2025 DSE 數學 答案詳解與評分準則

根據餘數定理，\(f(1) = -6\) 及 \(f(-\frac{1}{2}) = -9\)。

因為 \(f(1) = -6\)，可得：
\(2(1)^3 + a(1)^2 + b(1) - 6 = -6\)
\(2 + a + b - 6 = -6\)
\(a + b = -2\) --- (1)

因為 \(f(-\frac{1}{2}) = -9\)，可得：
\(2(-\frac{1}{2})^3 + a(-\frac{1}{2})^2 + b(-\frac{1}{2}) - 6 = -9\)
\(-\frac{1}{4} + \frac{a}{4} - \frac{b}{2} - 6 = -9\)
方程兩邊同乘以 4：
\(-1 + a - 2b - 24 = -36\)
\(a - 2b = -11\) --- (2)

(1) 減去 (2)：
\((a + b) - (a - 2b) = -2 - (-11)\)
\(3b = 9\)
\(b = 3\)

將 \(b = 3\) 代入 (1)：
\(a + 3 = -2\)
\(a = -5\)

因此，求得 \(a = -5\) 及 \(b = 3\)。

- 利用餘數定理建立方程 (1) 及 (2) [1M]
- 求得 \(a+b = -2\) 及 \(a-2b = -11\)（或等價方程）[1A]
- 解聯立方程 [1M]
- 求得 \(a = -5\) 及 \(b = 3\) [1A]（兩個答案皆正確方可得 1A）

(a) 因為 \(x-2\) 是 \(g(x)\) 的因式，根據因式定理，可得 \(g(2) = 0\)。
\(2(2)^3 + k(2)^2 - 13(2) + 6 = 0\)
\(16 + 4k - 26 + 6 = 0\)
\(4k - 4 = 0\)
\(k = 1\)

(b) 根據 (a)，\(g(x) = 2x^3 + x^2 - 13x + 6\)。
利用長除法或比較系數，可得：
\(g(x) = (x-2)(2x^2 + 5x - 3)\)
因式分解二次式部分：
\(2x^2 + 5x - 3 = (2x-1)(x+3)\)
因此，\(g(x) = (x-2)(2x-1)(x+3)\)。

(a)
- 代入 \(x=2\) 至 \(g(x)\) 並令其為 0 [1M]
- 求得 \(k = 1\) [1A]

(b)
- 求得二次因式 \(2x^2 + 5x - 3\) [1M]
- 完全因式分解為 \((x-2)(2x-1)(x+3)\) [1A]

原圖像為 \(y = f(x) = x^2 - 4x - 5\)。

當圖像向右水平平移 3 單位時，將 \(x\) 替換為 \(x-3\)：
\(g(x) = f(x-3) = (x-3)^2 - 4(x-3) - 5\)
\(g(x) = (x^2 - 6x + 9) - 4x + 12 - 5\)
\(g(x) = x^2 - 10x + 16\)

當 \(y = g(x)\) 的圖像對 \(x\) 軸反射時，可得：
\(h(x) = -g(x)\)
\(h(x) = -(x^2 - 10x + 16)\)
\(h(x) = -x^2 + 10x - 16\)

因此，\(y = h(x)\) 的圖像的方程為 \(y = -x^2 + 10x - 16\)。

- 將 \(x-3\) 代入方程以表示平移 [1M]
- 求得方程 \(y = x^2 - 10x + 16\)（或等價方程）[1A]
- 將整個函數乘以 \(-1\) 以表示對 x 軸的反射 [1M]
- 求得最終方程 \(y = -x^2 + 10x - 16\) [1A]

(a) 利用配方法：
\(f(x) = -2(x^2 - 6x) - 10\)
\(f(x) = -2(x^2 - 6x + 9 - 9) - 10\)
\(f(x) = -2(x-3)^2 + 18 - 10\)
\(f(x) = -2(x-3)^2 + 8\)
因此，該圖像的頂點坐標為 \((3, 8)\)。

(b) 由於拋物線的頂點為極大點，坐標為 \((3, 8)\)，且 \(x^2\) 的系數為負，故圖像開口向下。
若水平線 \(y = k\) 與圖像相交於兩相異點，該直線必須嚴格位於極大點下方。
因此，\(k\) 的取值範圍為 \(k < 8\)。

（(b) 的另一解法）：
若 \(y = k\) 與 \(y = -2x^2 + 12x - 10\) 交於兩相異點，方程 \(-2x^2 + 12x - 10 = k \implies 2x^2 - 12x + (10+k) = 0\) 必須有兩個相異實根。
所以判別式 \(\Delta > 0\)：
\((-12)^2 - 4(2)(10+k) > 0\)
\(144 - 8(10+k) > 0\)
\(18 - (10+k) > 0\)
\(8 - k > 0\)
\(k < 8\)
因此，\(k\) 的取值範圍為 \(k < 8\)。

(a)
- 利用配方法或頂點公式 \(x = -b/(2a)\) [1M]
- 求得頂點 \((3, 8)\) [1A]

(b)
- 利用判別式 \(\Delta > 0\) 或考慮頂點的 y 坐標 [1M]
- 求得 \(k < 8\) [1A]

(a) 圓的方程為 \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\)。
\(C\) 的圓心為 \(\left(-\frac{-6}{2}, -\frac{8}{2}\right) = (3, -4)\)。
\(C\) 的半徑為 \(\sqrt{3^2 + (-4)^2 - 9} = \sqrt{9 + 16 - 9} = \sqrt{16} = 4\)。

(b) 設 \(P(3, -4)\) 為 \(C\) 的圓心。原點 \(O(0,0)\) 到 \(P\) 的距離為：
\(OP = \sqrt{(3-0)^2 + (-4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\)。

設 \(T\) 為由 \(O\) 到 \(C\) 的切線的切點。由於 \(PT\) 為半徑，故 \(PT = 4\)，且 \(\angle PTO = 90^\circ\)。
在 \(\triangle PTO\) 中，根據畢氏定理：
\(OT^2 + PT^2 = OP^2\)
\(OT^2 + 4^2 = 5^2\)
\(OT^2 = 25 - 16 = 9\)
\(OT = 3\)。
因此，由 \(O\) 到 \(C\) 的切線長度為 3。

(a)
- 求得圓心 \((3, -4)\) [1A]
- 求得半徑 \(4\) [1A]

(b)
- 求得原點至圓心的距離 \(OP = 5\)（或應用切線長度公式）[1M]
- 求得切線長度為 \(3\) [1A]

(a) 圓 \(C\) 的半徑 \(r\) 為點 \(P(-3, 2)\) 與 \(Q(1, 5)\) 之間的距離：
\(r = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5\)。
因此，圓 \(C\) 的方程為：
\((x+3)^2 + (y-2)^2 = 5^2\)
\((x+3)^2 + (y-2)^2 = 25\)（或 \(x^2 + y^2 + 6x - 4y - 12 = 0\)）。

(b) 圓心 \(P(-3, 2)\) 與點 \(R(-1, -1)\) 之間的距離為：
\(PR = \sqrt{(-1 - (-3))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}\)。
由於 \(PR = \sqrt{13} \approx 3.61 < 5\)，點 \(R\) 到圓心的距離小於圓 \(C\) 的半徑。
因此，點 \(R\) 位於圓 \(C\) 以內。

(a)
- 求得半徑 \(r = 5\) [1M]
- 求得圓的方程為 \((x+3)^2 + (y-2)^2 = 25\)（或等價方程）[1A]

(b)
- 計算距離 \(PR = \sqrt{13}\)（或比較 \(PR^2 = 13\) 與 \(r^2 = 25\)）[1M]
- 藉由正確的比較得出點 \(R\) 位於圓以內的結論 [1A]

已知已提供的 7 個數據之和為：
\(11 + 13 + 15 + 15 + 17 + 19 + 21 = 111\)。
由於這 9 個數據的平均值為 17，這 9 個數據之和為：
\(17 \times 9 = 153\)。
因此可得：
\(111 + x + y = 153\)
\(x + y = 42\) --- (1)

在已知的 7 個數中，最小值為 11，最大值為 21。
已知整組數據的極差為 12。
情況 1：若 \(x\) 為整組數據的最小值，且 \(y\) 為整組數據的最大值：
極差為 \(y - x = 12\)。
聯立 (1)：
\(x + y = 42\)
\(y - x = 12\)
兩方程相加得 \(2y = 54 \implies y = 27\)，則 \(x = 15\)。
然而，若 \(x = 15\) 且 \(y = 27\)，整組數據的最小值實際上是 11（因為 \(11 < 15\)），故極差變為 \(27 - 11 = 16 \neq 12\)，產生矛盾。

情況 2：若整組數據的最小值為 11，且 \(y\) 為整組數據的最大值：
極差為 \(y - 11 = 12 \implies y = 23\)。
將 \(y = 23\) 代入 (1)：
\(x + 23 = 42 \implies x = 19\)。
此時，排序後的數據為：\(11, 13, 15, 15, 17, 19, 19, 21, 23\)。
最小值為 11，最大值為 23，極差為 \(23 - 11 = 12\)，且符合 \(x = 19 \le y = 23\)，此解成立。

情況 3：若 \(x\) 為整組數據的最小值，且最大值為 21：
極差為 \(21 - x = 12 \implies x = 9\)。
將 \(x = 9\) 代入 (1)：
\(9 + y = 42 \implies y = 33\)。
但若 \(y = 33\)，整組數據的最大值為 33，極差變為 \(33 - 9 = 24 \neq 12\)，產生矛盾。

因此，唯一合理的解為 \(x = 19\) 且 \(y = 23\)。

- 利用平均值建立方程 \(x + y = 42\) [1M]
- 考慮極差的各種可能情況 [1M]
- 求得 \(y = 23\) [1A]
- 求得 \(x = 19\) [1A]

(a) 由於 8 個數據的平均值為 8，所有數據之和為 \(8 \times 8 = 64\)。
\(4 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + a = 64\)
\(55 + a = 64\)
\(a = 9\)。

(b) 這 8 個數據分別為：\(4, 6, 7, 8, 9, 9, 10, 11\)。
利用方差公式 \(\sigma^2 = \frac{1}{N}\sum(x_i - \mu)^2\)：
\(\sum(x_i - 8)^2 = (4-8)^2 + (6-8)^2 + (7-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (9-8)^2 + (10-8)^2 + (11-8)^2\)
\(= (-4)^2 + (-2)^2 + (-1)^2 + 0^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2\)
\(= 16 + 4 + 1 + 0 + 1 + 1 + 4 + 9 = 36\)。

方差 \(\sigma^2 = \frac{36}{8} = 4.5\)。
標準差 \(\sigma = \sqrt{4.5} \approx 2.1213\)。

因此，標準差為 \(2.12\)（精確至兩位小數）。

(a)
- 利用平均值建立方程：\(4 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + a = 64\) [1M]
- 求得 \(a = 9\) [1A]

(b)
- 計算偏差平方和 (36) 或應用標準差公式/使用計算機 [1M]
- 求得標準差 \(2.12\) [1A]（只接受 \(2.12\)）

(a) 設該等差數列的首項為 \(a\)，公差為 \(d\)。
利用通項公式 \(T(n) = a + (n-1)d\)：
\(T(3) = a + 2d = 13\) --- (1)
\(T(8) = a + 7d = 33\) --- (2)

(2) 減去 (1)：
\((a + 7d) - (a + 2d) = 33 - 13\)
\(5d = 20\)
\(d = 4\)

將 \(d = 4\) 代入 (1)：
\(a + 2(4) = 13\)
\(a = 5\)
因此，該等差數列的首項為 5，公差為 4。

(b) 前 \(n\) 項之和公式為 \(S(n) = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]\)。
當 \(n = 20\) 時：
\(S(20) = \frac{20}{2}[2(5) + (20-1)(4)]\)
\(S(20) = 10[10 + 19(4)]\)
\(S(20) = 10[10 + 76]\)
\(S(20) = 10 \times 86 = 860\)。
因此，該數列的前 20 項之和為 860。

(a)
- 建立線性方程組 [1M]
- 求得 \(a = 5\) 及 \(d = 4\) [1A]（兩個答案皆正確方可得 1A）

(b)
- 應用等差數列求和公式 [1M]
- 求得 \(860\) [1A]

(a) 圓 \(C\) 的半徑為 \(r = GP = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = 5\)。
\(C\) 的方程： \((x-3)^2 + (y-4)^2 = 5^2\)，即 \((x-3)^2 + (y-4)^2 = 25\) （或 \(x^2 + y^2 - 6x - 8y = 0\)）。
\(GP\) 的斜率 \(= \frac{4-0}{3-0} = \frac{4}{3}\)。
因 \(L\) 在 \(P\) 與 \(C\) 相切，所以 \(L \perp GP\)。
\(L\) 的斜率 \(= -\frac{1}{4/3} = -\frac{3}{4}\)。
\(L\) 的方程： \(y - 0 = -\frac{3}{4}(x - 0)\)，即 \(3x + 4y = 0\)。

(b) 圓 \(C'\) 的圓心為 \(G'(3-d, 4)\)。
因 \(C'\) 與 \(L\) 相切，\(G'\) 至 \(L\) 的垂直距離等於其半徑 \(5\)。
\(\frac{|3(3-d) + 4(4)|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = 5\)
\(\frac{|25 - 3d|}{5} = 5\)
\(|25 - 3d| = 25\)
由於 \(d > 0\)，我們有 \(25 - 3d = -25\)
\(3d = 50\)
\(d = \frac{50}{3}\)

(a)
- 求圓 \(C\) 的半徑 (1M)
- 求 \(C\) 的方程 (1A)
- 求 \(L\) 的斜率 (1M)
- 求 \(L\) 的方程 (1A)
(b)
- 寫出 \(G'\) 的坐標為 \((3-d, 4)\) (1M)
- 建立距離等於 5 的方程 (1M)
- 求得 \(d = 50/3\) （捨去 \(d=0\)） (1A)

(a) 因 \(x-2\) 是 \(f(x)\) 的因式，根據因式定理：
\(f(2) = 0\)
\(2(2)^3 + a(2)^2 + b(2) - 12 = 0\)
\(16 + 4a + 2b - 12 = 0\)
\(4a + 2b = -4 \Rightarrow 2a + b = -2\) --- (1)

因 \(f(x)\) 除以 \(x+1\) 的餘數為 \(-15\)，根據餘數定理：
\(f(-1) = -15\)
\(2(-1)^3 + a(-1)^2 + b(-1) - 12 = -15\)
\(-2 + a - b - 12 = -15\)
\(a - b = -1\) --- (2)

聯立解 (1) 及 (2)：
將 (1) 及 (2) 相加：
\(3a = -3 \Rightarrow a = -1\)
將 \(a = -1\) 代入 (2)：
\(-1 - b = -1 \Rightarrow b = 0\)。
所以，\(a = -1\) 且 \(b = 0\)。

(b) 當 \(a = -1\) 及 \(b = 0\) 時，\(f(x) = 2x^3 - x^2 - 12\)。
因 \(x-2\) 為 \(f(x)\) 的因式，進行整式除法得：
\(2x^3 - x^2 - 12 = (x-2)(2x^2 + 3x + 6)\)。
求 \(f(x) = 0\) 的根即解：
\((x-2)(2x^2 + 3x + 6) = 0\)
得 \(x = 2\) 或 \(2x^2 + 3x + 6 = 0\)。
考慮二次方程 \(2x^2 + 3x + 6 = 0\)：
判別式 \(\Delta = 3^2 - 4(2)(6) = 9 - 48 = -39 < 0\)。
因 \(\Delta < 0\)，方程 \(2x^2 + 3x + 6 = 0\) 沒有實根。
因此，方程 \(f(x) = 0\) 的根並不全為實數。
故不同意該宣稱。

(a)
- 利用 \(f(2) = 0\) 建立方程 (1) (1M)
- 利用 \(f(-1) = -15\) 建立方程 (2) (1M)
- 求得 \(a = -1\) 及 \(b = 0\) (1A)
(b)
- 進行除法得出 \((x-2)(2x^2 + 3x + 6)\) (1M 施用除法，1A 得出商式)
- 計算判別式 \(\Delta = -39\) (1M)
- 得出方程的根不全為實數的結論及解釋 (1A)

(a) 該 15 個數據為：22, 25, 25, 28, 30, 33, 33, 35, 37, 38, 42, 44, 44, 50, 54。
平均值 \(= \frac{22+25+25+28+30+33+33+35+37+38+42+44+44+50+54}{15} = \frac{540}{15} = 36\)。
中位數 \(= \text{第 8 個數據} = 35\)。
下四分位數 \(Q_1 = \text{第 4 個數據} = 28\)。
上四分位數 \(Q_3 = \text{第 12 個數據} = 44\)。
四分位數間距 (IQR) \(= Q_3 - Q_1 = 44 - 28 = 16\)。

(b) (i) 由於該 17 名僱員的平均值仍為 36：
新每小時工資總和 \(= 36 \times 17 = 612\)。
原每小時工資總和 \(= 540\)。
因此，\(W_1 + W_2 = 612 - 540 = 72\)。

(ii) 原極差 \(= 54 - 22 = 32\)。
新極差 \(= 32 + 6 = 38\)。
若要中位數保持 35 不變，我們必須添加一個數據 \(W_1 \le 35\) 及一個數據 \(W_2 \ge 35\)。
若要極差為 38，我們有三種情況：
- 情況 1：僅最小值改變。新最小值 \(= 22 - 6 = 16\)，即 \(W_1 = 16\)。若要極差為 38，最大值維持 54，即 \(W_2 \le 54\)。因此，任何滿足 \(W_1 = 16\) 且 \(35 \le W_2 \le 54\) 的數對皆可，例如 \(W_1 = 16, W_2 = 40\)。
- 情況 2：僅最大值改變。新最大值 \(= 54 + 6 = 60\)，即 \(W_2 = 60\)。若要極差為 38，最小值維持 22，即 \(W_1 \ge 22\)。因此，任何滿足 \(W_2 = 60\) 且 \(22 \le W_1 \le 35\) 的數對皆可，例如 \(W_1 = 25, W_2 = 60\)。
- 情況 3：最小值與最大值均改變。此時 \(W_2 - W_1 = 38\) 且 \(W_1 < 22\) 及 \(W_2 > 54\)，例如 \(W_1 = 18, W_2 = 56\)。
（接受任何一組正確的數值）。

(a)
- 平均值 = 36 (1A)
- 中位數 = 35 (1A)
- 四分位數間距 = 16 (1A)
(b)
- (i) 求得 17 名僱員的工資總和為 612 (1M)
- (i) 求得 \(W_1 + W_2 = 72\) (1A)
- (ii) 分析中位數和極差的條件 (1M)
- (ii) 寫出任何一組正確的 \(W_1\) 及 \(W_2\) 的值 (1A)

(a) \(A\) 的第 1 項、第 3 項及第 9 項分別為：
\(T_1 = a\)
\(T_3 = a + 2d\)
\(T_9 = a + 8d\)
因它們依序構成一等比數列，我們有：
\((a + 2d)^2 = a(a + 8d)\)
\(a^2 + 4ad + 4d^2 = a^2 + 8ad\)
\(4d^2 = 4ad\)
由於 \(d \neq 0\)，等式兩邊同除以 \(4d\) 得：
\(d = a\)，即 \(a = d\)。

(b) (i) \(A\) 的首 10 項之和為 110：
\(S_{10} = \frac{10}{2}[2a + 9d] = 110\)
\(5[2a + 9d] = 110\)
\(2a + 9d = 22\)
由於 \(a = d\)，將 \(d = a\) 代入方程：
\(2a + 9a = 22 \Rightarrow 11a = 22 \Rightarrow a = 2\)。
因此，\(d = 2\)。

\(G\) 的首項為 \(T_1 = a = 2\)。
\(G\) 的第二項為 \(T_3 = a + 2d = 2 + 4 = 6\)。
\(G\) 的公比為 \(r = \frac{6}{2} = 3\)。
所以，\(G\) 的首項為 2，公比為 3。

(ii) \(G\) 的首 8 項之和為：
\(S_8 = \frac{2(3^8 - 1)}{3 - 1} = 3^8 - 1 = 6561 - 1 = 6560\)。

(a)
- 以 \(a\) 及 \(d\) 表示數列各項 (1M)
- 建立等比數列的關係方程 (1M)
- 證明 \(a = d\) 且清楚說明除以 \(d \neq 0\) 的步驟 (1A)
(b)
- (i) 建立等差數列求和方程並求得 \(a = 2, d = 2\) (1M)
- (i) 求得 \(G\) 的首項為 2 及公比為 3 (1A)
- (ii) 建立 \(G\) 的求和公式式子 (1M)
- (ii) 求得總和為 \(6560\) (1A)

(a) 配方得：
\(f(x) = x^2 - 4x + 4 - 4 + 3\)
\(f(x) = (x-2)^2 - 1\)
所以，\(U\) 的頂點坐標為 \((2, -1)\)。

(b) (i) 首先，將 \(U\) 向下垂直平移 5 單位，得到的圖像方程為：
\(y = f(x) - 5 = x^2 - 4x + 3 - 5 = x^2 - 4x - 2\)。
然後，將所得圖像對着 \(x\) 軸反射，得到的圖像 \(V\) 的方程為：
\(y = -(x^2 - 4x - 2) = -x^2 + 4x + 2\)。
所以，\(V\) 的方程為 \(y = -x^2 + 4x + 2\)。

(ii) 我們來求 \(V\) 的頂點 \(W\)：
我們可以對 \(U\) 的頂點 \((2, -1)\) 進行變換：
- 向下平移 5 單位後，頂點變為 \((2, -6)\)。
- 對着 \(x\) 軸反射後，頂點變為 \((2, 6)\)。
所以，\(V\) 的頂點 \(W\) 的坐標為 \((2, 6)\)。
另解：將 \(V\) 的方程寫成頂點式：\(y = -(x^2 - 4x) + 2 = -((x-2)^2 - 4) + 2 = -(x-2)^2 + 6\)，可得頂點為 \((2, 6)\)。

要求 \(V\) 的 \(x\) 軸截距，設 \(y = 0\)：
\(-x^2 + 4x + 2 = 0\)
\(x^2 - 4x - 2 = 0\)
根據二次公式：
\(x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{16+8}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{24}}{2} = 2 \pm \sqrt{6}\)。
所以 \(A\) 與 \(B\) 的坐標分別為 \((2 - \sqrt{6}, 0)\) 且 \((2 + \sqrt{6}, 0)\)。
距離 \(AB = (2 + \sqrt{6}) - (2 - \sqrt{6}) = 2\sqrt{6}\)。

以 \(AB\) 在 \(x\) 軸上為底，三角形 \(WAB\) 的高為 \(W\) 的 \(y\) 坐標，即 \(6\)。
三角形 \(WAB\) 的面積 \(= \frac{1}{2} \times \text{底} \times \text{高} = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{6} \times 6 = 6\sqrt{6}\)。

(a)
- 正確配方至頂點式 (1M)
- 求得頂點為 \((2, -1)\) (1A)
(b)
- (i) 寫出平移後的方程 \(y = x^2 - 4x - 2\) (1M)
- (i) 寫出最後反射後的方程 \(y = -x^2 + 4x + 2\) (1A)
- (ii) 求得 \(W\) 的坐標為 \((2, 6)\) (1M)
- (ii) 設 \(y=0\) 並解出 \(x\) 以求得 \(AB = 2\sqrt{6}\) (1M)
- (ii) 求得三角形 \(WAB\) 的面積為 \(6\sqrt{6}\) (1A)

(a) 配方法：\((x - 2)^2 - 4 + (y - 6)^2 - 36 + 31 = 0\) \(\implies (x - 2)^2 + (y - 6)^2 = 9\)。因此，圓心 \(G = (2, 6)\)，半徑 \(r = 3\)。(b)(i) \(L\) 的方程為 \(y - 1 = m(x - 2) \implies mx - y + (1 - 2m) = 0\)。由於 \(L\) 與 \(C\) 相切，由 \(G(2, 6)\) 到 \(L\) 的距離等於 \(r\)：\(\frac{|2m - 6 + 1 - 2m|}{\sqrt{m^2+1}} = 3 \implies \frac{5}{\sqrt{m^2+1}} = 3 \implies 25 = 9(m^2 + 1) \implies 9m^2 = 16 \implies m = \pm \frac{4}{3}\)。(b)(ii) \(P(2,1)\) 與 \(G(2,6)\) 的距離為 \(5\)。由於 \(\angle PAG = \angle PBG = 90^\circ\)，切線長度 \(PA = PB = \sqrt{PG^2 - r^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4\)。四邊形 \(PAGB\) 的面積為 \(2 \times \triangle PAG \text{ 的面積} = 2 \times \left(\frac{1}{2} \times PA \times GA\right) = 4 \times 3 = 12\)。

(a) 1M 施以配方法或套用公式；1A 求得正確圓心及半徑。(b)(i) 1M 寫出切線方程；1M 設距離 = 半徑；1A 求得兩個 m 值。(b)(ii) 1M 求得切線長度 PA = 4；1A 得出正確面積 12。

(a) 得分之和 = \(10 \times 64 = 640\)。由於 \(\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{10} - \bar{x}^2\)，我們有 \(8^2 = \frac{\sum x_i^2}{10} - 64^2 \implies 64 = \frac{\sum x_i^2}{10} - 4096 \implies \sum x_i^2 = 41600\)。(b)(i) 新平均值仍為 64，故 \(\frac{640 + x + y}{12} = 64 \implies 640 + x + y = 768 \implies x + y = 128\)。(b)(ii) 由於 12 名學生的標準差為 8，新方差為 64：\(\frac{41600 + x^2 + y^2}{12} - 64^2 = 8^2 \implies \frac{41600 + x^2 + y^2}{12} - 4096 = 64 \implies 41600 + x^2 + y^2 = 49920 \implies x^2 + y^2 = 8320\)。代入 \(y = 128 - x\)：\(x^2 + (128 - x)^2 = 8320 \implies 2x^2 - 256x + 16384 = 8320 \implies 2x^2 - 256x + 8064 = 0 \implies x^2 - 128x + 4032 = 0 \implies (x - 56)(x - 72) = 0\)。由於 \(x \le y\)，得 \(x = 56\) 且 \(y = 72\)。

(a) 1A 求得得分之和 = 640；1A 求得得分平方之和 = 41600。(b)(i) 1A 寫出 x + y = 128。(b)(ii) 1M 建立方差方程；1M 簡化至 x^2 + y^2 = 8320；1M 建立關於 x 的二次方程；1A 算出 x = 56 且 y = 72。

(a) 由於 \(y = f(x)\) 的頂點為 \(V(3, -4)\)，可設 \(f(x) = a(x - 3)^2 - 4\)。因其通過 \((0, 5)\)，得 \(5 = a(0 - 3)^2 - 4 \implies 9a = 9 \implies a = 1\)。因此，\(f(x) = (x - 3)^2 - 4 = x^2 - 6x + 5\)。故 \(a = 1\)、\(b = -6\) 及 \(c = 5\)。(b)(i) 在水平平移下，頂點變為 \((3 - h, -4)\)。在沿 x 軸反射下，頂點變為 \((3 - h, 4)\)。由於頂點位於 y 軸上，其 x 坐標為 0，故 \(3 - h = 0 \implies h = 3\)。(b)(ii) 由於 \(h = 3\)，\(g(x) = -f(x + 3) = -[((x + 3) - 3)^2 - 4] = -(x^2 - 4) = 4 - x^2\)。(b)(iii) \(g(x) = k \implies 4 - x^2 = k \implies x^2 = 4 - k \implies x = \pm \sqrt{4 - k}\)。\(AB\) 的長度為 \(2\sqrt{4 - k} = 6 \implies \sqrt{4 - k} = 3 \implies 4 - k = 9 \implies k = -5\)。

(a) 1M 建立頂點式方程；1A 求得 a = 1；1A 求得 b = -6 及 c = 5。(b)(i) 1A 求得 h = 3。(b)(ii) 1A 求得 g(x) = 4 - x^2。(b)(iii) 1M 建立關於 k 的方程；1A 求得 k = -5。

(a) \(\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{2^{a_{n+1}}}{2^{a_n}} = 2^{a_{n+1} - a_n} = 2^d\)。由於 \(2^d\) 是一個常數（與 \(n\) 無關），所以 \(b_n\) 是等比數列，其公比為 \(r = 2^d\)。(b)(i) 由於 \(b_1 b_2 b_3 = 512 \implies b_1 \times b_1 r \times b_1 r^2 = 512 \implies (b_1 r)^3 = 512 \implies b_2 = 8\)。因此 \(b_1 = \frac{8}{r}\) 及 \(b_3 = 8r\)。代入第二個方程：\(\frac{8}{r} + 8 + 8r = 28 \implies 8r^2 - 20r + 8 = 0 \implies 2r^2 - 5r + 2 = 0 \implies (2r - 1)(r - 2) = 0\)。解得 \(r = 2\) 或 \(r = \frac{1}{2}\)。由於 \(r = 2^d\)，我們有 \(2^d = 2 \implies d = 1\)，或 \(2^d = \frac{1}{2} \implies d = -1\)。(b)(ii) 若 \(d > 0\)，則 \(d = 1\)。由於 \(a_2 = \log_2(b_2) = \log_2(8) = 3\)，首項 \(a_1 = a_2 - d = 3 - 1 = 2\)。數列 \(a_n\) 的首 \(n\) 項之和為 \(S_n = \frac{n}{2}[2a_1 + (n-1)d] = \frac{n}{2}[4 + n - 1] = \frac{n(n+3)}{2}\)。我們要求 \(\frac{n(n+3)}{2} > 2000 \implies n^2 + 3n - 4000 > 0\)。解 \(n^2 + 3n - 4000 = 0\) 得 \(n \approx \frac{-3 + \sqrt{9 + 16000}}{2} \approx 61.76\)。因此，\(n\) 的最小整數值為 62。

(a) 1M 寫出相鄰項的比；1A 說明其為等比數列及公比為 2^d。(b)(i) 1M 求得 b_2 = 8；1A 求得 r = 2 或 r = 1/2；1A 求得 d = 1 或 d = -1。(b)(ii) 1M 建立不等式 Sn > 2000；1A 求得 n = 62。

(a) 由於 \(2x - 3\) 是 \(P(x)\) 的因式，根據因式定理，我們有 \(P\left(\frac{3}{2}\right) = 0\)。\(2\left(\frac{3}{2}\right)^3 - 5\left(\frac{3}{2}\right)^2 + k\left(\frac{3}{2}\right) - 3 = 0 \implies 2\left(\frac{27}{8}\right) - 5\left(\frac{9}{4}\right) + \frac{3k}{2} - 3 = 0 \implies \frac{27}{4} - \frac{45}{4} + \frac{3k}{2} - 3 = 0 \implies -\frac{18}{4} - 3 + \frac{3k}{2} = 0 \implies -7.5 + 1.5k = 0 \implies k = 5\)。(b) 因此，\(P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 5x - 3\)。將 \(P(x)\) 除以 \((2x - 3)\) 進行長除法（或綜合除法），可得：\(P(x) = (2x - 3)(x^2 - x + 1)\)。對於方程 \(P(x) = 0\)，\(2x - 3 = 0\) 或 \(x^2 - x + 1 = 0\)。對於二次方程 \(x^2 - x + 1 = 0\)，其判別式為 \(\Delta = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3\)。由於 \(\Delta < 0\)，方程 \(x^2 - x + 1 = 0\) 沒有實根。因此，方程 \(P(x) = 0\) 只有一個實根（即 \(\frac{3}{2}\)）及兩個非實根。故不同意該宣稱。

(a) 1M 代入 3/2 於 P(x) 並設為 0；1A 求得 k = 5。(b) 1M 用除法找出二次因式；1A 求得 x^2 - x + 1；1M 計算該二次因式的判別式；1A 指出無實根；1A 結論為不同意。