2024 DSE 數學 答案詳解與評分準則

(a) 由於 \( 2x - 1 \) 是 \( f(x) \) 的因式，根據因式定理：
\( f\left(\frac{1}{2}\right) = 0 \)
\( 2\left(\frac{1}{2}\right)^3 - k\left(\frac{1}{2}\right)^2 - 13\left(\frac{1}{2}\right) + 6 = 0 \)
\( \frac{1}{4} - \frac{k}{4} - \frac{13}{2} + 6 = 0 \)
全式乘以 4：
\( 1 - k - 26 + 24 = 0 \)
\( -k - 1 = 0 \)
\( k = -1 \)

(b) 將 \( k = -1 \) 代入 \( f(x) \)，得：
\( f(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6 \)
由於 \( 2x - 1 \) 是 \( f(x) \) 的因式，利用長除法或綜合除法，得：
\( f(x) = (2x - 1)(x^2 + x - 6) \)
分解該二次項：
\( f(x) = (2x - 1)(x - 2)(x + 3) \)

(a)
- 運用 \( f(1/2) = 0 \) (1M)
- 求得 \( k = -1 \) (1A)
(b)
- 求得二次因式 \( x^2 + x - 6 \) (1M)
- 正確因式分解 \( (2x - 1)(x - 2)(x + 3) \) (1A)

(a) 圓 \( C \) 的半徑 \( r \) 等於由圓心 \( (4, -3) \) 至直線 \( L: 3x - 4y + 1 = 0 \) 的垂直距離。
利用點到直線距離公式：
\( r = \frac{|3(4) - 4(-3) + 1|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|12 + 12 + 1|}{5} = \frac{25}{5} = 5 \)
故 \( C \) 的方程為：
\( (x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 5^2 \)
即 \( (x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 25 \) （或 \( x^2 + y^2 - 8x + 6y = 0 \)）

(b) 設 \( d \) 為原點 \( O(0,0) \) 與圓心 \( (4, -3) \) 之間的距離：
\( d = \sqrt{(0 - 4)^2 + (0 - (-3))^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \)
由於 \( O \) 至圓心的距離剛好等於半徑 \( r = 5 \)，因此原點 \( O(0,0) \) 落在圓 \( C \) 之上。

(a)
- 求得半徑 \( r = 5 \) (1M)
- 寫出正確的方程（標準式或一般式皆可）(1A)
(b)
- 將 \( (0,0) \) 代入方程或計算與圓心的距離 (1M)
- 得出 \( O(0,0) \) 落在圓上並加以解釋的結論 (1A)

利用三角恆等式 \( \cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta \)：
\( 2(1 - \sin^2 \theta) + 5\sin \theta - 4 = 0 \)
\( 2 - 2\sin^2 \theta + 5\sin \theta - 4 = 0 \)
\( -2\sin^2 \theta + 5\sin \theta - 2 = 0 \)
\( 2\sin^2 \theta - 5\sin \theta + 2 = 0 \)
\( (2\sin \theta - 1)(\sin \theta - 2) = 0 \)

由於 \( -1 \le \sin \theta \le 1 \)，方程 \( \sin \theta = 2 \) 無實數解。
因此，我們有：
\( 2\sin \theta - 1 = 0 \)
\( \sin \theta = \frac{1}{2} \)

由於 \( 0^\circ \le \theta \le 360^\circ \)：
\( \theta = 30^\circ \) 或 \( \theta = 150^\circ \)

- 運用 \( \cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta \) 建立關於 \( \sin \theta \) 的二次方程 (1M)
- 因式分解得出 \( (2\sin \theta - 1)(\sin \theta - 2) = 0 \) 或求出 \( \sin \theta = \frac{1}{2} \) (1M)
- 求得 \( \theta = 30^\circ \) (1A)
- 求得 \( \theta = 150^\circ \) (1A)

(a) 由於 7 個數據的平均值為 7：
\( \frac{3 + 5 + 6 + 8 + 9 + x + y}{7} = 7 \)
\( 31 + x + y = 49 \)
\( x + y = 18 \)

由於數據的極差為 9，若該數據組的極小值為 3，則極大值必須為 \( 3 + 9 = 12 \)。
因此，設 \( y = 12 \)。
則 \( x = 18 - 12 = 6 \)。
此時數據組為 \( 3, 5, 6, 6, 8, 9, 12 \)，極小值為 3，極大值為 12，極差為 9，符合條件。
（若極小值改為 \( x < 3 \)，則極大值為 \( x + 9 \)。因為 \( y \le x + 9 \) 且 \( x + y = 18 \)，可得 \( 18 - x \le x + 9 \Rightarrow 2x \ge 9 \Rightarrow x \ge 4.5 \)，這與 \( x < 3 \) 矛盾。因此，\( x = 6 \) 及 \( y = 12 \) 是唯一解。）

(b) 該組數據為 \( \{3, 5, 6, 6, 8, 9, 12\} \)，其平均值 \( \mu = 7 \)。
方差 \( \sigma^2 \) 為：
\( \sigma^2 = \frac{(3-7)^2 + (5-7)^2 + 2(6-7)^2 + (8-7)^2 + (9-7)^2 + (12-7)^2}{7} \)
\( \sigma^2 = \frac{16 + 4 + 2(1) + 1 + 4 + 25}{7} = \frac{52}{7} \approx 7.42857 \)
標準差為 \( \sigma = \sqrt{\frac{52}{7}} \approx 2.7255 \approx 2.73 \)。

(a)
- 建立方程 \( x + y = 18 \) (1M)
- 求得 \( x = 6 \) 及 \( y = 12 \) (1A)
(b)
- 運用正確的標準差計算公式 (1M)
- 求得 \( 2.73 \)（接受 \( 2.72 \le \sigma \le 2.74 \)）(1A)

(a) 由於二次方程有實根，判別式 \( \Delta \ge 0 \)。
\( \Delta = [-2(k - 1)]^2 - 4(1)(2k + 1) \ge 0 \)
\( 4(k^2 - 2k + 1) - 4(2k + 1) \ge 0 \)
\( 4k^2 - 8k + 4 - 8k - 4 \ge 0 \)
\( 4k^2 - 16k \ge 0 \)
除以 4：
\( k^2 - 4k \ge 0 \)
\( k(k - 4) \ge 0 \)
因此，\( k \le 0 \) 或 \( k \ge 4 \)。

(b) 滿足條件的正整數為 \( 4, 5, 6, \dots \)（因 \( k \le 0 \) 不能得出正整數）。
所以，最小的正整數為 \( k = 4 \)。
將 \( k = 4 \) 代入原方程：
\( x^2 - 2(4 - 1)x + (2(4) + 1) = 0 \)
\( x^2 - 6x + 9 = 0 \)
\( (x - 3)^2 = 0 \)
\( x = 3 \) （重根）

(a)
- 設判別式 \( \Delta \ge 0 \) (1M)
- 求得 \( k \le 0 \) 或 \( k \ge 4 \) (1A)（必須包含「或」）
(b)
- 識別出 \( k = 4 \) (1M)
- 解方程求得 \( x = 3 \) (1A)

(a) 根據餘數定理：
\( g(1) = 6 \Rightarrow a(1)^3 + b(1)^2 - 5(1) - 2 = 6 \)
\( a + b - 7 = 6 \Rightarrow a + b = 13 \) --- (1)

\( g(-2) = -12 \Rightarrow a(-2)^3 + b(-2)^2 - 5(-2) - 2 = -12 \)
\( -8a + 4b + 10 - 2 = -12 \)
\( -8a + 4b + 8 = -12 \)
\( -8a + 4b = -20 \Rightarrow -2a + b = -5 \) --- (2)

以 (1) 減去 (2)：
\( 3a = 18 \Rightarrow a = 6 \)
將 \( a = 6 \) 代入 (1)：
\( 6 + b = 13 \Rightarrow b = 7 \)

(b) 注意 \( x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) \)。
設 \( g(x) \) 除以 \( x^2 + x - 2 \) 的餘式為 \( px + q \)。
我們可以寫出：\( g(x) = (x^2 + x - 2)Q(x) + px + q = (x - 1)(x + 2)Q(x) + px + q \)
代入 \( x = 1 \)：
\( g(1) = p(1) + q \Rightarrow p + q = 6 \) --- (3)
代入 \( x = -2 \)：
\( g(-2) = p(-2) + q \Rightarrow -2p + q = -12 \) --- (4)

以 (3) 減去 (4)：
\( 3p = 18 \Rightarrow p = 6 \)
將 \( p = 6 \) 代入 (3)：
\( 6 + q = 6 \Rightarrow q = 0 \)
因此，餘式為 \( 6x \)。

(a)
- 根據餘數定理建立兩個線性方程 (1M)
- 求得 \( a = 6 \) 且 \( b = 7 \) (1A)
(b)
- 設餘式為 \( px + q \) 並建立其方程 (1M)
- 求得餘式為 \( 6x \) (1A)

(a) 設 \( y = k_1 + \frac{k_2}{x^2} \)，其中 \( k_1 \) 及 \( k_2 \) 為非零常數。
代入 \( x = 1 \) 及 \( y = 8 \)：
\( 8 = k_1 + k_2 \) --- (1)
代入 \( x = 2 \) 及 \( y = 5 \)：
\( 5 = k_1 + \frac{k_2}{4} \) --- (2)

以 (1) 減去 (2)：
\( 3 = \frac{3}{4}k_2 \Rightarrow k_2 = 4 \)
將 \( k_2 = 4 \) 代入 (1)：
\( 8 = k_1 + 4 \Rightarrow k_1 = 4 \)
因此，\( y = 4 + \frac{4}{x^2} \)。

(b) 代入 \( y = 4.25 \)：
\( 4.25 = 4 + \frac{4}{x^2} \)
\( 0.25 = \frac{4}{x^2} \)
\( x^2 = \frac{4}{0.25} = 16 \)
\( x = 4 \) 或 \( x = -4 \)

(a)
- 寫出變分方程 \( y = k_1 + \frac{k_2}{x^2} \) (1M)
- 求得 \( k_1 = 4 \) 且 \( k_2 = 4 \) 以得出 \( y = 4 + \frac{4}{x^2} \) (1A)
(b)
- 代入 \( y = 4.25 \) 並解 \( x^2 \) (1M)
- 求得兩個值 \( x = 4 \) 及 \( x = -4 \) (1A)（若只答對一個值，扣 1 分）

(a) 設該等差數列的首項為 \( a \)，公差為 \( d \)。
已知：
\( T(3) = a + 2d = 14 \) --- (1)
\( T(7) = a + 6d = 30 \) --- (2)

以 (2) 減去 (1)：
\( 4d = 16 \Rightarrow d = 4 \)
將 \( d = 4 \) 代入 (1)：
\( a + 2(4) = 14 \Rightarrow a = 6 \)
因此，首項為 6，公差為 4。

(b) 首 \( n \) 項之和由 \( S(n) = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d] \) 給出。
我們設定 \( S(n) > 500 \)：
\( \frac{n}{2}[2(6) + (n-1)4] > 500 \)
\( \frac{n}{2}[12 + 4n - 4] > 500 \)
\( \frac{n}{2}[4n + 8] > 500 \)
\( n(2n + 4) > 500 \)
\( 2n^2 + 4n - 500 > 0 \)
\( n^2 + 2n - 250 > 0 \)

利用二次公式求 \( n^2 + 2n - 250 = 0 \) 的根：
\( n = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-250)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{1004}}{2} \)
由於 \( n > 0 \)：
\( n > \frac{-2 + 31.686}{2} \approx 14.843 \)
由於 \( n \) 必須為整數，故 \( n \) 的最小整數值為 15。

(a)
- 根據 \( a \) 及 \( d \) 建立兩個線性方程 (1M)
- 求得 \( a = 6 \) 且 \( d = 4 \) (1A)
(b)
- 建立不等式 \( S(n) > 500 \) (1M)
- 求得 \( n \) 的最小整數值為 15 (1A)

(a) 根據餘弦公式：
\( BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC)\cos \angle BAC \)
\( BC^2 = 8^2 + 5^2 - 2(8)(5)\cos 60^\circ \)
\( BC^2 = 64 + 25 - 80\left(\frac{1}{2}\right) \)
\( BC^2 = 89 - 40 = 49 \)
\( BC = 7\text{ cm} \)

(b) \( \triangle ABC \) 的面積為：
\( \text{面積} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \angle BAC \)
\( \text{面積} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ \)
\( \text{面積} = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3}\text{ cm}^2 \)

(a)
- 正確將數據代入餘弦公式中 (1M)
- 求得 \( BC = 7\text{ cm} \) (1A)（接受不寫單位）
(b)
- 正確將數據代入三角形面積公式中 (1M)
- 求得正確面積 \( 10\sqrt{3}\text{ cm}^2 \) (1A)（接受不寫單位）

(a) 由於 \(x-2\) 是 \(p(x)\) 的因式，根據因式定理：
\(p(2) = 0 \Rightarrow 3(2)^3 + a(2)^2 + b(2) - 12 = 0 \Rightarrow 4a + 2b = -12 \Rightarrow 2a + b = -6\) --- (1)
當 \(p(x)\) 除以 \(x+1\) 時，餘數為 \(-15\)。根據餘數定理：
\(p(-1) = -15 \Rightarrow 3(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) - 12 = -15 \Rightarrow a - b = 0 \Rightarrow a = b\) --- (2)
將 (2) 代入 (1)：
\(2a + a = -6 \Rightarrow 3a = -6 \Rightarrow a = -2\)
因此，\(a = -2\) 及 \(b = -2\)。

(b) 將 \(a = -2\) 及 \(b = -2\) 代入 \(p(x)\)：
\(p(x) = 3x^3 - 2x^2 - 2x - 12\)
由於 \(x-2\) 是因式：
\(p(x) = (x-2)(3x^2 + 4x + 6)\)
考慮方程 \(p(x) = 0 \Rightarrow x-2 = 0\) 或 \(3x^2 + 4x + 6 = 0\)。
對於二次方程 \(3x^2 + 4x + 6 = 0\)：
判別式 \(\Delta = 4^2 - 4(3)(6) = 16 - 72 = -56 < 0\)。
由於 \(\Delta < 0\)，該二次方程沒有實根。
因此，\(p(x) = 0\) 的所有根並不均為實數。
故不同意該聲稱。

(a)
- 試圖運用因式定理：\(p(2) = 0\) [1M]
- 試圖運用餘數定理：\(p(-1) = -15\) [1M]
- 建立方程 \(2a + b = -6\) 及 \(a - b = 0\)（或等值方程）[1M]
- 得出 \(a = -2\) 及 \(b = -2\) [1A]
(b)
- 求得另一因式 \(3x^2 + 4x + 6\) [1M]
- 檢查判別式 \(\Delta = -56 < 0\) [1M]
- 結論指出並非所有根均為實數，並表示不同意 [1A]

(a) 圓 \(C\) 的圓心為 \(G = \left(-\frac{-8}{2}, -\frac{2}{2}\right) = (4, -1)\)。
圓 \(C\) 的半徑為 \(r = \sqrt{4^2 + (-1)^2 - (-8)} = \sqrt{16 + 1 + 8} = 5\)。

(b) 由於 \(L\) 與 \(C\) 相切，由圓心 \((4, -1)\) 至 \(L\) 的垂直距離等於半徑 \(5\)。
\(\frac{|3(4) - 4(-1) + k|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = 5\)
\(\frac{|16 + k|}{5} = 5\)
\(|16 + k| = 25\)
因此，\(16 + k = 25 \Rightarrow k = 9\)，或 \(16 + k = -25 \Rightarrow k = -41\)。
直線 \(L\) 可寫成 \(y = \frac{3}{4}x + \frac{k}{4}\)，其 \(y\) 截距為 \(\frac{k}{4}\)。
由於 \(y\) 截距為正數，\(k > 0\)。故 \(k = 9\)。

(c) 將 \(k = 9\) 代入 \(L\)：\(3x - 4y + 9 = 0 \Rightarrow y = \frac{3x+9}{4}\)。
代入圓 \(C\) 的方程中：
\(x^2 + \left(\frac{3x+9}{4}\right)^2 - 8x + 2\left(\frac{3x+9}{4}\right) - 8 = 0\)
\(16x^2 + (9x^2 + 54x + 81) - 128x + 24x + 72 - 128 = 0\)
\(25x^2 - 50x + 25 = 0\)
\(x^2 - 2x + 1 = 0\)
\((x-1)^2 = 0 \Rightarrow x = 1\)。
當 \(x = 1\) 時，\(y = \frac{3(1)+9}{4} = 3\)。
因此，切點坐標為 \((1, 3)\)。

(a)
- 求得圓心 \((4, -1)\) [1A]
- 求得半徑 \(5\) [1A]
(b)
- 運用圓心至直線的垂直距離等於半徑 [1M]
- 解得 \(k = 9\) 或 \(k = -41\) [1M]
- 選取 \(k = 9\) 並給出合理理由 [1A]
(c)
- 代入 \(y\)（或 \(x\)）至圓方程 [1M]
- 求得切點 \((1, 3)\) [1A]

(a) 最小值為 15。
最大值為 \(40+b\)。
由於極差為 32：
\((40+b) - 15 = 32 \Rightarrow b = 7\)。

由於 \(N = 15\)，當數據由小至大排列時，中位數為第 8 項。
前 7 項為：15, 15, 18, 19, 20, 22, 25。
第 8 項即為中位數 25。
由於 \(5 \le a \le 8\)，項 \(20+a\) 必為第 8 項或更大。若要第 8 項為 25，必有 \(a = 5\)（若 \(a > 5\)，則第 8 項為 \(20+a > 25\)，令中位數大於 25）。
因此，\(a = 5\)。

(b) 當 \(a = 5\) 及 \(b = 7\) 時，原本 15 個數據由小至大為：
15, 15, 18, 19, 20, 22, 25, 25, 28, 31, 31, 36, 40, 42, 47。
原本的下四分位數 \(Q_1\) = 第 4 項 = 19。
原本的上四分位數 \(Q_3\) = 第 12 項 = 36。
原本的四分位距 \(IQR = 36 - 19 = 17\)。

加入兩位學生（25 及 43）後，新的 17 個數據由小至大為：
15, 15, 18, 19, 20, 22, 25, 25, 25, 28, 31, 31, 36, 40, 42, 43, 47。
新下四分位數 \(Q_1'\) = 前 8 項的中位數 = \(\frac{19+20}{2} = 19.5\)。
新上四分位數 \(Q_3'\) = 後 8 項的中位數 = \(\frac{36+40}{2} = 38\)。
新四分位距 \(IQR = 38 - 19.5 = 18.5\)。

四分位距的改變為 \(18.5 - 17 = 1.5\)。

(a)
- 求得 \(b = 7\) [1A]
- 指出第 8 項為 25 [1M]
- 求得 \(a = 5\) [1A]
(b)
- 求得原本的 \(Q_1 = 19\) 及 \(Q_3 = 36\)（或原本的 \(IQR = 17\)）[1M]
- 求得新下四分位數 \(Q_1 = 19.5\) [1A]
- 求得新上四分位數 \(Q_3 = 38\) [1A]
- 求得四分位距的改變為 \(1.5\) [1A]

(a) 由於 \(B\) 在 \(A\) 的正東方，且由 \(A\) 測得 \(C\) 的方位角為 \(N50^\circ E\)：
\(\angle CAB = 90^\circ - 50^\circ = 40^\circ\)。
由於由 \(B\) 測得 \(C\) 的方位角為 \(N30^\circ W\) 且 \(A\) 在 \(B\) 的正西方：
\(\angle CBA = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ\)。
在 \(\triangle ABC\) 中：
\(\angle ACB = 180^\circ - \angle CAB - \angle CBA = 180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ\)。
根據正弦定理：
\(\frac{AC}{\sin 60^\circ} = \frac{120}{\sin 80^\circ}\)
\(AC = \frac{120 \sin 60^\circ}{\sin 80^\circ} \approx 105.52945 \approx 106\text{ m}\)。

(b) (i) 在直角 \(\triangle ACP\) 中：
\(\tan 35^\circ = \frac{CP}{AC} = \frac{h}{AC}\)
\(h = AC \tan 35^\circ \approx 105.52945 \times \tan 35^\circ \approx 73.8913 \approx 73.9\)。

(ii) 在 \(\triangle ABC\) 中，根據正弦定理：
\(\frac{BC}{\sin 40^\circ} = \frac{120}{\sin 80^\circ} \Rightarrow BC = \frac{120 \sin 40^\circ}{\sin 80^\circ} \approx 78.32441\text{ m}\)。
在直角 \(\triangle BCP\) 中，設 \(\theta\) 為由 \(B\) 測得 \(P\) 的仰角：
\(\tan \theta = \frac{CP}{BC} = \frac{h}{BC}\)
\(\tan \theta \approx \frac{73.8913}{78.32441} \approx 0.943399\)
\(\theta \approx 43.3297^\circ \approx 43.3^\circ\)。
因此，由 \(B\) 測得 \(P\) 的仰角為 \(43.3^\circ\)。

(a)
- 求得 \(\angle CAB = 40^\circ\)、\(\angle CBA = 60^\circ\) 及 \(\angle ACB = 80^\circ\) [1M]
- 運用正弦定理：\(\frac{AC}{\sin 60^\circ} = \frac{120}{\sin 80^\circ}\) [1M]
- 求得 \(AC \approx 106\text{ m}\) (或 105.5 m) [1A]
(b)
- (i) 運用 \(\tan 35^\circ = \frac{h}{AC}\) 求得 \(h \approx 73.9\) [1A]
- (ii) 運用正弦定理求得 \(BC \approx 78.3\text{ m}\) [1M]
- (ii) 運用 \(\tan \theta = \frac{h}{BC}\) [1M]
- (ii) 求得 \(\theta \approx 43.3^\circ\) [1A]

(a) 設 \(d\) 為 \(A(n)\) 的公差，\(r\) 為 \(G(n)\) 的公比。
已知：
\(A(1) = 4\)，故 \(A(2) = 4 + d\) 及 \(A(5) = 4 + 4d\)。
\(G(1) = 4\)，故 \(G(2) = 4r\) 及 \(G(3) = 4r^2\)。

由於 \(A(2) = G(2)\)，可得：
\(4 + d = 4r \Rightarrow d = 4r - 4\) --- (1)
由於 \(A(5) = G(3)\)，可得：
\(4 + 4d = 4r^2\) --- (2)

將 (1) 代入 (2)：
\(4 + 4(4r - 4) = 4r^2\)
\(4 + 16r - 16 = 4r^2\)
\(4r^2 - 16r + 12 = 0\)
\(r^2 - 4r + 3 = 0\)
\((r - 1)(r - 3) = 0\)
由於 \(r \neq 1\)，故 \(r = 3\)。
將 \(r = 3\) 代入 (1)：
\(d = 4(3) - 4 = 8\)。
因此，公差為 \(8\)，公比為 \(3\)。

(b) \(A(n)\) 的首 \(n\) 項和為：
\(S_n = \frac{n}{2} [2(4) + (n-1)8] = \frac{n}{2} [8 + 8n - 8] = 4n^2\)。
我們要滿足 \(S_n > 5000\)：
\(4n^2 > 5000\)
\(n^2 > 1250\)
\(n > \sqrt{1250} \approx 35.355\)。
由於 \(n\) 必須是整數，所以 \(n\) 的最小位值為 \(36\)。

(a)
- 建立方程 \(4 + d = 4r\) 及 \(4 + 4d = 4r^2\) [1M]
- 代入以組成關於 \(r\) 的二次方程 [1M]
- 解出 \(r = 3\)（捨去 \(r = 1\)）[1A]
- 求得 \(d = 8\) [1A]
(b)
- 化簡得 \(S_n = 4n^2\) [1M]
- 建立不等式 \(4n^2 > 5000\) [1M]
- 求得 \(n = 36\) [1A]

(a) 由於 \(x-2\) 是 \(P(x)\) 的因式，根據因式定理：
\(P(2) = 0\)
\(2(2)^3 + a(2)^2 + b(2) - 12 = 0\)
\(16 + 4a + 2b - 12 = 0\)
\(2a + b = -2\) --- (1)

由於當除以 \(x+1\) 時的餘數為 \(-21\)，根據餘數定理：
\(P(-1) = -21\)
\(2(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) - 12 = -21\)
\(-2 + a - b - 12 = -21\)
\(a - b = -7\) --- (2)

解 (1) 及 (2)：
由 (2) 得 \(b = a + 7\)。
代入 (1) 可得：\(2a + a + 7 = -2 \implies 3a = -9 \implies a = -3\)。
因此，\(b = -3 + 7 = 4\)。

(b) 由於 \(a = -3\) 及 \(b = 4\)，\(P(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 12\)。
因為 \(x-2\) 是 \(P(x)\) 的因式，進行因式分解可得：
\(P(x) = (x-2)(2x^2 + x + 6)\)。

對於方程 \(P(x) = 0\)：
\(x - 2 = 0\) 或 \(2x^2 + x + 6 = 0\)。

二次方程 \(2x^2 + x + 6 = 0\) 的判別式為：
\(\Delta = 1^2 - 4(2)(6) = 1 - 48 = -47 < 0\)。

由於 \(\Delta < 0\)，該二次因式沒有實根。
因此，方程 \(P(x) = 0\) 只有一個實根（即 2），而另外兩個根不是實數。
故不同意該宣稱。

- 經因式定理得出 2a + b = -2 (1M)
- 經餘數定理得出 a - b = -7 (1M)
- 求得 a = -3 及 b = 4 (1A)
- 將 P(x) 分解為 (x-2)(2x^2 + x + 6) (1M)
- 考慮 2x^2 + x + 6 = 0 的判別式 (1M)
- 計算得判別式 = -47 且指出其小於 0 (1A)
- 給予正確的結論及解釋 (1f.t.)

(a) 設 \(S\) 的元素為 \(x_1, x_2, \dots, x_{15}\)。
平均值 \(\bar{x} = \frac{\sum x_i}{15} = 48 \implies \sum x_i = 15 \times 48 = 720\)。

由於標準差 \(\sigma = 8\)：
\(\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{15} - \bar{x}^2\)
\(8^2 = \frac{\sum x_i^2}{15} - 48^2\)
\(64 = \frac{\sum x_i^2}{15} - 2304\)
\(\frac{\sum x_i^2}{15} = 2368 \implies \sum x_i^2 = 15 \times 2368 = 35520\)。

(b) (i) \(S'\) 的新元素之和為 \(720 + 36 + 60 = 816\)。
\(S'\) 的元素數目為 \(15 + 2 = 17\)。
\(S'\) 的平均值為 \(\bar{y} = \frac{816}{17} = 48\)。
（另解：由於新加入的兩個數字 36 與 60 的平均值為 \(\frac{36+60}{2} = 48\)，與原來的平均值相同，因此平均值保持不變。）

(ii)
方法一（通過計算）：
\(S'\) 的新平方和為 \(\sum y_i^2 = 35520 + 36^2 + 60^2 = 35520 + 1296 + 3600 = 40416\)。
新方差為 \(\sigma'^2 = \frac{40416}{17} - 48^2 = 2377.412 - 2304 = 73.412\)。
新標準差為 \(\sigma' = \sqrt{73.412} \approx 8.57\)。
因為 \(8.57 > 8\)，所以 \(S'\) 的標準差大於 \(S\) 的標準差。

方法二（通過邏輯）：
該集合的平均值保持不變為 48。
新加入的兩個數字 36 和 60 與平均值 48 的偏差分別為 \(|36 - 48| = 12\) 及 \(|60 - 48| = 12\)。
由於這兩個偏差（12）均大於原來的標準差（8），加入這兩個數據點會增加數據集的離散程度。
因此，\(S'\) 的標準差大於 \(S\) 的標準差。

- 求得總和 = 720 (1A)
- 建立方差方程 (1M)
- 求得平方和 = 35520 (1A)
- 在 (b)(i) 中求得新平均值 = 48 (1A)
- 在 (b)(ii) 中計算新方差/標準差 或 用偏差解釋 (1M)
- 得出新標準差約為 8.57 或 指出偏差 (12) 大於 8 (1A)
- 得出 S' 的標準差大於 S 的結論 (1f.t.)

(a) 圓的方程為 \(x^2 + y^2 - 10x - 6y + 9 = 0\)。
\(C\) 的圓心為 \(G = \left(5, 3\right)\)。
\(C\) 的半徑為 \(r = \sqrt{5^2 + 3^2 - 9} = \sqrt{25} = 5\)。

若直線 \(L\) 與 \(C\) 交於兩個相異點，則 \(G(5, 3)\) 至 \(L\) 的垂直距離 \(d\) 必須小於半徑 \(r = 5\)。
\(d = \frac{|4(5) - 3(3) + k|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} < 5\)
\(\frac{|20 - 9 + k|}{5} < 5\)
\(|11 + k| < 25\)
\(-25 < 11 + k < 25\)
\(-36 < k < 14\)。

(b) 當 \(k = -1\) 時，\(G(5, 3)\) 到 \(L: 4x - 3y - 1 = 0\) 的垂直距離為：
\(d = \frac{|11 - 1|}{5} = \frac{10}{5} = 2\)。

設 \(H\) 為 \(G\) 在弦 \(AB\) 上的投影。根據圓的性質，\(H\) 是 \(AB\) 的中點且 \(GH = d = 2\)。
在直角三角形 \(\triangle GAH\) 中：
\(AH = \sqrt{GA^2 - GH^2} = \sqrt{5^2 - 2^2} = \sqrt{21}\)。

弦 \(AB\) 的長度為 \(AB = 2 \times AH = 2\sqrt{21}\)。

\(\triangle GAB\) 的面積為：
\(\text{面積} = \frac{1}{2} \times AB \times GH = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{21} \times 2 = 2\sqrt{21}\)。

- 求得圓心 G(5, 3) 及半徑 r = 5 (1A)
- 建立距離不等式（或判別式 > 0） (1M)
- 求得範圍 -36 < k < 14 (1A)
- 求得垂直距離 d = 2 (1M)
- 求得半弦長 AH = \sqrt{21} 或弦長 AB = 2\sqrt{21} (1A)
- 運用面積公式 (1M)
- 求得面積 = 2\sqrt{21} (1A)

(a) 在直角三角形 \(\triangle BCD\) 中：
\(BD = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\text{ cm}\)。
由於 \(AB\) 垂直於水平面 \(BCD\)，故 \(AB \perp BD\)。
在直角三角形 \(\triangle ABD\) 中：
\(AD = \sqrt{AB^2 + BD^2} = \sqrt{9^2 + 13^2} = \sqrt{250} \approx 15.8\text{ cm}\)。

(b) 由於 \(AB \perp\) 平面 \(BCD\)，故 \(AB \perp CD\)。
已知 \(BC \perp CD\)。
因為 \(CD\) 同時垂直於 \(AB\) 及 \(BC\)，所以 \(CD \perp\) 平面 \(ABC\)。
因此，\(CD \perp AC\)。
由於 \(AC \perp CD\) 且 \(BC \perp CD\)，交線為 \(CD\)，因此平面 \(ACD\) 與水平面 \(BCD\) 之間的夾角為 \(\angle ACB\)。
在直角三角形 \(\triangle ABC\) 中：
\(\tan \angle ACB = \frac{AB}{BC} = \frac{9}{12} = 0.75\)
\(\angle ACB = \arctan(0.75) \approx 36.8699^\circ \approx 36.9^\circ\)。

(c) 由於 \(CD \perp\) 平面 \(ABC\)，直線 \(AD\) 在平面 \(ABC\) 上的投影為 \(AC\)。
因此，直線 \(AD\) 與平面 \(ABC\) 之間的夾角為 \(\angle DAC\)。
在直角三角形 \(\triangle ABC\) 中：
\(AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = 15\text{ cm}\)。
在直角三角形 \(\triangle ACD\)（其餘 \(\angle ACD = 90^\circ\)）中：
\(\tan \angle DAC = \frac{CD}{AC} = \frac{5}{15} = \frac{1}{3}\)
\(\angle DAC = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) \approx 18.4349^\circ \approx 18.4^\circ\)。

- 求得 BD = 13 (1M)
- 求得 AD = 15.8 cm (1A)
- 識別所需夾角為角 ACB (1M)
- 求得角 ACB = 36.9 度 (1A)
- 識別所需夾角為角 DAC（或指出 CD 垂直於平面 ABC） (1M)
- 求得 AC = 15 cm (1M 或隱含)
- 求得角 DAC = 18.4 度 (1A)

(a) (i) 由於 \(2x - 1\) 是 \(G(x)\) 的因式，根據因式定理：
\(G(1/2) = 0\)
\(2(1/2)^2 + k(1/2) - 3 = 0\)
\(\frac{1}{2} + \frac{k}{2} - 3 = 0 \implies k = 5\)。

(ii) 由於 \(k = 5\)，\(G(x) = 2x^2 + 5x - 3 = (2x - 1)(x + 3)\)。
對於 \(F(x) = 2x^3 - 5x^2 - 4x + 3\)：
已知 \(2x - 1\) 是 \(F(x)\) 的因式，經多項式除法可得：
\(F(x) = (2x - 1)(x^2 - 2x - 3) = (2x - 1)(x + 1)(x - 3)\)。

比較 \(F(x)\) 與 \(G(x)\)：
\(F(x) = (2x - 1)(x + 1)(x - 3)\)
\(G(x) = (2x - 1)(x + 3)\)

最大公因式 (GCD) \(= 2x - 1\)
最小公倍式 (LCM) \(= (2x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3)\)。

(b) 對於方程 \(\frac{G(x)}{F(x)} = \frac{2}{x+1}\)：
方程的定義域要求 \(F(x) \neq 0\) 且 \(x + 1 \neq 0\)，即 \(x \neq 1/2\)、\(x \neq -1\) 及 \(x \neq 3\)。

代入 \(F(x)\) 及 \(G(x)\) 的因式分解形式：
\(\frac{(2x-1)(x+3)}{(2x-1)(x+1)(x-3)} = \frac{2}{x+1}\)

由於 \(x \neq 1/2\)，約去 \(2x - 1\) 可得：
\(\frac{x+3}{(x+1)(x-3)} = \frac{2}{x+1}\)

由於 \(x \neq -1\)，兩邊同乘以 \(x+1\) 可得：
\(\frac{x+3}{x-3} = 2\)
\(x + 3 = 2(x - 3)\)
\(x + 3 = 2x - 6 \implies x = 9\)。

因為 \(x = 9\) 滿足所有限制條件，故方程的解為 \(x = 9\)。

- (a)(i) 經設定 G(1/2) = 0 (1M)
- (a)(i) 求得 k = 5 (1A)
- (a)(ii) 因式分解 F(x) = (2x - 1)(x + 1)(x - 3) (1M)
- (a)(ii) 求得 最大公因式 = 2x - 1 (1A)
- (a)(ii) 求得 最小公倍式 = (2x - 1)(x + 1)(x - 3)(x + 3) (1A)
- (b) 簡化方程至 (x+3)/(x-3) = 2 (1M)
- (b) 解得 x = 9（隱含或顯式檢查定義域） (1A)