\(f(x) = \left(1 - 6x + 12x^2 + \dots\right)\left(1 + nax + \frac{n(n-1)}{2}a^2 x^2 + \dots\right)\)
\(f(x) = 1 + (na - 6)x + \left(\frac{n(n-1)a^2}{2} - 6na + 12\right)x^2 + \dots\)

(b) 由於 \(x\) 的係數為 \(2\)，我們有：
\(na - 6 = 2 \implies na = 8\) ... (1)

由 (a) 的展開式，我們可以求得 \(f''(0)\)。因為 \(f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2 + \dots\)，所以 \(x^2\) 的係數為 \(\frac{f''(0)}{2}\)。
或者，將 \(f(x)\) 求導兩次：
\(f'(x) = (na - 6) + 2\left(\frac{n(n-1)a^2}{2} - 6na + 12\right)x + \dots\)
\(f''(x) = 2\left(\frac{n(n-1)a^2}{2} - 6na + 12\right) + \text{含有 } x \text{ 的項}\)
代入 \(x = 0\)：
\(f''(0) = n(n-1)a^2 - 12na + 24\)
已知 \(f''(0) = -24\)，故：
\(n(n-1)a^2 - 12na + 24 = -24\)
\(n^2 a^2 - n a^2 - 12(8) + 24 = -24\) （代入 \(na = 8\)）
\(64 - na^2 - 96 + 24 = -24\)
\(-8 - na^2 = -24 \implies na^2 = 16\) ... (2)

將 (2) 除以 (1)：
\(\frac{na^2}{na} = \frac{16}{8} \implies a = 2\)
將 \(a = 2\) 代回 (1)：
\(n(2) = 8 \implies n = 4\)

**(a)**
寫出 \(1 - 6x + 12x^2 + \dots\) **[1M]**
寫出 \(1 + nax + \frac{n(n-1)a^2}{2}x^2 + \dots\) **[1M]**
得出 \(1 + (na - 6)x + \left(\frac{n(n-1)a^2}{2} - 6na + 12\right)x^2 + \dots\) **[1A]** （或等價表示）

**(b)**
得出 \(na = 8\) **[1M]**
建立方程 \(n(n-1)a^2 - 12na + 24 = -24\) （或令 \(x^2\) 的係數等於 \(-12\)） **[1M]**
得出 \(na^2 = 16\) （或任何關於 \(a\) 或 \(n\) 的單變量方程） **[1M]**
得出 \(a = 2, n = 4\) **[1A]** （必須兩者皆對）

(a) 由於 \( N(2) = 500 + 10\ln 3 \)，可得 \( 500 + a\ln(2b+1) = 500 + 10\ln 3 \)，簡化為 \( a\ln(2b+1) = 10\ln 3 \) --- (1)。對 \( N(t) \) 關於 \( t \) 求導，可得 \( \frac{dN}{dt} = \frac{ab}{bt+1} \)。已知當 \( t = 2 \) 時變化率為 \( \frac{10}{3} \)，可得 \( \frac{ab}{2b+1} = \frac{10}{3} \) --- (2)。由 (1) 得 \( a = \frac{10\ln 3}{\ln(2b+1)} \)。代入 (2) 得 \( \frac{10\ln 3}{\ln(2b+1)} \cdot \frac{b}{2b+1} = \frac{10}{3} \\延，簡化為 \) \\frac{b}{(2b+1)\\ln(2b+1)} = \\frac{1}{3\\ln 3} \)。經觀察可知，\( b = 1 \) 為其一解。將 \( b = 1 \) 代入 (1)，可得 \( a\ln 3 = 10\ln 3 \)，解得 \( a = 10 \)。(b) 當 \( t = 5 \) 時，細菌數目的變化率為 \( \frac{dN}{dt}\Big|_{t=5} = \frac{ab}{5b+1} = \frac{10(1)}{5(1)+1} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3} \)（即每小時 \( \frac{5}{3} \) 個）。

(a) 將 \( t = 2 \) 代入 \( N(t) \)：\( a\ln(2b+1) = 10\ln 3 \) (1M)。求導：\( \frac{dN}{dt} = \frac{ab}{bt+1} \) (1M)。建立在 \( t=2 \) 時的導數方程：\( \frac{ab}{2b+1} = \frac{10}{3} \) (1M)。解得 \( a = 10 \) 及 \( b = 1 \) (1A) (兩者皆對)。(b) 將 \( a=10 \)、\( b=1 \) 及 \( t=5 \) 代入 \( \frac{dN}{dt} \) (1M)。正確答案：\( \frac{5}{3} \) （或相等的分數 / 小數 \( \approx 1.67 \)） (1A)。

設 \(u = 1+3x^2\)。\n則 \(du = 6x \, dx\)，即 \(x \, dx = \frac{1}{6} du\)。\n且 \(x^2 = \frac{u-1}{3}\)。\n當 \(x = 0\) 時，\(u = 1\)。\n當 \(x = 1\) 時，\(u = 4\)。\n\n\(\int_{0}^{1} \frac{x^3}{\sqrt{1+3x^2}} \, dx = \int_{0}^{1} \frac{x^2}{\sqrt{1+3x^2}} (x \, dx)\)\n\(= \int_{1}^{4} \frac{\frac{u-1}{3}}{\sqrt{u}} \left( \frac{1}{6} du \right)\)\n\(= \frac{1}{18} \int_{1}^{4} \left( u^{1/2} - u^{-1/2} \right) du\)\n\(= \frac{1}{18} \left[ \frac{2}{3}u^{3/2} - 2u^{1/2} \right]_{1}^{4}\)\n\(= \frac{1}{18} \left\{ \left( \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 2(4)^{1/2} \right) - \left( \frac{2}{3}(1)^{3/2} - 2(1)^{1/2} \right) \right\}\)\n\(= \frac{1}{18} \left\{ \left( \frac{16}{3} - 4 \right) - \left( \frac{2}{3} - 2 \right) \right\}\)\n\(= \frac{1}{18} \left( \frac{4}{3} - \left( -\frac{4}{3} \right) \right)\)\n\(= \frac{1}{18} \left( \frac{8}{3} \right)\)\n\(= \frac{4}{27}\)

- 設 \(u = 1+3x^2\) 並求得 \(du = 6x\,dx\) （或等價代換）(1M)\n- 正確轉換積分上下限為 \(1\) 和 \(4\) (1M)\n- 將積分表示為 \(\frac{1}{18} \int_{1}^{4} (u^{1/2} - u^{-1/2}) \, du\) (1M)\n- 正確進行積分以求得 \(\frac{1}{18} \left[ \frac{2}{3}u^{3/2} - 2u^{1/2} \right]\) (1M)\n- 將上限 \(u=4\) 及下限 \(u=1\) 代入已積分的表達式 (1M)\n- 最終答案：\(\frac{4}{27}\) (1A)

(a) 已知 \(y = x e^{-x}\)。
利用積法則：
\(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = e^{-x} - x e^{-x} = (1-x)e^{-x}\)
再次利用積法則：
\(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = -e^{-x} - (1-x)e^{-x} = (x-2)e^{-x}\)

(b) 每個子區間的寬度為 \(h = \frac{1-0}{4} = 0.25\)。
設 \(f(x) = x e^{-x}\)。
各分點的 \(f(x)\) 值為：
\(f(0) = 0\)
\(f(0.25) = 0.25 e^{-0.25} \approx 0.194700\)
\(f(0.5) = 0.5 e^{-0.5} \approx 0.303265\)
\(f(0.75) = 0.75 e^{-0.75} \approx 0.354275\)
\(f(1) = e^{-1} \approx 0.367879\)
利用梯形法則，估算面積為：
\(\text{面積} \approx \frac{0.25}{2} [f(0) + 2(f(0.25) + f(0.5) + f(0.75)) + f(1)]\)
\(\text{面積} \approx 0.125 [0 + 2(0.194700 + 0.303265 + 0.354275) + 0.367879]\)
\(\text{面積} \approx 0.125 [1.704480 + 0.367879]\)
\(\text{面積} \approx 0.259045 \approx 0.2590\) （準確至四位小數）

(c) 當 \(0 \le x \le 1\) 時， \(x-2 < 0\) 且 \(e^{-x} > 0\)。
因此，對於所有 \(x \in [0, 1]\)，有 \(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = (x-2)e^{-x} < 0\)。
由於在該區間上二階導數為負，曲線呈向下凹（或上凸）。
所以，梯形估算值是一個過低估計。

(a) \(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = (1-x)e^{-x}\) （或等價式） (1M)
\(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} = (x-2)e^{-x}\) (1A)

(b) 正確寬度 \(h = 0.25\) 及代入梯形法則公式： (1M)
\(\text{面積} \approx \frac{0.25}{2} [f(0) + 2(f(0.25) + f(0.5) + f(0.75)) + f(1)]\)
代入正確的 \(f(x)\) 值： (1M)
\(\approx 0.125 [0 + 2(0.194700 + 0.303265 + 0.354275) + 0.367879]\)
\(\approx 0.2590\) (1A)

(c) 證明在所有 \(0 \le x \le 1\) 內， \(\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} < 0\)： (1M)
指出該估算值是過低估計 (1A)

(a)(i)
總體均值 \(\mu\) 的無偏估計值 \(\bar{x} = \frac{25200}{100} = 252\)
總體方差 \(\sigma^2\) 的無偏估計值 \(\sigma^2 = s^2 = \frac{1}{100-1}\sum (x_i - \bar{x})^2 = \frac{396}{99} = 4\)

(a)(ii)
由於 \(n = 100\) 為大樣本，根據中心極限定理，\(\mu\) 的 95% 置信區間為：
\(\bar{x} \pm 1.96 \frac{s}{\sqrt{n}}\)
\(= 252 \pm 1.96 \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{100}}\)
\(= 252 \pm 1.96 \times 0.2\)
\(= 252 \pm 0.392\)
\(= (251.608, 252.392)\) （或 \([251.608, 252.392]\)）

(b)(i)
設 \(X\) 為一瓶蜂蜜的重量。\(X \sim N(252, 2^2)\)。
一瓶蜂蜜為不足量的概率為：
\(P(X < 248.5) = P\left(Z < \frac{248.5 - 252}{2}\right)\)
\(= P(Z < -1.75)\)
\(= 0.5 - P(0 \leq Z \leq 1.75)\)
\(= 0.5 - 0.4599\)
\(= 0.0401\)

(c)(i)
設 \(Y\) 為一箱 12 瓶中不足量蜂蜜的瓶數。則 \(Y \sim B(12, 0.0401)\)。
所求的概率為：
\(P(Y \geq 2) = 1 - P(Y = 0) - P(Y = 1)\)
\(= 1 - (1 - 0.0401)^{12} - 12(0.0401)(1 - 0.0401)^{11}\)
\(= 1 - 0.9599^{12} - 12(0.0401)(0.9599)^{11}\)
\(\approx 1 - 0.612089 - 0.306842\)
\(\approx 0.081069 \approx 0.0811\)（約至三位有效數字）

(c)(ii)
設 \(p = 0.081069\)。
第 3 箱被送往檢驗的箱子為第 8 箱被抽取的箱子的概率為：
\(P(\text{首 7 箱中有 2 箱被送往檢驗}) \times P(\text{第 8 箱被送往檢驗})\)
\(= C^7_2 p^2 (1-p)^5 \times p\)
\(= 21 p^3 (1-p)^5\)
\(= 21 (0.081069)^3 (1 - 0.081069)^5\)
\(\approx 21 (0.00053279)(0.655998)\)
\(\approx 0.00734\)

(a)(i)
\(\mu\) 的無偏估計值 \(= 252\) (1A)
\(\sigma^2\) 的無偏估計值 \(= \frac{396}{99} = 4\) (1A)

(a)(ii)
95% 置信區間 \(= 252 \pm 1.96 \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{100}}\) (1M)
\(= 252 \pm 0.392\)
\(= (251.608, 252.392)\) (1A+1A)

(b)(i)
\(P(X < 248.5) = P\left(Z < \frac{248.5 - 252}{2}\right)\) (1M)
\(= P(Z < -1.75)\) (1M)
\(= 0.0401\) (1A)

(c)(i)
\(P(Y \geq 2) = 1 - P(Y = 0) - P(Y = 1)\) (1M)
\(= 1 - 0.9599^{12} - 12(0.0401)(0.9599)^{11}\) (1M)
\(\approx 0.0811\) (1A)

(c)(ii)
所求概率 \(= C^7_2 p^2 (1-p)^5 \times p\) (1M)
\(\approx 0.00734\) (1A)

(a)(i)
總體均值 \(\mu\) 的無偏估計值 \(\bar{x} = \frac{25200}{100} = 252\)
總體方差 \(\sigma^2\) 的無偏估計值 \(\sigma^2 = s^2 = \frac{1}{100-1}\sum (x_i - \bar{x})^2 = \frac{396}{99} = 4\)

(a)(ii)
由於 \(n = 100\) 為大樣本，根據中心極限定理，\(\mu\) 的 95% 置信區間為：
\(\bar{x} \pm 1.96 \frac{s}{\sqrt{n}}\)
\(= 252 \pm 1.96 \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{100}}\)
\(= 252 \pm 1.96 \times 0.2\)
\(= 252 \pm 0.392\)
\(= (251.608, 252.392)\) （或 \([251.608, 252.392]\)）

(b)(i)
設 \(X\) 為一瓶蜂蜜的重量。\(X \sim N(252, 2^2)\)。
一瓶蜂蜜為不足量的概率為：
\(P(X < 248.5) = P\left(Z < \frac{248.5 - 252}{2}\right)\)
\(= P(Z < -1.75)\)
\(= 0.5 - P(0 \leq Z \leq 1.75)\)
\(= 0.5 - 0.4599\)
\(= 0.0401\)

(c)(i)
設 \(Y\) 為一箱 12 瓶中不足量蜂蜜的瓶數。則 \(Y \sim B(12, 0.0401)\)。
所求的概率為：
\(P(Y \geq 2) = 1 - P(Y = 0) - P(Y = 1)\)
\(= 1 - (1 - 0.0401)^{12} - 12(0.0401)(1 - 0.0401)^{11}\)
\(= 1 - 0.9599^{12} - 12(0.0401)(0.9599)^{11}\)
\(\approx 1 - 0.612089 - 0.306842\)
\(\approx 0.081069 \approx 0.0811\)（約至三位有效數字）

(c)(ii)
設 \(p = 0.081069\)。
第 3 箱被送往檢驗的箱子為第 8 箱被抽取的箱子的概率為：
\(P(\text{首 7 箱中有 2 箱被送往檢驗}) \times P(\text{第 8 箱被送往檢驗})\)
\(= C^7_2 p^2 (1-p)^5 \times p\)
\(= 21 p^3 (1-p)^5\)
\(= 21 (0.081069)^3 (1 - 0.081069)^5\)
\(\approx 21 (0.00053279)(0.655998)\)
\(\approx 0.00734\)

(a)(i)
\(\mu\) 的無偏估計值 \(= 252\) (1A)
\(\sigma^2\) 的無偏估計值 \(= \frac{396}{99} = 4\) (1A)

(a)(ii)
95% 置信區間 \(= 252 \pm 1.96 \frac{\sqrt{4}}{\sqrt{100}}\) (1M)
\(= 252 \pm 0.392\)
\(= (251.608, 252.392)\) (1A+1A)

(b)(i)
\(P(X < 248.5) = P\left(Z < \frac{248.5 - 252}{2}\right)\) (1M)
\(= P(Z < -1.75)\) (1M)
\(= 0.0401\) (1A)

(c)(i)
\(P(Y \geq 2) = 1 - P(Y = 0) - P(Y = 1)\) (1M)
\(= 1 - 0.9599^{12} - 12(0.0401)(0.9599)^{11}\) (1M)
\(\approx 0.0811\) (1A)

(c)(ii)
所求概率 \(= C^7_2 p^2 (1-p)^5 \times p\) (1M)
\(\approx 0.00734\) (1A)

(a) 設 \(X\) 為一小時內到達客戶服務台的查詢數目。則 \(X \sim \text{Po}(3.2)\)。 (i) \(P(X = 2) = \frac{e^{-3.2} \cdot 3.2^2}{2!} = 5.12 e^{-3.2} \approx 0.208702484 \approx 0.2087\)。 (ii) \(P(X \ge 3) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1) - P(X = 2) = 1 - e^{-3.2} - 3.2 e^{-3.2} - 5.12 e^{-3.2} = 1 - 9.32 e^{-3.2} \approx 1 - 0.379903741 = 0.620096259 \approx 0.6201\)。 (b) 設 \(Y\) 為一天中（共 8 小時）有最少 3 個查詢的工作小時數目。則 \(Y \sim \text{B}(8, p)\)，其中 \(p = 1 - 9.32 e^{-3.2} \approx 0.620096259\)。 所求概率為 \(P(Y \ge 6) = P(Y = 6) + P(Y = 7) + P(Y = 8) = \binom{8}{6} p^6 (1-p)^2 + \binom{8}{7} p^7 (1-p) + p^8 \approx 28(0.620096259)^6 (0.379903741)^2 + 8(0.620096259)^7 (0.379903741) + (0.620096259)^8 \approx 0.229712 + 0.107128 + 0.021857 = 0.358697 \approx 0.3587\)。 (c) 已知剛好收到 4 個查詢，設 \(C\) 為這 4 個查詢中的投訴數目。由於每個查詢獨立地以概率 0.25 被分類為投訴，\(C\) 服從二項分佈 \(C \sim \text{B}(4, 0.25)\)。 所求概率為 \(P(C \ge 2 \mid X = 4) = 1 - P(C = 0) - P(C = 1) = 1 - (0.75)^4 - \binom{4}{1} (0.25)^1 (0.75)^3 = 1 - 0.31640625 - 0.421875 = 0.26171875 \approx 0.2617\)（或 \(\frac{67}{256}\)）。

(a)(i) 1M 適用於泊松公式，1A 適用於 0.2087 (接受 5.12 e^{-3.2})。 (a)(ii) 1M 適用於 1 - P(0) - P(1) - P(2)，1M 適用於代入泊松分佈值，1A 適用於 0.6201 (接受 0.620)。 (b) 1M 適用於識別二項分佈框架，1M 適用於將 p = 0.6201 代入二項分佈項的和，1A 適用於 0.3587 (接受 0.359)。 (c) 1M 適用於識別條件分佈為 Binomial(4, 0.25)，1M 適用於使用 1 - P(0) - P(1)，1M 適用於正確代入二項分佈參數，1A 適用於 0.2617 (接受 67/256)。

(a) 利用乘積法則對 \(C(t)\) 進行微分：
\(C'(t) = A e^{-0.5t} - 0.5A(t+1)e^{-0.5t} = 0.5A(1-t)e^{-0.5t}\)

由於對所有 \(t\)，\(A > 0\) 且 \(e^{-0.5t} > 0\)：
- 當 \(0 \le t < 1\) 時，\(C'(t) > 0\)，故 \(C(t)\) 在 \(0 \le t \le 1\) 上遞增。
- 當 \(t > 1\) 時，\(C'(t) < 0\)，故 \(C(t)\) 在 \(t \ge 1\) 上遞減。

當 \(t = 1\) 時，\(C(1) = A(1+1)e^{-0.5} = 2Ae^{-0.5}\)。
因為 \(C'(t)\) 在 \(t=1\) 處由正變負，所以極大點為 \((1, 2Ae^{-0.5})\)。

(b) 對 \(C'(t)\) 進行微分求二階導數：
\(C''(t) = 0.5A[-e^{-0.5t} + (1-t)(-0.5)e^{-0.5t}] = 0.25A(t-3)e^{-0.5t}\)

設 \(C''(t) = 0 \implies t = 3\)。
- 當 \(0 \le t < 3\) 時，\(C''(t) < 0\)（向下凹）。
- 當 \(t > 3\) 時，\(C''(t) > 0\)（向上凹）。
因為凹性在 \(t = 3\) 處改變，故 \(t = 3\) 為一拐點。
當 \(t = 3\) 時，\(C(3) = 4Ae^{-1.5}\)。
故拐點的坐標為 \((3, 4Ae^{-1.5})\)。

(c) 該曲線始於 \(y\) 軸截距 \((0, A)\)，上升至極大點 \((1, 2Ae^{-0.5})\)，然後遞減，穿過拐點 \((3, 4Ae^{-1.5})\)，並在 \(t \to \infty\) 時漸近趨向 \(t\) 軸。

(d)(i) 對 \(D(t)\) 進行微分：
\(D'(t) = B[2t e^{-0.5t} - 0.5 t^2 e^{-0.5t}] = Bt(2-0.5t)e^{-0.5t}\)

在 \(t = 1\)（即 \(C(t)\) 達到極大的瞬間）：
\(D'(1) = B(1)(2 - 0.5)e^{-0.5} = 1.5Be^{-0.5}\)
設 \(1.5Be^{-0.5} = 1.5e^{-0.5} \implies B = 1\)。

(ii) 當 \(A = 4\) 且 \(B = 1\) 時：
\(T(t) = 4(t+1)e^{-0.5t} + t^2 e^{-0.5t} = (t^2 + 4t + 4)e^{-0.5t} = (t+2)^2 e^{-0.5t}\)

對 \(T(t)\) 進行微分：
\(T'(t) = 2(t+2)e^{-0.5t} - 0.5(t+2)^2 e^{-0.5t} = (t+2)(1-0.5t)e^{-0.5t}\)

設 \(T'(t) = 0\)：
由於 \(t \ge 0\)，\(t+2 > 0\) 且 \(e^{-0.5t} > 0\)。
故 \(1 - 0.5t = 0 \implies t = 2\)。

檢查 \(T'(t)\) 的正負號：
- 當 \(0 \le t < 2\) 時，\(1-0.5t > 0 \implies T'(t) > 0\)。
- 當 \(t > 2\) 時，\(1-0.5t < 0 \implies T'(t) < 0\)。
由於 \(T'(t)\) 在 \(t = 2\) 處由正變負，\(T(t)\) 在 \(t = 2\) 處取得最大值。
因此，研究員的聲稱是正確的。

**(a)**
- 使用乘積法則求得 \(C'(t) = 0.5A(1-t)e^{-0.5t}\)（或等價式）。[1M]
- 求得正確的遞增區間：\(0 \le t \le 1\) 及遞減區間：\(t \ge 1\)。[1A]
- 求得正確的極大點坐標：\((1, 2Ae^{-0.5})\)。[1A]

**(b)**
- 求得 \(C''(t) = 0.25A(t-3)e^{-0.5t}\)。[1M]
- 設 \(C''(t) = 0\) 得 \(t=3\)，並驗證 \(t=3\) 附近的凹性改變。[1M]
- 求得正確的拐點坐標：\((3, 4Ae^{-1.5})\)。[1A]

**(c)**
- 繪出由 \((0,A)\) 開始上升至極大點，然後漸近遞減趨向水平軸的曲線。[1A]
- 在草圖上清晰標示 \(y\) 軸截距 \((0, A)\)、極大點 \((1, 2Ae^{-0.5})\) 及拐點 \((3, 4Ae^{-1.5})\)。[1A]

**(d)**
**(i)**
- 求得 \(D'(t) = Bt(2-0.5t)e^{-0.5t}\)。[1M]
- 代入 \(t = 1\) 並解 \(1.5Be^{-0.5} = 1.5e^{-0.5}\) 得到 \(B = 1\)。[1A]

**(ii)**
- 寫出 \(T(t) = (t+2)^2 e^{-0.5t}\) 並求得 \(T'(t) = (t+2)(1-0.5t)e^{-0.5t}\)。[1M]
- 設 \(T'(t) = 0\) 求得 \(t = 2\)，並論證該處取得極大值。[1M]
- 得出研究員的聲稱正確的結論。[1A]

(a) 設 \(u = 3 + e^{-0.1 t^2}\)。則有：
\[ du = e^{-0.1 t^2} \cdot (-0.2 t) dt = -0.2 t e^{-0.1 t^2} dt \]
從而可得：
\[ t e^{-0.1 t^2} dt = -5 du \]
代入積分中：
\[ \int \frac{t e^{-0.1 t^2}}{(3 + e^{-0.1 t^2})^2} dt = \int \frac{-5}{u^2} du = -5 \int u^{-2} du = \frac{5}{u} + C = \frac{5}{3 + e^{-0.1 t^2}} + C \]
其中 \(C\) 為任意常數。

(b) (i) 我們有：
\[ P(t) = \int \frac{dP}{dt} dt = \int \frac{160 t e^{-0.1 t^2}}{(3 + e^{-0.1 t^2})^2} dt = 160 \int \frac{t e^{-0.1 t^2}}{(3 + e^{-0.1 t^2})^2} dt \]
利用 (a) 的結果：
\[ P(t) = 160 \left( \frac{5}{3 + e^{-0.1 t^2}} \right) + C_1 = \frac{800}{3 + e^{-0.1 t^2}} + C_1 \]
其中 \(C_1\) 為常數。
利用初始條件 \(P(0) = 150\)：
\[ 150 = \frac{800}{3 + e^0} + C_1 \implies 150 = \frac{800}{4} + C_1 \implies 150 = 200 + C_1 \implies C_1 = -50 \]
因此，我們得到：
\[ P(t) = \frac{800}{3 + e^{-0.1 t^2}} - 50 \]

(ii) 當 \(t \to \infty\) 時，\(e^{-0.1 t^2} \to 0\)。
Therefore：
\[ \lim_{t \to \infty} P(t) = \frac{800}{3 + 0} - 50 = \frac{800}{3} - 50 = \frac{650}{3} \approx 216.67 \]
所以經過很長時間後，水樣中污染物的含量為 \(\frac{650}{3}\text{ 毫克}\)（或約 \(216.67\text{ 毫克}\)）。

(c) 對 \( \frac{dP}{dt} = \frac{160 t e^{-0.1 t^2}}{(3 + e^{-0.1 t^2})^2} \) 使用商法則：
設 \(u(t) = 160 t e^{-0.1 t^2}\) 且 \(v(t) = (3 + e^{-0.1 t^2})^2\)。
則：
\[ u'(t) = 160 e^{-0.1 t^2} + 160 t (-0.2 t e^{-0.1 t^2}) = 160 e^{-0.1 t^2} (1 - 0.2 t^2) \]
\[ v'(t) = 2(3 + e^{-0.1 t^2})(-0.2 t e^{-0.1 t^2}) = -0.4 t e^{-0.1 t^2}(3 + e^{-0.1 t^2}) \]
應用商法則：
\[ \frac{d^2P}{dt^2} = \frac{u' v - u v'}{v^2} = \frac{160 e^{-0.1 t^2} (1 - 0.2 t^2) (3 + e^{-0.1 t^2})^2 - 160 t e^{-0.1 t^2} [-0.4 t e^{-0.1 t^2} (3 + e^{-0.1 t^2})]}{(3 + e^{-0.1 t^2})^4} \]
分子和分母同除以 \(3 + e^{-0.1 t^2}\) 以化簡分數：
\[ \frac{d^2P}{dt^2} = \frac{160 e^{-0.1 t^2} \left[ (1 - 0.2 t^2)(3 + e^{-0.1 t^2}) + 0.4 t^2 e^{-0.1 t^2} \right]}{(3 + e^{-0.1 t^2})^3} \]
當 \(t = 5\) 時：
\( e^{-0.1(5^2)} = e^{-2.5} \)
\( 1 - 0.2(5^2) = -4 \)
\[ \left.\frac{d^2P}{dt^2}\right|_{t=5} = \frac{160 e^{-2.5} \left[ -4(3 + e^{-2.5}) + 10 e^{-2.5} \right]}{(3 + e^{-2.5})^3} = \frac{160 e^{-2.5} (-12 + 6 e^{-2.5})}{(3 + e^{-2.5})^3} \]
使用數值：
\( e^{-2.5} \approx 0.082085 \)
分子 \( \approx 160(0.082085)(-12 + 0.492510) \approx 13.1336(-11.50749) \approx -151.1348 \)
分母 \( \approx (3 + 0.082085)^3 \approx 29.2778 \)
\[ \left.\frac{d^2P}{dt^2}\right|_{t=5} \approx \frac{-151.1348}{29.2778} \approx -5.16 \]
由於 \( \left.\frac{d^2P}{dt^2}\right|_{t=5} < 0 \)，在 \(t = 5\) 時污染物的增加率正在減少。

第 (a) 部分
- 設 \(u = 3 + e^{-0.1 t^2}\) 作為代換 [1M]
- 求得 \(du = -0.2 t e^{-0.1 t^2} dt\) 或等價值 [1M]
- 代換得到 \( \int -5 u^{-2} du \) [1M]
- 正確答案：\( \frac{5}{3 + e^{-0.1 t^2}} + C \)（若漏寫 \(C\) 亦可接受） [1A]

第 (b) 部分
(i)
- 利用 (a) 的結果進行積分：\( P(t) = \frac{800}{3 + e^{-0.1 t^2}} + C_1 \) [1M]
- 代入 \(t = 0, P = 150\) 以求 \(C_1\) [1M]
- 求得 \(P(t)\) 的正確表達式：\( P(t) = \frac{800}{3 + e^{-0.1 t^2}} - 50 \) [1A]
(ii)
- 求極限：\( P \to \frac{650}{3}\text{ 毫克} \)（或約 \(216.67\text{ 毫克}\)） [1A]

第 (c) 部分
- 嘗試使用商法則或乘法則求 \(\frac{dP}{dt}\) 的導數 [1M]
- 求得正確的 \(\frac{d^2P}{dt^2}\) 表達式 [1A]
- 將 \(t = 5\) 代入 \(\frac{d^2P}{dt^2}\) [1M]
- 求得 \(\left.\frac{d^2P}{dt^2}\right|_{t=5} \approx -5.16\)（接受 -5.16 至 -5.17 之間的數值） [1A]
- 由於二階導數為負，故判定增加率正在減少 [1A]