2024 DSE 數學 模擬試題 | Past Paper 練習

設 \( f(x) = 2x^3 - kx^2 - 13x + 6 \)，其中 \( k \) 為一常數。已知 \( 2x - 1 \) 是 \( f(x) \) 的因式。
(a) 求 \( k \) 的值。
(b) 整體分解 \( f(x) \)。

圓 \( C \) 的圓心坐標為 \( (4, -3) \)。直線 \( L: 3x - 4y + 1 = 0 \) 與 \( C \) 相切。
(a) 求 \( C \) 的方程。
(b) 判別原點 \( O(0,0) \) 是在圓 \( C \) 以內、以外、還是其上。

解方程 \( 2\cos^2 \theta + 5\sin \theta - 4 = 0 \)，其中 \( 0^\circ \le \theta \le 360^\circ \)。

一組數據由七個正整數組成：\( 3, 5, 6, 8, 9, x, y \)，其中 \( x \le y \)。已知該組數據的平均值及極差分別為 7 及 9。
(a) 求 \( x \) 及 \( y \) 的值。
(b) 求該組數據的標準差。（答案須準確至二位小數。）

考慮二次方程 \( x^2 - 2(k - 1)x + (2k + 1) = 0 \)，其中 \( k \) 為一常數。已知該方程有實根。
(a) 求 \( k \) 的取值範圍。
(b) 若 \( k \) 為滿足 (a) 中條件的最小正整數，解該二次方程。

設 \( g(x) = ax^3 + bx^2 - 5x - 2 \)，其中 \( a \) 及 \( b \) 為常數。當 \( g(x) \) 分別除以 \( x - 1 \) 及 \( x + 2 \) 時，餘數分別為 \( 6 \) 及 \( -12 \)。
(a) 求 \( a \) 及 \( b \) 的值。
(b) 求 \( g(x) \) 除以 \( x^2 + x - 2 \) 時的餘式。

已知 \( y \) 一部分為常數，另一部分隨 \( x^2 \) 反變。當 \( x = 1 \) 時，\( y = 8 \)；且當 \( x = 2 \) 時，\( y = 5 \)。
(a) 試以 \( x \) 表 \( y \)。
(b) 若 \( y = 4.25 \)，求 \( x \) 的值。

等差數列的第 3 項為 14，第 7 項為 30。
(a) 求該數列的首項及公差。
(b) 求 \( n \) 的最小整數值，使得該數列的首 \( n \) 項之和大於 500。

在 \( \triangle ABC \) 中，\( AB = 8\text{ cm} \)、\( AC = 5\text{ cm} \) 及 \( \angle BAC = 60^\circ \)。
(a) 求 \( BC \) 的長度。
(b) 求 \( \triangle ABC \) 的面積。（答案以根式表示。）

設 \(p(x) = 3x^3 + ax^2 + bx - 12\)，其中 \(a\) 及 \(b\) 為常數。已知 \(x-2\) 是 \(p(x)\) 的因式。當 \(p(x)\) 除以 \(x+1\) 時，餘數為 \(-15\)。

(a) 求 \(a\) 及 \(b\) 的值。 (4 分)

(b) 有人聲稱方程 \(p(x) = 0\) 的所有根均為實數。你是否同意？試解釋你的答案。 (3 分)

設圓 \(C\) 的方程為 \(x^2 + y^2 - 8x + 2y - 8 = 0\)。設 \(L\) 為直線 \(3x - 4y + k = 0\)，其中 \(k\) 為常數。

(a) 求 \(C\) 的圓心坐標及半徑。 (2 分)

(b) 若 \(L\) 與 \(C\) 相切且 \(L\) 的 \(y\) 截距為正數，求 \(k\) 的值。 (3 分)

(c) 求 \(L\) 與 \(C\) 的切點坐標。 (2 分)

下方的莖葉圖顯示一群共 15 位學生每週零用錢（以港元計）的分佈：

莖 (十位) | 葉 (個位)
1 | 5, 5, 8, 9
2 | 0, 2, 5, \(a\), 8
3 | 1, 1, 6
4 | 0, 2, \(b\)

其中 \(5 \le a \le 8\) 且 \(2 \le b \le 9\)。已知該分佈的極差及中位數分別為 \$32 及 \$25。

(a) 求 \(a\) 及 \(b\) 的值。 (3 分)

(b) 若再有兩位每週零用錢分別為 \$25 及 \$43 的學生加入該群，求該分佈的四分位距的改變。 (4 分)

在圖中，\(A\)、\(B\) 及 \(C\) 是水平地面上的三點。\(B\) 在 \(A\) 的正東方。由 \(A\) 測得 \(C\) 的方位角為 \(N50^\circ E\)，而由 \(B\) 測得 \(C\) 的方位角為 \(N30^\circ W\)。\(A\) 與 \(B\) 之間的距離為 \(120\text{ m}\)。

(a) 求 \(A\) 與 \(C\) 之間的距離。 (3 分)

(b) 在 \(C\) 處豎立一高 \(h\text{ m}\) 的直立桿 \(CP\)。若由 \(A\) 測得 \(P\) 的仰角為 \(35^\circ\)，求：
(i) \(h\) 的值，
(ii) 由 \(B\) 測得 \(P\) 的仰角。
(4 分)
（答案須準確至三位有效數字。）

等差數列 \(A(n)\) 的第 1、第 2 及第 5 項分別是一等比數列 \(G(n)\) 的第 1、第 2 及第 3 項。已知這兩個數列的首項皆為 \(4\)，且 \(G(n)\) 的公比不等於 \(1\)。

(a) 求 \(A(n)\) 的公差及 \(G(n)\) 的公比。 (4 分)

(b) 設 \(S_n\) 為 \(A(n)\) 的首 \(n\) 項和。求 \(n\) 的最小位值使得 \(S_n > 5000\)。 (3 分)

設 \(P(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 12\)，其中 \(a\) 及 \(b\) 為常數。已知 \(x-2\) 是 \(P(x)\) 的因式。當 \(P(x)\) 除以 \(x+1\) 時，餘數為 \(-21\)。

(a) 求 \(a\) 及 \(b\) 的值。 (3分)

(b) 有人宣稱方程 \(P(x) = 0\) 的所有根均為實數。你是否同意？試解釋你的答案。 (4分)

集合 \(S\) 包含 15 個互不相同的數字。\(S\) 的平均值為 48，標準差為 8。

(a) 求 \(S\) 中各數字之和及各數字的平方和。 (3分)

(b) 將額外的兩個數字 36 及 60 加入集合 \(S\) 以組成一個新集合 \(S'\)。
(i) 求 \(S'\) 的平均值。
(ii) 確定 \(S'\) 的標準差是 大於、等於 還是 小於 \(S\) 的標準差。試解釋你的答案。 (4分)

考慮圓 \(C: x^2 + y^2 - 10x - 6y + 9 = 0\)。設 \(L\) 為直線 \(4x - 3y + k = 0\)，其中 \(k\) 為常數。

(a) 求 \(k\) 的取值範圍，使得 \(L\) 與 \(C\) 交於兩個相異點。 (3分)

(b) 設 \(k = -1\) 且 \(L\) 與 \(C\) 交於 \(A\) 及 \(B\) 兩點。設 \(G\) 為 \(C\) 的圓心。求 \(\triangle GAB\) 的面積。 (4分)

在圖中，\(ABCD\) 為一三角錐體。底面 \(BCD\) 為水平直角三角形，其中 \(\angle BCD = 90^\circ\)。已知 \(BC = 12\text{ cm}\)、\(CD = 5\text{ cm}\)，且 \(AB\) 垂直於水平面 \(BCD\)，其中 \(AB = 9\text{ cm}\)。

(a) 求 \(AD\) 的長度，準確至三位有效數字。 (2分)

(b) 求平面 \(ACD\) 與水平面 \(BCD\) 之間的夾角，準確至三位有效數字。 (2分)

(c) 求直線 \(AD\) 與平面 \(ABC\) 之間的夾角，準確至三位有效數字。 (3分)

設 \(F(x) = 2x^3 - 5x^2 - 4x + 3\) 及 \(G(x) = 2x^2 + kx - 3\)，其中 \(k\) 為常數。

(a) 設 \(F(x)\) 及 \(G(x)\) 有一公一次因式 \(2x - 1\)。
(i) 求 \(k\) 的值。
(ii) 由此，以因式分解形式求 \(F(x)\) 與 \(G(x)\) 的最大公因式 (GCD) 及最小公倍式 (LCM)。 (5分)

(b) 解方程 \(\frac{G(x)}{F(x)} = \frac{2}{x+1}\)。 (2分)