2022 DSE 物理 答案詳解與評分準則

(1) 是錯誤的，因為當磁鐵距離很遠或恰好位於銅環中心時，磁通量的變化率為零，感應電流為零，其加速度恰好等於 \(g\)。(2) 是正確的，因為磁鐵進入時受排斥力（銅環受向下的力），離開時受吸引力（銅環受向下的力）。(3) 是正確的，因為裂口阻止了感應電流形成閉合迴路，因此沒有磁場力作用，加速度恆為 \(g\)。

答對 C 得 1 分。

起初，邊 \(RS\) 的順時針電流 \(I\) 向左流動。由於 \(\vec{B}\) 指向紙內，對 \(RS\) 的磁場力向下：\(F_1 = IaB\)（向下）。垂直邊受力互相抵消，且上邊位於磁場外。彈簧秤示數為 \(T_1 = mg + IaB\)。當電流反向（逆時針）時，\(RS\) 中的電流向右流動。對 \(RS\) 的磁場力向上：\(F_2 = IaB\)（向上）。彈簧秤示數變為 \(T_2 = mg - IaB\)。彈簧秤示數的變化量為 \(T_1 - T_2 = 2IaB\)。

答對 B 得 1 分。

對於理想變壓器，\(V_{out, max} = \frac{N_2}{N_1} V_0\)。當 \(N_1\) 雙倍時，\(V_{out, max}\) 減半（因為 \(V_0\) 和 \(N_2\) 不變）。根據法拉第定律，\(V_1(t) = N_1 \frac{d\Phi}{dt} \implies V_0 \sin(\omega t) = N_1 \frac{d\Phi}{dt}\)，積分得 \(\Phi(t) = -\frac{V_0}{N_1 \omega} \cos(\omega t)\)。因此，最大磁通量 \(\Phi_{max} = \frac{V_0}{N_1 \omega}\)。將 \(N_1\) 和 \(\omega\) 同時雙倍後，\(\Phi_{max}' = \frac{V_0}{(2N_1)(2\omega)} = \frac{1}{4} \Phi_{max}\)。

答對 B 得 1 分。

設每個燈泡的電阻為 \(R\)。當開關 \(S\) 閉合時，\(Y\) 與 \(Z\) 的並聯電阻為 \(0.5R\)。總電阻為 \(1.5R\)。\(X\) 兩端的電壓為 \(\frac{2}{3}V\)，\(Z\) 兩端的電壓為 \(\frac{1}{3}V\)。當 \(S\) 斷開時，燈泡 \(Y\) 被斷開。電路變為 \(X\) 和 \(Z\) 的簡單串聯，此時總電阻為 \(2R\)。\(X\) 和 \(Z\) 兩端的電壓均變為 \(0.5V\)。因此，\(X\) 兩端的電壓從 \(0.67V\) 降至 \(0.5V\)（亮度減少），而 \(Z\) 兩端的電壓從 \(0.33V\) 升至 \(0.5V\)（亮度增加）。

答對 B 得 1 分。

路端電壓 \(V = \mathcal{E} \frac{R}{R+r}\)。由第一種情況：\(8 = \mathcal{E} \frac{4}{4+r} \implies \mathcal{E} = 8 + 2r\)（方程 1）。由第二種情況：\(10 = \mathcal{E} \frac{10}{10+r} \implies \mathcal{E} = 10 + r\)（方程 2）。聯立 (1) 和 (2)：\(8 + 2r = 10 + r \implies r = 2\ \Omega\)。將 \(r = 2\ \Omega\) 代回得 \(\mathcal{E} = 12\text{ V}\)。

答對 A 得 1 分。

由於容器絕熱且剛性，\(Q=0\) 且 \(W=0\)，因此總內能 \(U\) 守恆：\(U_i = U_f\)。對於單原子理想氣體，\(U = \frac{3}{2} n R T\)。初始內能 \(U_i = \frac{3}{2} (1) R T_0 + \frac{3}{2} (2) R (2T_0) = \frac{15}{2} R T_0\)。最終內能 \(U_f = \frac{3}{2} (1+2) R T_f = \frac{9}{2} R T_f\)。令 \(U_i = U_f\) 得 \(\frac{15}{2} R T_0 = \frac{9}{2} R T_f \implies T_f = \frac{5}{3} T_0 \approx 1.67 T_0\)。

答對 C 得 1 分。

絕對溫度為 \(T_1 = 27 + 273 = 300\text{ K}\) 且 \(T_2 = 327 + 273 = 600\text{ K}\)，即 \(T_2 / T_1 = 2\)。由於體積固定，壓強 \(P \propto T\)，因此 \(P\) 雙倍。方均根速率 \(v_{rms} \propto \sqrt{T}\)，因此 \(v_{rms}\) 變為原來的 \(\sqrt{2}\) 倍。

答對 B 得 1 分。

\(\sin\theta_2\) 對 \(\sin\theta_1\) 的斜率為 \(\frac{n_X}{n_Y} = 0.75 < 1\)，即 \(n_X < n_Y\)。由於 \(n_X < n_Y\)，光速 \(v = c/n\) 在 X 中比在 Y 中快，故 (1) 正確。當光從折射率較大的介質傳播到折射率較小的介質時會發生全內反射，因此從 Y 到 X 是正確的，故 (2) 正確。臨界角 \(\theta_c\) 由 \(\sin\theta_c = \frac{n_X}{n_Y} = 0.75 \implies \theta_c \approx 48.6^\circ\) 給出，故 (3) 正確。

答對 D 得 1 分。

條紋寬度由 \(w = \frac{\lambda D}{a}\) 給出。我們有 \(w_1 = \frac{\lambda_1 D}{a}\) 且 \(w_2 = \frac{\lambda_2 D}{a/2} = \frac{2 \lambda_2 D}{a}\)。因為 \(w_2 = 3 w_1\)，故得 \(\frac{2 \lambda_2 D}{a} = 3 \frac{\lambda_1 D}{a} \implies \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = 1.5\)。

答對 B 得 1 分。

透鏡公式為 \(\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}\)。因為 \(m = v/u \implies v = m u\)。代入透鏡公式得 \(\frac{1}{u} + \frac{1}{mu} = \frac{1}{f}\)。乘以 \(u\) 得到 \(1 + \frac{1}{m} = \frac{u}{f} \implies \frac{1}{m} = \frac{1}{f}u - 1\)。這是一條直線方程，其斜率為 \(1/f\)，橫軸截距（當 \(1/m = 0\) 時）為 \(u = f\)。

答對 A 得 1 分。

當線圈進入磁場時，前導邊會產生感應電動勢：
\(\mathcal{E} = B a v = 0.5 \times 0.1 \times 2 = 0.1\text{ V}\)。
線圈中的感應電流為：
\(I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{0.1}{0.2} = 0.5\text{ A}\)。
作用在前導邊上（阻礙運動）的磁力為：
\(F_B = B I a = 0.5 \times 0.5 \times 0.1 = 0.025\text{ N}\)。
若要保持恆定速度，外部拉力必須與此磁力平衡，因此 \(F_{\text{ext}} = 0.025\text{ N}\)。

選擇正確答案 B 得 1 分。其餘選項不得分。

旋轉導體中的感應電動勢可以使用其平均速度來計算。固定端的旋轉速度為 0，自由端的旋轉速度為 \(v_{\text{max}} = \omega L\)。因此銅棒的平均速度為：
\(v_{\text{avg}} = \frac{0 + \omega L}{2} = \frac{1}{2} \omega L\)。
利用感應電動勢公式：
\(\mathcal{E} = B L v_{\text{avg}} = \frac{1}{2} B \omega L^2 = \frac{1}{2} \times 0.2 \times 10 \times (0.5)^2 = 0.25\text{ V}\)。

選擇正確答案 B 得 1 分。其餘選項不得分。

根據楞次定律，銅環中的感應電流總是阻礙產生它的磁通量變化。
1. 當磁鐵向銅環下落時，磁通量增加，銅環中的感應電流產生一個排斥磁鐵的磁場，從而產生向上的磁力。因此，向下的加速度 \(a_1 < g\)。
2. 當磁鐵穿過銅環向下遠離時，磁通量減少，感應電流產生一個吸引磁鐵的磁場，試圖阻止其離開，這同樣產生向上的磁力。因此，向下的加速度 \(a_2 < g\)。
因此，兩個加速度均小於 \(g\)。

選擇正確答案 A 得 1 分。其餘選項不得分。

1. 端電壓：\(V = E - I r\)。由於 \(I = \frac{E}{R+r}\)，當 \(R\) 增大時，電流 \(I\) 減小，從而使 \(V\) 增加。
2. 可變電阻器消耗的電功率：\(P = I^2 R = \frac{E^2 R}{(R+r)^2}\)。根據最大功率傳輸定理，當 \(R = r\) 時，\(P\) 達到最大值。因此，當 \(R\) 從極小的值開始增大（即經歷 \(R < r\) 到 \(R > r\) ），\(P\) 先增加後減少。

選擇正確答案 B 得 1 分。其餘選項不得分。

首先，計算並聯電阻 \(R_2\) 和 \(R_3\) 的等效電阻：
\(R_{23} = \frac{R_2 R_3}{R_2 + R_3} = \frac{6 \times 12}{6 + 12} = 4\ \Omega\)。
外接總電阻為：
\(R_{\text{ext}} = R_1 + R_{23} = 4 + 4 = 8\ \Omega\)。
因為 \(R_1\) 與該並聯組合串聯，流經 \(R_1\) 的電流即為電路中的總電流 \(I\)。
根據功率公式 \(P_1 = I^2 R_1\)：
\(16 = I^2 \times 4 \implies I = 2\text{ A}\)。
電路總電阻（包括內阻）為：
\(R_{\text{total}} = R_{\text{ext}} + r = 8 + 2 = 10\ \Omega\)。
因此，電池的電動勢為：
\(E = I R_{\text{total}} = 2 \times 10 = 20\text{ V}\)。

選擇正確答案 C 得 1 分。其餘選項不得分。

根據理想氣體狀態方程 \(pV = nRT\)：
初始狀態：\(p_1 = 1.0 \times 10^5\text{ Pa}\)，\(T_1 = 27 + 273 = 300\text{ K}\)，摩爾數為 \(n_1\)。
最終狀態：最終壓強為 \(p_2\)，\(T_2 = 327 + 273 = 600\text{ K}\)，且 \(n_2 = 0.5 n_1\)。
由於體積 \(V\) 保持不變：
\(\frac{p_2 V}{p_1 V} = \frac{n_2 R T_2}{n_1 R T_1} \implies \frac{p_2}{p_1} = \frac{n_2}{n_1} \times \frac{T_2}{T_1}\)。
代入數值：
\(\frac{p_2}{1.0 \times 10^5} = 0.5 \times \frac{600}{300} = 1\)。
因此，\(p_2 = 1.0 \times 10^5\text{ Pa}\)。

選擇正確答案 B 得 1 分。其餘選項不得分。

根據氣體動理論，分子方均根（r.m.s.）速率公式為：
\(v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}\)。
在相同溫度 \(T\) 下，方均根速率與摩爾質量 \(M\) 的平方根成反比：
\(v_{\text{rms}} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}\)。
因此速率之比為：
\(\frac{v_{\text{rms, Y}}}{v_{\text{rms, X}}} = \sqrt{\frac{M_X}{M_Y}}\)。
已知 \(M_X = 4 M_Y\)：
\(\frac{v_{\text{rms, Y}}}{v_{\text{rms, X}}} = \sqrt{\frac{4}{1}} = 2\)。
因此，比例為 \(2 : 1\)。

選擇正確答案 C 得 1 分。其餘選項不得分。

若要防止光線溢出，所有到達圓盤以外液面的光線都必須發生全反射。臨界角 \(\theta_c\) 滿足：
\(\sin\theta_c = \frac{1}{n} = \frac{1}{1.25} = 0.8\)。
這是一個 3-4-5 的直角三角形，其中：
\(\cos\theta_c = \sqrt{1 - 0.8^2} = 0.6\)，
\(\tan\theta_c = \frac{\sin\theta_c}{\cos\theta_c} = \frac{0.8}{0.6} = \frac{4}{3}\)。
根據幾何關係，圓盤半徑 \(r\) 與液體深度 \(H\) 的關係為：
\(r = H \tan\theta_c = 1.2 \times \frac{4}{3} = 1.6\text{ m}\)。

選擇正確答案 C 得 1 分。其餘選項不得分。

設第一個位置時的物距為 \(u\)，像距為 \(v\)。
兩者之和即為物體與光屏之間的距離：
\(u + v = L = 90\text{ cm}\)。
根據透鏡公式的對稱性，透鏡的第二個位置只是將物距與像距對調。因此兩個位置之間的距離為：
\(|v - u| = d = 30\text{ cm}\)。
假設 \(v > u\)，我們可以解以下聯立方程：
\(v + u = 90\)
\(v - u = 30\)
兩式相加得 \(2v = 120 \implies v = 60\text{ cm}\)。
兩式相減得 \(2u = 60 \implies u = 30\text{ cm}\)。
利用薄透鏡公式：
\(\frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}\)。
因此，\(f = 20\text{ cm}\)。

選擇正確答案 B 得 1 分。其餘選項不得分。

雙縫干涉的條紋間距 \(w\) 公式為：
\(w = \frac{\lambda D}{d}\)。
設新的光波長為 \(\lambda'\)，新的雙縫間距為 \(d' = \frac{d}{2}\)，新的屏距為 \(D' = 2D\)。
新的條紋間距為：
\(w' = \frac{\lambda' D'}{d'} = \frac{\lambda' (2D)}{\frac{d}{2}} = 4 \frac{\lambda' D}{d}\)。
若要使條紋間距保持不變（\(w' = w\)）：
\(4 \frac{\lambda' D}{d} = \frac{\lambda D}{d} \implies \lambda' = \frac{\lambda}{4}\)。

選擇正確答案 A 得 1 分。其餘選項不得分。

由於此過程進行得非常緩慢且氣缸浸在冰水混合物中，因此氣體的溫度保持在 0 攝氏度不變（等溫過程）。對於理想氣體，內能僅取決於其溫度。由於溫度不變，氣體分子的平均動能和氣體的內能均保持不變。因此，(1) 錯誤，而 (3) 正確。根據波意耳定律（\(pV = \text{常數}\)），當體積減半時，氣體的壓強會翻倍。由於分子的平均速率不變（因溫度恆定），壓強的增加是由於分子數密度增加，進而增加了與氣缸壁碰撞的頻率。因此，(2) 正確。所以，只有 (2) 和 (3) 正確。

正確答案：C (1 分)。無部分分數。

設每個燈泡的電阻為 \(R\)，電源電壓為 \(V\)。當 \(S\) 閉合時，\(Y\) 和 \(Z\) 的並聯等效電阻為 \(R/2\)。總電阻為 \(R + R/2 = 1.5R\)。流經燈泡 X 的電流為 \(I_X = \frac{V}{1.5R} = \frac{2V}{3R}\)，因此燈泡 X 兩端的電勢差為 \(V_X = I_X \times R = \frac{2V}{3}\)。燈泡 Y 兩端的電勢差為 \(V_Y = V - V_X = \frac{V}{3}\)。當 \(S\) 斷開時，燈泡 Z 被斷開。此時電路僅有燈泡 X 和燈泡 Y 串聯，總電阻為 \(2R\)。電流變為 \(I' = \frac{V}{2R}\)。燈泡 X 兩端的電勢差變為 \(V_X' = \frac{V}{2}\)。由於 \(\frac{V}{2} < \frac{2V}{3}\)，燈泡 X 變暗。燈泡 Y 兩端的電勢差變為 \(V_Y' = \frac{V}{2}\)。由於 \(\frac{V}{2} > \frac{V}{3}\)，燈泡 Y 變亮。因此，X 變暗，Y 變亮。

正確答案：A (1 分)。無部分分數。

（1）進入時：線圈進入磁場時，指向紙面內的磁通量增加。根據楞次定律，感應電流產生的磁場必須指向紙面外以抵抗此增加。根據右手螺旋定則，感應電流為逆時針方向。（2）完全在內：當線圈完全置於均勻磁場中時，穿過線圈的磁通量保持不變。此時不產生感應電動勢，感應電流為零。（3）離開時：線圈離開磁場時，指向紙面內的磁通量減少。根據楞次定律，感應電流產生的磁場必須指向紙面內以抵抗此減少，因此感應電流為順時針方向。因此，順序為：逆時針、零、順時針。

正確答案：A (1 分)。無部分分數。

玻璃棱鏡的臨界角 \(\theta_c\) 由以下公式給出：\(\sin\theta_c = \frac{1}{n} = \frac{1}{1.5} \approx 0.667\)，即 \(\theta_c \approx 41.8^\circ\)。當光線垂直入射至其中一個直角邊時，光線不會偏折，直接進入棱鏡。在斜邊上，法線與入射光線夾角為 \(45^\circ\)，即在斜邊上的入射角為 \(45^\circ\)。由於 \(45^\circ > 41.8^\circ\)，在斜邊上會發生全內反射。反射角亦為 \(45^\circ\)。反射光線向下傳播，垂直射向另一個直角邊，並垂直穿出，不發生偏折。最終出射光線與原入射光線垂直，即偏折了 \(90^\circ\)。因此，總偏向角為 \(90^\circ\)。

正確答案：C (1 分)。無部分分數。

作用在電荷上的淨力由洛倫茲力公式給出：\(\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})\)。電場力為 \(\vec{F}_E = q\vec{E} = qE \hat{i}\)（沿 +x 方向）。磁場力為 \(\vec{F}_B = q(\vec{v} \times \vec{B}) = q(v \hat{k} \times B \hat{j}) = -qvB \hat{i}\)（沿 -x 方向）。因此，淨力為 \(\vec{F} = (qE - qvB)\hat{i}\)。取決於 E、v 和 B 的大小，該力可以指向 +x 或 -x 方向，甚至可以為零。在所有情況下，淨力必定沿 x 軸。因此選項 C 正確。

正確答案：C (1 分)。無部分分數。

氣體分子的方均根速率由 \(v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}\) 給出，其中 \(T\) 為絕對溫度，\(M\) 為氣體的摩爾質量。對於容器 A 中的氦氣，\(v_{\text{rms}, A} = \sqrt{\frac{3R \times 300}{4}}\)。對於容器 B 中的氧氣，\(v_{\text{rms}, B} = \sqrt{\frac{3R \times 600}{32}}\)。兩者之比為：\(\frac{v_{\text{rms}, A}}{v_{\text{rms}, B}} = \sqrt{\frac{300 / 4}{600 / 32}} = \sqrt{\frac{75}{18.75}} = \sqrt{4} = 2\)。因此，比例為 2 : 1。

正確答案：C (1 分)。無部分分數。

電路能安全承受的最大功率為：\(P_{\text{max}} = V \times I_{\text{fuse}} = 220\text{ V} \times 13\text{ A} = 2860\text{ W}\)。由於冷氣機已經消耗了 2200 W，剩餘可允許的功率為：\(P_{\text{remaining}} = 2860\text{ W} - 2200\text{ W} = 660\text{ W}\)。我們評估各選項：（1）總功率 = \(350\text{ W} + 100\text{ W} = 450\text{ W} < 660\text{ W}\)（可以開啟）。（2）總功率 = \(800\text{ W} > 660\text{ W}\)（不可開啟）。（3）總功率 = \(150\text{ W} + 500\text{ W} = 650\text{ W} < 660\text{ W}\)（可以開啟）。因此，只有 (1) 和 (3) 可以同時開啟。

正確答案：C (1 分)。無部分分數。

條紋寬度 \(w\) 由公式 \(w = \frac{\lambda D}{d}\) 給出。對於紅光激光：\(w = \frac{650 \times 10^{-9} \times D}{d}\)。對於綠光激光：\(w' = \frac{520 \times 10^{-9} \times 1.5D}{d}\)。求 \(w'\) 與 \(w\) 的比值：\(\frac{w'}{w} = \frac{520 \times 1.5}{650} = \frac{780}{650} = 1.2\)。因此，新的條紋寬度為 \(1.2w\)。

正確答案：C (1 分)。無部分分數。

（1）隨著銅環下落，穿過銅環包圍面積的磁通量發生變化。根據法拉第電磁感應定律，銅環中會產生感應電動勢，該電動勢出現在裂縫兩端。因此，(1) 正確。（2）由於銅環有裂縫，電路處於開路狀態，因此沒有感應電流流過銅環。因此，(2) 錯誤。（3）由於沒有感應電流，銅環不會產生感應磁場，因此沒有磁場力阻礙其運動。作用在銅環上的唯一力是重力，因此其加速度始終等於重力加速度 g。因此，(3) 正確。所以，只有 (1) 和 (3) 正確。

正確答案：C (1 分)。無部分分數。

根據分壓器公式，當光敏電阻處於黑暗中時：\(V_{\text{out}} = V_{\text{supply}} \times \frac{R_{\text{LDR}}}{R + R_{\text{LDR}}}\)，代入數據得 \(8 = 12 \times \frac{80}{R + 80}\)。解此方程：\(8(R + 80) = 960 \implies 8R + 640 = 960 \implies 8R = 320 \implies R = 40\text{ k}\Omega\)。在強光下，光敏電阻的電阻變為 10 k\(\Omega\)。新的輸出電壓為：\(V_{\text{out}}' = 12 \times \frac{10}{R + 10} = 12 \times \frac{10}{40 + 10} = 12 \times \frac{10}{50} = 2.4\text{ V}\)。因此，強光下的輸出電壓為 2.4 V。

正確答案：D (1 分)。無部分分數。

氣體分子的平均平移動能與絕對溫度成正比，即 \(E_k = \frac{3}{2} k_B T \propto T\)。因此，最終與最初平均動能之比為 \(\frac{1.5T}{T} = 1.5\)。

分子的均方根速率與絕對溫度的平方根成正比，即 \(v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \propto \sqrt{T}\)。因此，最終與最初均方根速率之比為 \(\sqrt{1.5} \approx 1.22\)。

因此，正確答案是 B。

答對（B）得 1 分。選其他選項不給分。

設每個燈泡的電阻為 \(R\)，電源的電動勢為 \(V\)。

當開關 \(S\) 閉合時，並聯部分（燈泡 \(Y\) 和 \(Z\)）的等效電阻為 \(R_{YZ} = R/2\)。
電路的總電阻為 \(R_{\text{total}} = R_X + R_{YZ} = R + R/2 = 1.5R\)。
總電流為 \(I = \frac{V}{1.5R} = \frac{2V}{3R\)。
流經燈泡 \(X\) 的電流為 \(I_X = \frac{2V}{3R}\)。
流經燈泡 \(Y\) 的電流為 \(I_Y = \frac{1}{2} I = \frac{V}{3R}\)。

當開關 \(S\) 斷開時，燈泡 \(Z\) 被斷開。
電路的總電阻變為 \(R_{\text{total}}' = R_X + R_Y = 2R\)。
新的總電流為 \(I' = \frac{V}{2R}\)。
流經燈泡 \(X\) 的電流變為 \(I_X' = \frac{V}{2R}\)。由於 \(I_X' < I_X\)，燈泡 \(X\) 變暗。
流經燈泡 \(Y\) 的電流變為 \(I_Y' = \frac{V}{2R}\)。由於 \(I_Y' > I_Y\)，燈泡 \(Y\) 變亮。

因此，正確答案是 C。

答對（C）得 1 分。選其他選項不給分。

根據右手定則，外圓環中的順時針電流在其中心產生指向紙內的磁場。

當外圓環中的電流 \(I\) 減少時，穿過內圓環指向紙內的磁通量減少。

根據楞次定律，內圓環中的感應電流必須阻礙這一變化，從而產生指向紙內的磁場。

根據右手定則，這需要內圓環中產生順時針方向的感應電流。

因此，中心處的磁場指向紙內，感應電流為順時針方向。選項 A 正確。

答對（A）得 1 分。選其他選項不給分。

(a) 根據查理定律，等壓下：\(\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}\)。已知 \(V_2 = 2 V_1\)，可得 \(T_2 = T_1 \times \frac{V_2}{V_1} = 300 \times 2 = 600 \text{ K}\)。

(b) 根據壓強定律，等體積下：\(\frac{P_2}{T_2} = \frac{P_3}{T_3}\)。因此，\(T_3 = T_2 \times \frac{P_3}{P_2} = 600 \times \frac{0.8 \times 10^5}{1.0 \times 10^5} = 480 \text{ K}\)。

(c) 由於理想氣體的內能僅取決於其溫度，而最終溫度（\(480 \text{ K}\)）大於初始溫度（\(300 \text{ K}\)），因此氣體的內能整體上是增加的。

(a)
- 應用查理定律：1M
- 正確代入數值：1M
- 最終溫度 \(T_2 = 600 \text{ K}\)：1A

(b)
- 應用壓強定律：1M
- 正確代入壓強數值：1M
- 最終溫度 \(T_3 = 480 \text{ K}\)：1A

(c)
- 指出內能增加：1.2A
- 基於溫度上升（\(480 \text{ K} > 300 \text{ K}\)）的物理解釋：1.2M

(a) 臨界角 \(c\) 由 \(\sin c = \frac{1}{n} = \frac{1}{1.50}\) 給出。因此，\(c = \sin^{-1}\left(\frac{1}{1.50}\right) \approx 41.8^\circ\)。

(b) 光線垂直射入較短直角邊，因此不發生偏折直接穿過。光線以 \(60^\circ\) 的入射角射向斜邊界面。由於入射角 (\(60^\circ\)) 大於臨界角 (\(41.8^\circ\))，因此發生全內反射（TIR）。反射光線以 \(30^\circ\) 的入射角射向另一個較短直角邊。由於 \(30^\circ < 41.8^\circ\)，光線折射進入空氣。利用斯涅爾定律：\(n \sin 30^\circ = 1.0 \sin \theta \Rightarrow 1.50 \times 0.5 = \sin \theta \Rightarrow \sin \theta = 0.75 \Rightarrow \theta = 48.6^\circ\)。光線在斜邊處經歷全反射（偏向 \(180^\circ - 2 \times 60^\circ = 60^\circ\)），並在出射面處發生折射（偏向 \(48.6^\circ - 30^\circ = 18.6^\circ\)）。因此，總偏向角為 \(60^\circ + 18.6^\circ = 78.6^\circ\)。

(a)
- 應用臨界角公式：1.2M
- 正確臨界角值 \(c = 41.8^\circ\)：1.2A

(b)
- 識別斜邊處的全內反射（需解釋 \(60^\circ > 41.8^\circ\)）：1.5M
- 在出射界面正確應用斯涅爾定律：1.5M
- 求得折射角 \(\theta = 48.6^\circ\)：1.5A
- 計算總偏向角為 \(78.6^\circ\)：1.5A

(a) 感應電動勢 \(\mathcal{E}\) 由下式給出：\(\mathcal{E} = B L v = 0.80 \times 0.20 \times 4.0 = 0.64 \text{ V}\)。

(b) 首先求出感應電流：\(I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{0.64}{0.50} = 1.28 \text{ A}\)。在邊框導線上產生的磁力為：\(F_B = B I L = 0.80 \times 1.28 \times 0.20 = 0.2048 \text{ N}\)。由於線框以恆速運動，外力必須與該磁力平衡：\(F_{ext} = F_B \approx 0.205 \text{ N}\)。

(c) 當線框被拉出時，穿過線圈的向內磁通量減少。根據楞次定律，感應電流產生的磁場必須是向內的，以抵抗磁通量的減少。根據右手定則，這對應於順時針方向的感應電流。

(a)
- 應用 \(\mathcal{E} = B L v\) 關係式：1.5M
- 計算正確數值及單位：1.5A

(b)
- 計算電流 \(I = 1.28 \text{ A}\)：1M
- 計算磁力 \(F_B = B I L\)：1M
- 指出 \(F_{ext} = F_B = 0.205 \text{ N}\)：1A

(b)
- 答出「順時針」：1A
- 提及向內磁通量減少：0.7M
- 提及抵抗此變化的楞次定律：0.7M

(a) 兩導線到點 \(P\) 的距離均為 \(r = \frac{0.15}{2} = 0.075 \text{ m}\)。根據右手螺旋定則，導線 \(X\)（向上電流）在點 \(P\) 產生垂直穿入紙面的磁場；導線 \(Y\)（向下電流）在點 \(P\) 同樣產生垂直穿入紙面的磁場。
使用公式 \(B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}\)：
\(B_X = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 6.0}{2 \pi \times 0.075} = 1.60 \times 10^{-5} \text{ T}\)（穿入紙面）。
\(B_Y = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 4.0}{2 \pi \times 0.075} = 1.07 \times 10^{-5} \text{ T}\)（穿入紙面）。
由於兩個磁場方向相同，總磁場為 \(B_{total} = B_X + B_Y = 2.67 \times 10^{-5} \text{ T}\)，方向垂直穿入紙面。

(b) 每單位長度的磁力為：\(\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_X I_Y}{2 \pi d} = \frac{4\pi \times 10^{-7} \times 6.0 \times 4.0}{2 \pi \times 0.15} = 3.20 \times 10^{-5} \text{ N m}^{-1}\)。由於兩導體電流方向相反，故該力是排斥力。

(a)
- 確定兩個磁場的方向（皆穿入紙面）：1M
- 應用 \(B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}\) 計算個別磁場：1.5M
- 相加求得總磁場 \(B_{total} = 2.67 \times 10^{-5} \text{ T}\)：1A
- 指出正確方向（穿入紙面）：0.5A

(b)
- 應用公式 \(\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}\)：2M
- 計算力的大小為 \(3.20 \times 10^{-5} \text{ N m}^{-1}\)：1.4A
- 正確指出為「排斥力」：1A

(a) 並聯部分的等效電阻為：\(R_p = \frac{R_2 \times R_3}{R_2 + R_3} = \frac{6.00 \times 3.00}{6.00 + 3.00} = 2.00 \Omega\)。
外電路的總電阻為：\(R_{ext} = R_1 + R_p = 4.50 + 2.00 = 6.50 \Omega\)。

(b) 整個電路的總電阻為：\(R_{total} = R_{ext} + r = 6.50 + 1.50 = 8.00 \Omega\)。
電池流出的總電流為：\(I = \frac{\mathcal{E}}{R_{total}} = \frac{12.0}{8.00} = 1.50 \text{ A}\)。
路端電壓為：\(V_{terminal} = \mathcal{E} - I r = 12.0 - (1.50 \times 1.50) = 9.75 \text{ V}\)。

(c) 並聯支路兩端的電壓為：\(V_p = I R_p = 1.50 \times 2.00 = 3.00 \text{ V}\)。
電阻器 \(R_3\) 的功率損耗為：\(P_3 = \frac{V_p^2}{R_3} = \frac{3.00^2}{3.00} = 3.00 \text{ W}\)。

(a)
- 正確並聯公式：1M
- 求得 \(R_{ext} = 6.50 \Omega\)：1A

(b)
- 求得總電阻 \(8.00 \Omega\) 及電流 \(1.50 \text{ A}\)：1.4M
- 應用路端電壓公式 \(V = \mathcal{E} - I r\)：1M
- 計算得出 \(9.75 \text{ V}\)：1A

(c)
- 找出 \(R_3\) 兩端的電壓（\(3.00 \text{ V}\)）：1M
- 應用 \(P = \frac{V^2}{R}\) 或等效功率公式：1M
- 求得電功率為 \(3.00 \text{ W}\)：1A

(a) 以向右方向為正方向：
利用動量守恆定律：\(m_A u_A + m_B u_B = m_A v_A + m_B v_B\)。
\(0.40 \times 3.0 + 0 = 0.40 v_A + 0.20 \times 4.0\)
\(1.2 = 0.40 v_A + 0.80 \Rightarrow 0.40 v_A = 0.40 \Rightarrow v_A = 1.0 \text{ m s}^{-1}\)（向右）。

(b) 計算碰撞前後的總動能：
初始動能 \(K_i = \frac{1}{2} m_A u_A^2 = \frac{1}{2} \times 0.40 \times 3.0^2 = 1.80 \text{ J}\)。
末動能 \(K_f = \frac{1}{2} m_A v_A^2 + \frac{1}{2} m_B v_B^2 = \frac{1}{2} \times 0.40 \times 1.0^2 + \frac{1}{2} \times 0.20 \times 4.0^2 = 0.20 + 1.60 = 1.80 \text{ J}\)。
由於 \(K_i = K_f\)，動能守恆，因此碰撞是彈性的。

(c) 由於氣軌是無摩擦的，水平方向上沒有外力作用於兩個滑塊組成的系統。根據牛頓第二定律，由於 \(F_{ext} = 0\)，動量變化率為零，因此總動量保持不變。

(a)
- 應用動量守恆定律方程：1M
- 正確代入數值：1M
- 求得 \(1.0 \text{ m s}^{-1}\) 及向右方向：1A

(b)
- 計算初動能：1M
- 計算末動能並顯示 \(K_i = K_f\)：1M
- 得出碰撞為「彈性碰撞」的結論：1A

(c)
- 指出系統所受合外力為零：1.2M
- 將合外力為零與動量守恆相聯繫：1.2M

(a) 拉力作功為：\(W_{pull} = F \times s = 120 \times 8.00 = 960 \text{ J}\)。

(b) 垂直於斜面的法向力為：\(N = m g \cos 30^\circ = 15.0 \times 9.81 \times \cos 30^\circ \approx 127.44 \text{ N}\)。
動摩擦力為：\(f_k = \mu_k N = 0.20 \times 127.44 \approx 25.49 \text{ N}\)。
克服摩擦力所作的功為：\(W_{f} = f_k \times s = 25.49 \times 8.00 \approx 203.9 \text{ J} \approx 204 \text{ J}\)。

(c) 重力勢能的變化量為：\(\Delta U_g = m g h = m g s \sin 30^\circ = 15.0 \times 9.81 \times 8.00 \times \sin 30^\circ = 588.6 \text{ J}\)。
根據動能定理：
\(W_{net} = \Delta K \Rightarrow W_{pull} - W_{f} - \Delta U_g = \frac{1}{2} m v^2\)
\(960 - 203.9 - 588.6 = \frac{1}{2} \times 15.0 \times v^2\)
\(167.5 = 7.50 v^2 \Rightarrow v^2 \approx 22.33 \Rightarrow v \approx 4.73 \text{ m s}^{-1}\)。

(a)
- 計算拉力功 (\(W = F s\))：1M
- 獲得 \(960 \text{ J}\)：1A

(b)
- 計算垂直於斜面的支持力 \(N = m g \cos 30^\circ\)：1M
- 計算動摩擦力 \(f_k = \mu_k N\)：1M
- 計算克服摩擦力所作的功 \(204 \text{ J}\)：1.4A

(c)
- 計算重力勢能的增加 \(588.6 \text{ J}\)：1M
- 應用能量守恆定律或動能定理：1M
- 求得最終速度 \(4.73 \text{ m s}^{-1}\)：1A

(a) 軌道半徑為：\(r = R + h = 3.40 \times 10^6 + 4.00 \times 10^6 = 7.40 \times 10^6 \text{ m}\)。
萬有引力提供向心力：
\(\frac{G M m}{r^2} = \frac{m v^2}{r} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{G M}{r}}\)
\(v = \sqrt{\frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.42 \times 10^{23}}{7.40 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{4.282 \times 10^{13}}{7.40 \times 10^6}} \approx 2405.5 \text{ m s}^{-1} \approx 2.41 \times 10^3 \text{ m s}^{-1}\)。

(b) 週期 \(T\) 由下式給出：\(T = \frac{2 \pi r}{v}\)。
\(T = \frac{2 \pi \times 7.40 \times 10^6}{2405.5} \approx 1.933 \times 10^4 \text{ s}\)。
轉換為小時：
\(T_{hours} = \frac{1.933 \times 10^4}{3600} \approx 5.37 \text{ 小時}\)。

(a)
- 計算出軌道半徑 \(r = 7.40 \times 10^6 \text{ m}\)：1M
- 將萬有引力等同於向心力：1M
- 獲得正確的速率公式 \(v\)：1M
- 獲得速率 \(2.41 \times 10^3 \text{ m s}^{-1}\)：1A

(b)
- 應用關係式 \(T = \frac{2\pi r}{v}\)：2M
- 計算以秒為單位的週期：1M
- 正確轉換為小時（\(5.37 \text{ 小時}\)）：1.4A

(a) 加熱器提供的總能量為：\(E = P \times t = 150 \times (4.00 \times 60) = 36000 \text{ J}\)。
溫度上升為：\(\Delta T = 58.0 - 22.0 = 36.0 \text{ K}\)。
假設無熱量流失：\(E = m_l c_l \Delta T \Rightarrow 36000 = 0.45 \times c_l \times 36.0\)。
\(c_l = \frac{36000}{16.2} \approx 2220 \text{ J kg}^{-1} \text{ K}^{-1}\)。

(b) 鋁容器吸收的熱量為：\(Q_{container} = m_{al} c_{al} \Delta T = 0.12 \times 900 \times 36.0 = 3888 \text{ J}\)。
液體吸收的實際熱量為：\(Q_{liquid} = E - Q_{container} = 36000 - 3888 = 32112 \text{ J}\)。
因此，修正後的比熱容為：
\(Q_{liquid} = m_l c_{corr} \Delta T \Rightarrow 32112 = 0.45 \times c_{corr} \times 36.0\)。
\(c_{corr} = \frac{32112}{16.2} \approx 1980 \text{ J kg}^{-1} \text{ K}^{-1}\)。

(a)
- 計算提供的總熱能（\(36000 \text{ J}\)）：1.5M
- 應用 \(Q = m c \Delta T\)：1.5M
- 求得比熱容 \(2220 \text{ J kg}^{-1} \text{ K}^{-1}\)：1A

(b)
- 計算鋁容器吸收的熱量（\(3888 \text{ J}\)）：1.5M
- 計算液體吸收的修正熱量（\(32112 \text{ J}\)）：1.5M
- 計算修正後的比熱容 \(1980 \text{ J kg}^{-1} \text{ K}^{-1}\)：1.4A

(a) 熔化冰塊所需的熱量為：
\(Q_{melt} = m_{ice} L_f = 0.08 \times 3.34 \times 10^5 = 2.672 \times 10^4 \text{ J} \approx 2.67 \times 10^4 \text{ J}\)。

(b) 水降溫至 \(0.0^\circ\text{C}\) 所能釋放的最大熱量為：
\(Q_{max} = m_w c_w \Delta T = 0.30 \times 4200 \times (25.0 - 0) = 31500 \text{ J}\)。
由於 \(Q_{max} > Q_{melt}\)（即 \(31500 \text{ J} > 26720 \text{ J}\)），水釋放的熱量大於完全熔化冰所需的熱量。因此，所有冰塊都會熔化，最終溫度 \(T_f\) 將高於 \(0.0^\circ\text{C}\)。
根據能量守恆定律：
冰吸收的熱量（熔化 + 升溫）= 水釋放的熱量
\(Q_{melt} + m_{ice} c_w (T_f - 0) = m_w c_w (25.0 - T_f)\)
\(26720 + 0.08 \times 4200 \times T_f = 0.30 \times 4200 \times (25.0 - T_f)\)
\(26720 + 336 T_f = 1260 \times (25.0 - T_f) = 31500 - 1260 T_f\)
\((336 + 1260) T_f = 31500 - 26720\)
\(1596 T_f = 4780 \Rightarrow T_f \approx 2.99^\circ\text{C}\)。

(b)
- 使用 \(Q = m L\)：1.2M
- 正確答案連單位（\(2.67 \times 10^4 \text{ J}\)）：1.2A

(b)
- 計算冷卻水能釋放的最大能量（\(31500 \text{ J}\)）並證明冰塊全部熔化：1.5M
- 寫出能量守恆方程（\(Q_{melt} + m_i c_w T_f = m_w c_w (25 - T_f)\)）：1.5M
- 正確代入數值：1.5M
- 獲得最終平衡溫度 \(2.99^\circ\text{C}\)（接受 \(3.0^\circ\text{C}\)）：1.5A

恆星的壽命 \(\tau\) 正比於其質量 \(M\)（可用燃料）除以其光度 \(L\)（燃料消耗率）：\(\tau \propto \frac{M}{L}\)。已知 \(L \propto M^{3.5}\)，我們有 \(\tau \propto \frac{M}{M^{3.5}} = M^{-2.5}\)。因此，\(\frac{\tau_1}{\tau_2} = \left(\frac{M_2}{M_1}\right)^{2.5} = 3^{2.5} \approx 15.6\)。

選擇 C 得 1 分。必須正確將壽命關聯至 \(\tau \propto M / L\)。

首先求紅移 \(z\)：\(z = \frac{\Delta \lambda}{\lambda_0} = \frac{512.5 - 500.0}{500.0} = \frac{12.5}{500.0} = 0.025\)。退行速度 \(v = z c = 0.025 \times 3.0 \times 10^5\text{ km s}^{-1} = 7500\text{ km s}^{-1}\)。根據哈勃定律 \(v = H_0 d\)，距離 \(d = \frac{v}{H_0} = \frac{7500}{75} = 100\text{ Mpc}\)。

選擇 B 得 1 分。方法包括計算紅移、速度以及應用哈勃定律。

根據愛因斯坦光電方程，\(e V = \frac{hc}{\lambda} - \phi\)。因此，\(e V_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi\)（方程 1），以及 \(2.5 e V_0 = \frac{hc}{\lambda/2} - \phi = 2 \frac{hc}{\lambda} - \phi\)（方程 2）。由方程 1 可得 \(\frac{hc}{\lambda} = e V_0 + \phi\)。代入方程 2：\(2.5 e V_0 = 2(e V_0 + \phi) - \phi = 2 e V_0 + \phi \implies \phi = 0.5 e V_0\)。

選擇 B 得 1 分。

能級公式為 \(E_n = -\frac{E_0}{n^2}\)。對於 \(n=4 \to n=2\)，釋放能量為 \(E = E_4 - E_2 = -E_0 \left(\frac{1}{16} - \frac{1}{4}\right) = \frac{3}{16} E_0\)，即 \(E_0 = \frac{16}{3} E\)。對於 \(n=3 \to n=1\)，釋放能量為 \(E' = E_3 - E_1 = -E_0 \left(\frac{1}{9} - 1\right) = \frac{8}{9} E_0\)。因此，\(E' = \frac{8}{9} \times \frac{16}{3} E = \frac{128}{27} E \approx 4.74 E\)。

選擇 D 得 1 分。

(1) 是有效的，因為較低的遮陽係數可減少通過玻璃窗的太陽熱量增益，從而降低 OTTV。(2) 是有效的，因為較淺的顏色可減少不透光牆壁對太陽輻射的吸收，降低等效溫度差（\(TD_{eq}\)），從而降低 OTTV。(3) 是無效的，因為通常窗戶的熱傳送和太陽熱增益系數都高於不透光牆壁，因此增加窗戶面積會提高整體的 OTTV。

選擇 B 得 1 分。

風力提供的功率為 \(P_{wind} = \frac{1}{2} \rho A v^3\)，其中 \(A = \pi L^2\) 是掃掠面積。電功率輸出為 \(P = \eta P_{wind} \propto L^2 v^3\)。因此，新的電功率輸出為 \(P' \propto (2L)^2 \times (0.5v)^3 = 4 L^2 \times 0.125 v^3 = 0.5 P\)。

選擇 B 得 1 分。

為了能看清位於 \(u = 25\text{ cm} = 0.25\text{ m}\) 的物體，矯正透鏡必須在患者的近點形成虛像，即 \(v = -80\text{ cm} = -0.80\text{ m}\)。使用透鏡公式：\(P = \frac{1}{f} = \frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{0.25} + \frac{1}{-0.80} = 4 - 1.25 = +2.75\text{ D}\}。

選擇 B 得 1 分。注意正焦度代表凸透鏡（會聚透鏡）。

反射係數 \(\alpha\)（反射強度比例）由下式給出：\(\alpha = \frac{(Z_2 - Z_1)^2}{(Z_2 + Z_1)^2}\)。代入 \(Z_1 = 1.5 \times 10^6\text{ kg m}^{-2}\text{ s}^{-1}\) 及 \(Z_2 = 6.0 \times 10^6\text{ kg m}^{-2}\text{ s}^{-1}\)：\(\alpha = \frac{(6.0 - 1.5)^2}{(6.0 + 1.5)^2} = \left(\frac{4.5}{7.5}\right)^2 = (0.6)^2 = 0.36 = 36\%\)。

選擇 A 得 1 分。

行星表面的逃逸速度為 \(v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}\)。探測器在距離行星中心 \(r = R + h = 2R\) 處運行，其軌道速度為 \(v_{orb} = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{GM}{2R}}\)。因此，逃逸速度與軌道速度之比為 \(\frac{v_{esc}}{v_{orb}} = \frac{\sqrt{2GM/R}}{\sqrt{GM/2R}} = \sqrt{4} = 2.00\)。

選擇 B 得 1 分。

獲得的動能為 \(K = qV\)。動量為 \(p = \sqrt{2mK} = \sqrt{2mqV}\)。德布羅意波長為 \(\lambda = \frac{h}{p} = \frac{h}{\sqrt{2mqV}}\)。波長之比為 \(\frac{\lambda_e}{\lambda_{\alpha}} = \sqrt{\frac{m_{\alpha} q_{\alpha}}{m_e q_e}} = \sqrt{\frac{(4m)(2e)}{m \cdot e}} = \sqrt{8} \approx 2.83\)。

選擇 C 得 1 分。

根據斯特凡-波茲曼定律，恆星的光度由 \(L = 4\pi R^2 \sigma T^4\) 給出。將該恆星與太陽進行比較： \(\frac{L}{L_\odot} = \left(\frac{R}{R_\odot}\right)^2 \left(\frac{T}{T_\odot}\right)^4\)。已知 \(L/L_\odot = 81\) 且 \(T/T_\odot = 2\)，代入這些數值： \(81 = \left(\frac{R}{R_\odot}\right)^2 \times 2^4\)，簡化為 \(81 = 16 \left(\frac{R}{R_\odot}\right)^2\)。因此， \(\left(\frac{R}{R_\odot}\right)^2 = \frac{81}{16} = 5.0625\)，解得 \(\frac{R}{R_\odot} = \sqrt{5.0625} = 2.25\)。因此，正確選項為 B。

選出正確答案 B 得 1 分。選錯或不作答得 0 分。

利用非相對論速度下紅移與退行速度之間的關係： \(v = zc = 0.04 \times (3.0 \times 10^5\text{ km s}^{-1}) = 12000\text{ km s}^{-1}\)。根據哈勃定律，\(v = H_0 d\)，其中 \(d\) 為距離： \(12000\text{ km s}^{-1} = (70\text{ km s}^{-1}\text{ Mpc}^{-1}) \times d\)。由此可得 \(d = \frac{12000}{70}\text{ Mpc} \approx 171.4\text{ Mpc}\)。四捨五入至最接近的整數為 171 Mpc，對應選項 B。

選出正確答案 B 得 1 分。選錯或不作答得 0 分。

風力發電機可獲得的最大風能由 \(P_{\text{wind}} = \frac{1}{2} \rho A v^3\) 給出，其中 \(A = \pi L^2\) 是葉片掃過的面積。由此可得： \(P = \eta P_{\text{wind}} = \frac{1}{2} \eta \rho \pi L^2 v^3\)。因此，電功率與 \(L^2 v^3\) 成正比。當 \(L\) 增加至 \(1.2 L\) 且 \(v\) 增加至 \(1.5 v\) 時： \(P' \propto (1.2 L)^2 \times (1.5 v)^3 = 1.44 L^2 \times 3.375 v^3 = 4.86 \times (L^2 v^3)\)。因此，新的電功率為 \(4.86 P\)，對應選項 D。

選出正確答案 D 得 1 分。選錯或不作答得 0 分。

熱傳導率由 \(\frac{Q}{t} = \frac{k A \Delta T}{d}\) 給出。其中， \(k = 0.80\text{ W m}^{-1}\text{ K}^{-1}\)， \(A = 4.0\text{ m}^2\)， \(\Delta T = 35 - 23 = 12^\circ\text{C} = 12\text{ K}\)，及 \(d = 3\text{ mm} = 3 \times 10^{-3}\text{ m}\)。代入這些數值： \(\frac{Q}{t} = \frac{0.80 \times 4.0 \times 12}{3 \times 10^{-3}} = \frac{38.4}{3 \times 10^{-3}} = 12800\text{ W} = 12.8\text{ kW}\)。因此，正確選項為 B。

選出正確答案 B 得 1 分。選錯或不作答得 0 分。

穿過多層介質後的強度由以下公式給出： \(I = I_0 e^{-\mu_1 x_1 - \mu_2 x_2}\)。這裡，對於軟組織： \(\mu_1 = 0.30\text{ cm}^{-1}\)， \(x_1 = 3.0\text{ cm}\)，因此 \(\mu_1 x_1 = 0.30 \times 3.0 = 0.90\)。對於骨骼： \(\mu_2 = 1.20\text{ cm}^{-1}\)， \(x_2 = 1.5\text{ cm}\)，因此 \(\mu_2 x_2 = 1.20 \times 1.5 = 1.80\)。因此，總指數為： \(-(\mu_1 x_1 + \mu_2 x_2) = -(0.90 + 1.80) = -2.70\)。透射比例為： \(\frac{I}{I_0} = e^{-2.70} \approx 0.0672\)。以百分比表示： \(0.0672 \times 100\% \approx 6.7\%\)。因此，正確選項為 B。

選出正確答案 B 得 1 分。選錯或不作答得 0 分。

根據愛因斯坦光電方程： \(hf = \Phi + K\) （方程 1），其中 \(\Phi\) 為逸出功。這給出 \(K = hf - \Phi\)。對於第二種情況： \(h(1.5f) = \Phi + 2K\) （方程 2）。將方程 1 中的 \(K\) 代入方程 2： \(1.5hf = \Phi + 2(hf - \Phi)\)，簡化為 \(1.5hf = \Phi + 2hf - 2\Phi\)，因此 \(1.5hf = 2hf - \Phi\)。解得 \(\Phi = 2hf - 1.5hf = 0.5hf\)。因此，正確選項為 B。

選出正確答案 B 得 1 分。選錯或不作答得 0 分。

(a) (i) 太陽能輸入功率：
\(P_{\text{in}} = I \times A = 800 \times 3.0 = 2400\text{ W}\)（或 \(\text{J s}^{-1}\)）

(ii) 水吸收熱能的功率：
\(P_{\text{out}} = \frac{\Delta Q}{\Delta t} = \frac{m}{\Delta t} c \Delta T\)
\(P_{\text{out}} = 0.040 \times 4200 \times (31 - 20) = 1848\text{ W}\)

(iii) 集熱器的效率：
\(\eta = \frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}} \times 100\% = \frac{1848}{2400} \times 100\% = 77\%\)（或 \(0.77\)）

(b)
1. **溫室效應（減少輻射散失）**：透明玻璃蓋允許短波太陽輻射穿過以加熱吸熱板。熱的吸熱板發射長波紅外輻射，而玻璃對此是不透光的。因此熱量被鎖在內部，減少了向外散失的輻射熱。
2. **減少對流和導熱**：夾在玻璃蓋與吸熱板之間的空氣層是一個不良導體（絕緣體）。此靜止空氣層還防止了自由對流將熱量快速傳遞到室外空氣中。

(a) (i)
- 正確公式或代入：\(800 \times 3.0\) (1M)
- 正確答案連單位：\(2400\text{ W}\)（或 \(2.4\text{ kW}\)）(1A)

(ii)
- 正確公式/代入：\(0.040 \times 4200 \times (31-20)\) (1M)
- 正確答案連單位：\(1848\text{ W}\)（或 \(1.85\text{ kW}\)）(1A)

(iii)
- 計算效率比例：\(1848 / 2400\) (1M)
- 正確答案：\(77\%\)（或 \(0.77\)）(1A)

(b)
- 玻璃阻擋長波紅外線輻射 / 解釋溫室效應 (2M)
- 夾層空氣減少因對流或導熱造成的熱損失 (2M)

(a) 聲阻抗定義為 \(Z = \rho v\)，其中 \(\rho\) 是介質的密度，\(v\) 是超聲波在該介質中的速度。
國際單位：\(\text{kg m}^{-2}\text{ s}^{-1}\)。

(b) 反射係數（反射強度的分數）：
\(\alpha = \left( \frac{Z_2 - Z_1}{Z_2 + Z_1} \right)^2\)
\(\alpha = \left( \frac{7.80 \times 10^6 - 1.70 \times 10^6}{7.80 \times 10^6 + 1.70 \times 10^6} \right)^2 = \left( \frac{6.10}{9.50} \right)^2 \approx 0.412\)（或 \(41.2\%\)）

(c) 時間間隔代表超聲波脈衝在肌肉層中的來回往返時間。
\(2d = v \times t\)
\(2d = 1540 \times (24.0 \times 10^{-6}) = 0.03696\text{ m}\)
\(d = 0.01848\text{ m} \approx 0.0185\text{ m}\)（或 \(1.85\text{ cm}\) / \(18.5\text{ mm}\)）

(d) 空氣與人體組織相比其聲阻抗非常低，這導致在換能器-空氣-皮膚邊界處有極大的聲阻抗不匹配，使幾乎所有（接近 \(100\%\)）的超聲波在進入人體前就被反射。耦合劑的聲阻抗與人體組織非常接近，能排除空氣，使超聲波能有效地穿透進入患者體內。

(a)
- 聲阻抗的正確定義：介質密度與聲速之積 (1M)
- 正確單位：\(\text{kg m}^{-2}\text{ s}^{-1}\) (1A)

(b)
- 反射係數的正確公式 (1M)
- 代入數值：\(\left( \frac{7.80 - 1.70}{7.80 + 1.70} \right)^2\) (1M)
- 正確答案：\(0.412\)（或 \(41.2\%\)）(1A)

(c)
- 意識到往返距離為 \(2d\) (1M)
- 正確代入速度和時間：\(1540 \times 24.0 \times 10^{-6}\) (1M)
- 正確厚度：\(0.0185\text{ m}\)（接受 \(1.85\text{ cm}\) 或 \(18.5\text{ mm}\)）(1A)

(d)
- 解釋空氣造成的巨大聲阻抗不匹配會導致強烈反射 (1M)
- 解釋耦合劑的聲阻抗與組織匹配以容許超聲波穿透 (1M)