2022 DSE 數學 單元二 (代數與微積分) 模擬試題 | Past Paper 練習

利用數學歸納法，證明對所有正整數 \(n\)，\(\sum_{r=1}^n r(r+3) = \frac{n(n+1)(n+5)}{3}\)。

已知在 \((x^2 - \frac{2}{x})^n\) 的展開式中，第三項的係數為 \(144\)，其中 \(n\) 為正整數。
(a) 求 \(n\) 的值。
(b) 求 \((1 + \frac{x^3}{4})(x^2 - \frac{2}{x})^n\) 的展開式中的常數項。

解方程 \(\text{sin } 3\theta + \text{sin } \theta = \text{cos } \theta\)，其中 \(0 \le \theta \le \pi\)。

由第一原理求 \(\frac{d}{dx} (\sqrt{2x+3})\)。

求 \(\int x^5 \cos(x^3) dx\)。

求 \(\int_{0}^{1} x^2 \sqrt{1 - x^2} dx\) 的值。

設 \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\)。
(a) 證明 \(A^2 - 2A + I = 0\)，其中 \(I\) 爲 \(2 \times 2\) 單位矩陣，而 \(0\) 爲 \(2 \times 2\) 零矩陣。
(b) 利用 (a)，將 \(A^4\) 及 \(A^{-1}\) 表示為 \(\alpha A + \beta I\) 的形式，其中 \(\alpha\) 及 \(\beta\) 爲實數。

考慮三個向量 \(\mathbf{u} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k}\)、\(\mathbf{v} = 2\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k}\) 及 \(\mathbf{w} = k\mathbf{i} + \mathbf{j} + 3\mathbf{k}\)，其中 \(k\) 爲常數。
(a) 求 \(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\)。
(b) 若由 \(\mathbf{u}\)、\(\mathbf{v}\) 及 \(\mathbf{w}\) 構成的平行六面體的體積為 15, 求 \(k\) 的所有可能值。

設曲線 \( C: y = f(x) = \frac{x^2 + a}{x - 1} \)，其中 \( a > -1 \) 為一常數且 \( x \neq 1 \)。
(a) 試以 \( a \) 表 \( C \) 的極大值點及極小值點的坐標。 (4分)
(b) 若 \( C \) 的兩個局部極值點之間的距離為 \( 2\sqrt{10} \)，求 \( a \) 的值。 (3分)
(c) 利用 (b) 中求得的 \( a \) 值，
    (i) 求 \( C \) 的所有漸近線的方程； (2分)
    (ii) 求曲線 \( C \) 向上凹的 \( x \) 值範圍； (2分)
    (iii) 描繪曲線 \( C \)。 (1分)

設 \( M = \begin{pmatrix} 1 & p & 1 \\ p & 1 & 2 \\ 1 & 5 & 1 \end{pmatrix} \)，其中 \( p \) 為實常數。
(a) 求使 \( M \) 為奇異矩陣的 \( p \) 的值。 (3分)
(b) 設 \( p = 3 \)。求 \( M \) 的逆矩陣。 (4分)
(c) 設 \( p = 2 \)。考慮線性方程組
\( (S): \begin{cases} x + 2y + z = 4 \\ 2x + y + 2z = q \\ x + 5y + z = q + 2 \end{cases} \)，其中 \( q \) 為實常數。
    (i) 求使 \( (S) \) 具消解性的 \( q \) 的值。 (3分)
    (ii) 對於在 (c)(i) 中求得的 \( q \) 值，解 \( (S) \)。 (3分)

(a) 證明 \( \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx \)。 (2分)
(b) 利用 (a)，證明 \( \int_{0}^{\pi/4} \ln(1 + \tan x) \, dx = \frac{\pi}{8} \ln 2 \)。 (5分)
(c) 計算 \( \int_{0}^{\pi/4} \frac{x \sec^2 x}{1 + \tan x} \, dx \)。 (5分)

考慮四面體 \( OABC \)，其中 \( O \) 為原點。設 \( \mathbf{a} = \overrightarrow{OA} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} - \mathbf{k} \)、\( \mathbf{b} = \overrightarrow{OB} = 2\mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k} \) 及 \( \mathbf{c} = \overrightarrow{OC} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + z\mathbf{k} \)，其中 \( z \) 為一常數。
(a) 求 \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \)。 (2分)
(b) 若四面體 \( OABC \) 的體積為 \( \frac{7}{6} \)，求 \( z \) 的可能值。 (4分)
(c) 設 \( z = 1 \)。
    (i) 求 \( \overrightarrow{OC} \) 在平面 \( OAB \) 上的投影。 (4分)
    (ii) 求 \( C \) 與平面 \( OAB \) 之間的最短距離。 (3分)