2022 DSE 數學 單元二 (代數與微積分) 答案詳解與評分準則

設 \(P(n)\) 爲命題「\(\sum_{r=1}^n r(r+3) = \frac{n(n+1)(n+5)}{3}\)」。

當 \(n=1\) 時，
\(\text{左方} = 1(1+3) = 4\)
\(\text{右方} = \frac{1(1+1)(1+5)}{3} = \frac{1(2)(6)}{3} = 4\)
由於左方 \(=\) 右方，所以 \(P(1)\) 成立。

假設 \(P(k)\) 對某正整數 \(k\) 成立，即：
\(\sum_{r=1}^k r(r+3) = \frac{k(k+1)(k+5)}{3}\)

當 \(n=k+1\) 時，
\(\sum_{r=1}^{k+1} r(r+3) = \sum_{r=1}^k r(r+3) + (k+1)(k+4)\)
\(= \frac{k(k+1)(k+5)}{3} + (k+1)(k+4)\)
\(= \frac{k+1}{3} [ k(k+5) + 3(k+4) ]\)
\(= \frac{k+1}{3} [ k^2 + 5k + 3k + 12 ]\)
\(= \frac{k+1}{3} [ k^2 + 8k + 12 ]\)
\(= \frac{(k+1)(k+2)(k+6)}{3}\)
因此，\(P(k+1)\) 成立。

根據數學歸納法原理，\(P(n)\) 對所有正整數 \(n\) 均成立。

- 證明首項 \(n=1\) 成立。(1.5 分)
- 寫出歸納假設。(1 分)
- 將歸納假設代入 \(n=k+1\) 的表達式中並嘗試因式分解/化簡。(2 分)
- 正確化簡至所需形式。(1 分)
- 寫出正確的結論及歸納總結。(0.75 分)

(a) \((x^2 - \frac{2}{x})^n\) 展開式的通項為：
\(T_{r+1} = \binom{n}{r} (x^2)^{n-r} (-\frac{2}{x})^r = \binom{n}{r} (-2)^r x^{2n - 3r}\)

第三項對應 \(r=2\)。
其係數為 \(\binom{n}{2} (-2)^2 = 144 \implies 4 \frac{n(n-1)}{2} = 144 \implies n(n-1) = 72\)。
由於 \(n\) 為正整數，可得 \(n = 9\)。

(b) 當 \(n = 9\) 時，展開式為 \((x^2 - \frac{2}{x})^9 = \sum_{r=0}^9 \binom{9}{r} (-2)^r x^{18 - 3r}\)。
我們要求 \((1 + \frac{x^3}{4})(x^2 - \frac{2}{x})^9\) 展開式中的常數項。

常數項 \(= [1 \times ((x^2 - \frac{2}{x})^9 \text{ 中的 } x^0 \text{ 係數})] + [\frac{x^3}{4} \times ((x^2 - \frac{2}{x})^9 \text{ 中的 } x^{-3} \text{ 係數})]\)

- 對於 \(x^0\)：\(18 - 3r = 0 \implies r = 6\)。
該項為 \(\binom{9}{6} (-2)^6 = 84 \times 64 = 5376\)。
- 對於 \(x^{-3}\)：\(18 - 3r = -3 \implies 3r = 21 \implies r = 7\)。
該項為 \(\frac{1}{4} \binom{9}{7} (-2)^7 = \frac{1}{4} \times 36 \times (-128) = -1152\)。

因此，常數項為 \(5376 + (-1152) = 4224\)。

- 寫出展開式的通項。(1 分)
- 解得 \(n = 9\)。(1.25 分)
- 辨認常數項的兩個情況。(1.5 分)
- 計算 \(r=6\) 時的項。(1 分)
- 計算 \(r=7\) 時的項。(1 分)
- 求得正確的常數項 \(4224\)。(0.5 分)

利用和差化積公式，可得：
\(\sin 3\theta + \sin \theta = 2 \sin\left(\frac{3\theta + \theta}{2}\right) \cos\left(\frac{3\theta - \theta}{2}\right) = 2 \sin 2\theta \cos \theta\)

因此，方程變為：
\(2 \sin 2\theta \cos \theta = \cos \theta\)
\(2 \sin 2\theta \cos \theta - \cos \theta = 0\)
\(\cos \theta (2 \sin 2\theta - 1) = 0\)

由此，我們有：
1) \(\cos \theta = 0\)
由於 \(0 \le \theta \le \pi\)，得 \(\theta = \frac{\pi}{2}\)。

2) \(\sin 2\theta = \frac{1}{2}\)
由於 \(0 \le \theta \le \pi\)，得 \(0 \le 2\theta \le 2\pi\)。
因此，\(2\theta = \frac{\pi}{6}\) 或 \(2\theta = \frac{5\pi}{6}\)。
所以，\(\theta = \frac{\pi}{12}\) 或 \(\theta = \frac{5\pi}{12}\)。

結合所有解，可得 \(\theta = \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}, \frac{\pi}{2}\)。

- 正確應用和差化積公式。(1.5 分)
- 因式分解表達式以得到 \(\cos \theta(2\sin 2\theta - 1) = 0\)。(1.5 分)
- 解 \(\cos \theta = 0\) 得到 \(\theta = \frac{\pi}{2}\)。(1 分)
- 解 \(\sin 2\theta = \frac{1}{2}\) 得到 \(\theta = \frac{\pi}{12}, \frac{5\pi}{12}\)。(1.5 分)
- 寫出所有正確的解，且無額外錯誤的解。(0.75 分)

設 \(f(x) = \sqrt{2x+3}\)。
根據定義，由第一原理求得的導數為：
\(\frac{d}{dx}(\sqrt{2x+3}) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2(x+h)+3} - \sqrt{2x+3}}{h}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{\sqrt{2x+2h+3} - \sqrt{2x+3}}{h} \times \frac{\sqrt{2x+2h+3} + \sqrt{2x+3}}{\sqrt{2x+2h+3} + \sqrt{2x+3}}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{(2x+2h+3) - (2x+3)}{h(\sqrt{2x+2h+3} + \sqrt{2x+3})}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{2h}{h(\sqrt{2x+2h+3} + \sqrt{2x+3})}\)

\(= \lim_{h \to 0} \frac{2}{\sqrt{2x+2h+3} + \sqrt{2x+3}}\)

\(= \frac{2}{\sqrt{2x+3} + \sqrt{2x+3}}\)

\(= \frac{2}{2\sqrt{2x+3}}\)

\(= \frac{1}{\sqrt{2x+3}}\)

- 寫出第一原理導數的正確定義。(1 分)
- 寫出帶有有理化的極限表達式。(2 分)
- 化簡分子並約去 \(h\)。(1.5 分)
- 正確求得極限值。(1.25 分)
- 得到最終的最簡答案。(0.5 分)

要求 \(\int x^5 \cos(x^3) dx\)，我們可以使用換元積分法。
設 \(u = x^3\)，則 \(du = 3x^2 dx \implies x^2 dx = \frac{1}{3} du\)。

積分式變為：
\(\int x^3 \cos(x^3) (x^2 dx) = \int u \cos u \left(\frac{1}{3} du\right) = \frac{1}{3} \int u \cos u du\)

現在，我們對 \(\int u \cos u du\) 使用分部積分法：
設 \(w = u \implies dw = du\)
\(dv = \cos u du \implies v = \sin u\)

\(\int u \cos u du = u \sin u - \int \sin u du\)
\(= u \sin u - (-\cos u)\)
\(= u \sin u + \cos u\)

代回 \(u = x^3\)，可得：
\(\int x^5 \cos(x^3) dx = \frac{1}{3} (x^3 \sin(x^3) + \cos(x^3)) + C\)
\(= \frac{1}{3} x^3 \sin(x^3) + \frac{1}{3} \cos(x^3) + C\)
其中 \(C\) 為任意常數。

- 選擇適當的代換 \(u = x^3\) 並求得 \(du\)。(1.5 分)
- 完全以 \(u\) 表示該積分式。(1 分)
- 正確設定並應用分部積分法。(2 分)
- 將 \(u = x^3\) 代回結果中。(1 分)
- 包含積分常數 \(C\) 並獲得正確的最簡表達式。(0.75 分)

要求 \(\int_{0}^{1} x^2 \sqrt{1 - x^2} dx\)，設 \(x = \sin\theta\)。
則 \(dx = \cos\theta d\theta\)。

當 \(x = 0\) 時，\(\theta = 0\)。
當 \(x = 1\) 時，\(\theta = \frac{\pi}{2}\)。

由於 \(0 \le \theta \le \frac{\pi}{2}\)，可得 \(\sqrt{1 - x^2} = \sqrt{1 - \sin^2\theta} = \cos\theta\)。

積分式變為：
\(\int_{0}^{\pi/2} \sin^2\theta \cdot \cos\theta \cdot \cos\theta d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \sin^2\theta \cos^2\theta d\theta\)

由於 \(\sin\theta \cos\theta = \frac{1}{2}\sin 2\theta\)，我們有：
\(\sin^2\theta \cos^2\theta = \frac{1}{4} \sin^2 2\theta = \frac{1}{4} \left( \frac{1 - \cos 4\theta}{2} \right) = \frac{1}{8} (1 - \cos 4\theta)\)

因此，積分為：
\(\frac{1}{8} \int_{0}^{\pi/2} (1 - \cos 4\theta) d\theta = \frac{1}{8} \left[ \theta - \frac{\sin 4\theta}{4} \right]_{0}^{\pi/2}\)
\(= \frac{1}{8} \left[ \left(\frac{\pi}{2} - \frac{\sin 2\pi}{4}\right) - (0 - 0) \right]\)
\(= \frac{1}{8} \left[ \frac{\pi}{2} - 0 \right]\)
\(= \frac{\pi}{16}\)

- 使用代換 \(x = \sin\theta\) 並正確更改積分上下限。(1.5 分)
- 將被積函數轉化為 \(\text{sin}^2\theta \text{cos}^2\theta\)。(1 分)
- 應用倍角公式化簡被積函數。(1.5 分)
- 逐項進行積分。(1 分)
- 代入上下限並求得正確的最終答案 \(\frac{\pi}{16}\)。(1.25 分)

(a)
\(A^2 = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2(2)+1(-1) & 2(1)+1(0) \\ -1(2)+0(-1) & -1(1)+0(0) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & -1
\end{pmatrix}\)

\(A^2 - 2A + I = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} - 2\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
\(= \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -2 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
\(= \begin{pmatrix} 3 - 4 + 1 & 2 - 2 + 0 \\ -2 - (-2) + 0 & -1 - 0 + 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = 0\)

(b)
由 (a)，我們有 \(A^2 = 2A - I\)。

求 \(A^4\)：
\(A^4 = (A^2)^2 = (2A - I)^2 = 4A^2 - 4AI + I^2 = 4A^2 - 4A + I\)
代入 \(A^2 = 2A - I\)：
\(A^4 = 4(2A - I) - 4A + I = 8A - 4I - 4A + I = 4A - 3I\)
因此，\(A^4 = 4A - 3I\)（此時 \(\alpha = 4, \beta = -3\)）。

求 \(A^{-1}\)：
由於 \(A^2 - 2A + I = 0\)，我們乘以 \(A^{-1}\)：
\(A^{-1}(A^2 - 2A + I) = A^{-1}(0)\)
\(A - 2I + A^{-1} = 0\)
\(A^{-1} = -A + 2I\)
因此，\(A^{-1} = -A + 2I\)（此時 \(\alpha = -1, \beta = 2\)）。

- 正確計算 \(A^2\)。(1.5 分)
- 透過顯示所有矩陣元素和為 0 來驗證 \(A^2 - 2A + I = 0\)。(1 分)
- 利用關係式 \(A^2 = 2A - I\) 將 \(A^4\) 表示為 \(4A - 3I\)。(1.75 分)
- 方程乘以 \(A^{-1}\)（或等價方法）求得 \(A^{-1} = -A + 2I\)。(2 分)

(a)
\(\mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}\)
\(= \mathbf{i}(2(1) - (-1)(-1)) - \mathbf{j}(1(1) - (-1)(2)) + \mathbf{k}(1(-1) - 2(2))\)
\(= \mathbf{i}(2 - 1) - \mathbf{j}(1 + 2) + \mathbf{k}(-1 - 4)\)
\(= \mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 5\mathbf{k}\)

(b)
由 \(\mathbf{u}\)、\(\mathbf{v}\) 及 \(\mathbf{w}\) 構成的平行六面體的體積由 \(|(\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}|\) 給出。

首先，我們計算純量三重積：
\((\mathbf{u} \times \mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} = (\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 5\mathbf{k}) \cdot (k\mathbf{i} + \mathbf{j} + 3\mathbf{k})\)
\(= (1)(k) + (-3)(1) + (-5)(3)\)
\(= k - 3 - 15\)
\(= k - 18\)

已知體積為 15：
\(|k - 18| = 15\)

因此，我們有：
\(k - 18 = 15 \implies k = 33\)
或
\(k - 18 = -15 \implies k = 3\)

所以，\(k\) 的可能值爲 \(3\) 及 \(33\)。

- 正確將叉積表示為行列式或展開項。(1 分)
- 獲得正確的叉積 \(\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 5\mathbf{k}\)。(1.5 分)
- 將平行六面體的體積表示為純量三重積的絕對值。(1 分)
- 計算純量三重積為 \(k - 18\)。(1 分)
- 建立方程 \(|k - 18| = 15\)。(1 分)
- 求得兩個正確的值 \(k = 3\) 及 \(k = 33\)。(0.75 分)

(a) \( f'(x) = \frac{2x(x-1) - (x^2 + a)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - a}{(x-1)^2} \)。設 \( f'(x) = 0 \)，得 \( x^2 - 2x - a = 0 \)。由於 \( a > -1 \)，\( \Delta = 4 - 4(-a) = 4(1+a) > 0 \)，故方程有兩個相異實根：\( x = 1 \pm \sqrt{1+a} \)。當 \( x < 1 - \sqrt{1+a} \) 或 \( x > 1 + \sqrt{1+a} \) 時，\( f'(x) > 0 \)。當 \( 1 - \sqrt{1+a} < x < 1 + \sqrt{1+a} \) 且 \( x \neq 1 \) 時，\( f'(x) < 0 \)。因此，極大值點為 \( (1 - \sqrt{1+a}, 2 - 2\sqrt{1+a}) \)，極小值點為 \( (1 + \sqrt{1+a}, 2 + 2\sqrt{1+a}) \)。
(b) 兩極值點之間的距離 \( d \) 滿足：\( d^2 = [(1+\sqrt{1+a}) - (1-\sqrt{1+a})]^2 + [(2+2\sqrt{1+a}) - (2-2\sqrt{1+a})]^2 = (2\sqrt{1+a})^2 + (4\sqrt{1+a})^2 = 4(1+a) + 16(1+a) = 20(1+a) \)。已知 \( d = 2\sqrt{10} \)，得 \( 20(1+a) = (2\sqrt{10})^2 = 40 \Rightarrow 1+a = 2 \Rightarrow a = 1 \)。
(c) 當 \( a = 1 \) 時，\( f(x) = \frac{x^2+1}{x-1} \)。
(i) 由於 \( \lim_{x \to 1} f(x) = \pm\infty \)，鉛直漸近線為 \( x = 1 \)。經除法可得 \( f(x) = x + 1 + \frac{2}{x-1} \)，故斜漸近線為 \( y = x + 1 \)。
(ii) \( f''(x) = \frac{d}{dx} \left( 1 - \frac{2}{(x-1)^2} \right) = \frac{4}{(x-1)^3} \)。若曲線向上凹，則需 \( f''(x) > 0 \Rightarrow (x-1)^3 > 0 \Rightarrow x > 1 \)。
(iii) 描繪曲線 \( C \)，需標示極小值點 \( (1+\sqrt{2}, 2+2\sqrt{2}) \)、極大值點 \( (1-\sqrt{2}, 2-2\sqrt{2}) \)、y軸截距 \( (0, -1) \)，以及漸近線 \( x = 1 \) 和 \( y = x + 1 \)。

(a) 求得 \( f'(x) \): 1分。設 \( f'(x) = 0 \) 求 \( x \) 坐標: 1分。正確的 y 坐標: 1分。辨別極大、極小值點: 1分。
(b) 列出距離方程: 1分。化簡為 \( 20(1+a) = 40 \): 1分。求得 \( a = 1 \): 1分。
(c)(i) 兩條漸近線方程正確: 2分 (各1分)。
(c)(ii) 求得二階導數: 1分。正確範圍 \( x > 1 \): 1分。
(c)(iii) 正確描繪曲線及其重要特徵: 1分。

(a) \( \det(M) = 1(1-10) - p(p-2) + 1(5p-1) = -9 - p^2 + 2p + 5p - 1 = -p^2 + 7p - 10 \)。若 \( M \) 為奇異矩陣，則 \( \det(M) = 0 \Rightarrow p^2 - 7p + 10 = 0 \Rightarrow (p-2)(p-5) = 0 \Rightarrow p = 2 \text{ 或 } p = 5 \)。
(b) 當 \( p = 3 \) 時，\( \det(M) = -(3)^2 + 7(3) - 10 = 2 \)。\( M \) 的餘因子矩陣為：\( C = \begin{pmatrix} -9 & -1 & 14 \\ 2 & 0 & -2 \\ 5 & 1 & -8 \end{pmatrix} \)。因此，\( M \) 的伴隨矩陣為 \( C^T = \begin{pmatrix} -9 & 2 & 5 \\ -1 & 0 & 1 \\ 14 & -2 & -8 \end{pmatrix} \)。故 \( M^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -9 & 2 & 5 \\ -1 & 0 & 1 \\ 14 & -2 & -8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4.5 & 1 & 2.5 \\ -0.5 & 0 & 0.5 \\ 7 & -1 & -4 \end{pmatrix} \)。
(c)(i) 當 \( p = 2 \) 時，寫出增廣矩陣：\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 4 \\ 2 & 1 & 2 & | & q \\ 1 & 5 & 1 & | & q + 2 \end{pmatrix} \)。進行行變換：
\( R_2 \to R_2 - 2R_1 \) 且 \( R_3 \to R_3 - R_1 \)：\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 4 \\ 0 & -3 & 0 & | & q - 8 \\ 0 & 3 & 0 & | & q - 2 \end{pmatrix} \)。
\( R_3 \to R_3 + R_2 \)：\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 4 \\ 0 & -3 & 0 & | & q - 8 \\ 0 & 0 & 0 & | & 2q - 10 \end{pmatrix} \)。若方程組具消解性，必須有 \( 2q - 10 = 0 \Rightarrow q = 5 \)。
(ii) 將 \( q = 5 \) 代回增廣矩陣：\( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & | & 4 \\ 0 & -3 & 0 & | & -3 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix} \)。由第二行，\( -3y = -3 \Rightarrow y = 1 \)。由第一行，\( x + 2(1) + z = 4 \Rightarrow x + z = 2 \)。設 \( z = t \)，則 \( x = 2 - t \)，其中 \( t \in \mathbb{R} \)。因此，方程組的解為 \( \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-t \\ 1 \\ t \end{pmatrix} \) (或 \( x = 2 - t, y = 1, z = t \)，其中 \( t \) 為任意實數)。

(a) 求行列式: 1分。將行列式設為 0: 1分。正確求得 \( p \) 值: 1分。
(b) 求得 \( \det(M) = 2 \): 1分。求餘因子矩陣 (或伴隨矩陣): 2分 (部分正確給1分)。正確求得 \( M^{-1} \): 1分。
(c)(i) 對增廣矩陣進行正確行變換: 1分。寫出消解性對應的行關係: 1分。求得 \( q = 5 \): 1分。
(c)(ii) 求得 \( y \) 的正確值: 1分。以參數 \( t \) 表示 \( x \) (或同等表示): 1分。正確的通解: 1分。

(a) 設 \( u = a - x \)，則 \( dx = -du \)。
當 \( x = 0 \) 時，\( u = a \)。當 \( x = a \) 時，\( u = 0 \)。
所以，\( \int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{a}^{0} f(a-u) (-du) = \int_{0}^{a} f(a-u) \, du = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx \)。
(b) 設 \( I = \int_{0}^{\pi/4} \ln(1 + \tan x) \, dx \)。由 (a) 可得：
\( I = \int_{0}^{\pi/4} \ln\left(1 + \tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right)\right) \, dx \)。
由於 \( \tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right) = \frac{\tan(\pi/4) - \tan x}{1 + \tan(\pi/4)\tan x} = \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} \)，
我們有 \( 1 + \tan\left(\frac{\pi}{4}-x\right) = 1 + \frac{1 - \tan x}{1 + \tan x} = \frac{2}{1 + \tan x} \)。
因此，\( I = \int_{0}^{\pi/4} \ln\left(\frac{2}{1+\tan x}\right) \, dx = \int_{0}^{\pi/4} [\ln 2 - \ln(1 + \tan x)] \, dx \)
\( I = \int_{0}^{\pi/4} \ln 2 \, dx - \int_{0}^{\pi/4} \ln(1 + \tan x) \, dx = [x \ln 2]_{0}^{\pi/4} - I \)。
\( 2I = \frac{\pi}{4} \ln 2 \Rightarrow I = \frac{\pi}{8} \ln 2 \)。
(c) 設 \( J = \int_{0}^{\pi/4} \frac{x \sec^2 x}{1 + \tan x} \, dx \)。
使用分部積分法：設 \( U = x \) 及 \( dV = \frac{\sec^2 x}{1 + \tan x} \, dx \)。
則 \( dU = dx \) 及 \( V = \ln(1 + \tan x) \) (因在 \( [0, \pi/4] \) 上 \( 1 + \tan x > 0 \))。
\( J = [x \ln(1 + \tan x)]_{0}^{\pi/4} - \int_{0}^{\pi/4} \ln(1 + \tan x) \, dx \)。
由於 \( [x \ln(1 + \tan x)]_{0}^{\pi/4} = \frac{\pi}{4} \ln(1 + \tan(\pi/4)) - 0 = \frac{\pi}{4} \ln 2 \)，且由 (b)，\( \int_{0}^{\pi/4} \ln(1 + \tan x) \, dx = \frac{\pi}{8} \ln 2 \)，
我們得到 \( J = \frac{\pi}{4} \ln 2 - \frac{\pi}{8} \ln 2 = \frac{\pi}{8} \ln 2 \)。

(a) 正確代換 \( u = a - x \) 及更改積分上下限: 1分。完成證明: 1分。
(b) 應用 (a): 1分。正確使用正切複角公式: 1分。化簡為 \( \ln(2/(1+\tan x)) \): 1分。使用對數性質: 1分。完成證明: 1分。
(c) 應用分部積分法 (正確選擇 \( U, dV \)): 1分。求得 \( V = \ln(1+\tan x) \): 1分。計算邊界項 \( [x \ln(1+\tan x)]_0^{\pi/4} = \frac{\pi}{4} \ln 2 \): 1分。代入 (b) 的結果: 1分。正確答案: 1分。

(a) \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & -1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2-1) - \mathbf{j}(1-(-2)) + \mathbf{k}(-1-4) = \mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 5\mathbf{k} \)。
(b) 四面體的體積公式為 \( V = \frac{1}{6} |(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}| \)。
我們有 \( (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = (1)(1) + (-3)(1) + (-5)(z) = -2 - 5z \)。
因此，\( \frac{1}{6} |-2 - 5z| = \frac{7}{6} \Rightarrow |-2 - 5z| = 7 \)。
情況 1: \( -2 - 5z = 7 \Rightarrow 5z = -9 \Rightarrow z = -1.8 \)。
情況 2: \( -2 - 5z = -7 \Rightarrow 5z = 5 \Rightarrow z = 1 \)。
所以 \( z \) 的可能值為 \( 1 \) 和 \( -1.8 \)。
(c) 當 \( z = 1 \) 時，\( \mathbf{c} = \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k} \)。
(i) 平面 \( OAB \) 的法向量為 \( \mathbf{n} = \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 5\mathbf{k} \)。
\( \mathbf{c} \) 在 \( \mathbf{n} \) 上的投影為：
\( \mathbf{p}_{n} = \left( \frac{\mathbf{c} \cdot \mathbf{n}}{|\mathbf{n}|^2} \right) \mathbf{n} = \frac{1(1) + 1(-3) + 1(-5)}{1^2 + (-3)^2 + (-5)^2} (\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 5\mathbf{k}) = \frac{-7}{35}(\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 5\mathbf{k}) = -\frac{1}{5}(\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 5\mathbf{k}) \)。
\( \overrightarrow{OC} \) 在平面 \( OAB \) 上的投影為：
\( \mathbf{c} - \mathbf{p}_{n} = (\mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}) - \left(-\frac{1}{5}\mathbf{i} + \frac{3}{5}\mathbf{j} + \mathbf{k}\right) = \frac{6}{5}\mathbf{i} + \frac{2}{5}\mathbf{j} \)。
(ii) \( C \) 到平面 \( OAB \) 的最短距離即為 \( \mathbf{c} \) 在法向量 \( \mathbf{n} \) 上的投影的長度：
\( d = |\mathbf{p}_{n}| = \left| -\frac{1}{5}(\mathbf{i} - 3\mathbf{j} - 5\mathbf{k}) \right| = \frac{1}{5}\sqrt{1^2 + (-3)^2 + (-5)^2} = \frac{\sqrt{35}}{5} \)。

(a) 正確應用叉積法: 1分。正確答案: 1分。
(b) 列出公式 \( V = \frac{1}{6} |(\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c}| \): 1分。求得 \( (\mathbf{a} \times \mathbf{b}) \cdot \mathbf{c} = -2 - 5z \): 1分。考慮兩種情況: 1分。求得正解的 \( z \) 值: 1分。
(c)(i) 認清法向量: 1分。列出平面投影的公式: 1分。計算向量在法向量上的投影: 1分。正確在平面上的投影: 1分。
(c)(ii) 正確的最短距離公式: 1分。正確計算長度值: 1分。正確距離答案: 1分。