2025 DSE 數學 模擬試題 | Past Paper 練習

設 \(f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 6\)，其中 \(a\) 及 \(b\) 均為常數。當 \(f(x)\) 除以 \(x-1\) 時，餘數為 \(-6\)。當 \(f(x)\) 除以 \(2x+1\) 時，餘數為 \(-9\)。求 \(a\) 及 \(b\) 的值。

設 \(g(x) = 2x^3 + kx^2 - 13x + 6\)，其中 \(k\) 為一常數。已知 \(x-2\) 是 \(g(x)\) 的因式。
(a) 求 \(k\) 的值。
(b) 因式分解 \(g(x)\)。

設 \(y = f(x)\) 為 \(y = x^2 - 4x - 5\) 的圖像。將 \(y = f(x)\) 的圖像向右水平平移 3 單位，得到 \(y = g(x)\) 的圖像。然後，將 \(y = g(x)\) 的圖像對 \(x\) 軸反射，得到 \(y = h(x)\) 的圖像。求 \(y = h(x)\) 的圖像的方程，並以 \(y = ax^2 + bx + c\) 的形式表示你的答案。

設 \(f(x) = -2x^2 + 12x - 10\)。
(a) 求 \(y = f(x)\) 的圖像的頂點坐標。
(b) 求 \(k\) 的取值範圍，使得直線 \(y = k\) 與 \(y = f(x)\) 的圖像交於兩相異點。

圓 \(C\) 的方程為 \(x^2 + y^2 - 6x + 8y + 9 = 0\)。
(a) 求 \(C\) 的圓心坐標及半徑。
(b) 設 \(O\) 為原點。求由 \(O\) 到 \(C\) 的切線的長度。

圓 \(C\) 的圓心為 \(P(-3, 2)\) 且通過點 \(Q(1, 5)\)。
(a) 求 \(C\) 的方程。
(b) 判斷點 \(R(-1, -1)\) 是位於圓 \(C\) 以內、以外還是在圓 \(C\) 上。解釋你的答案。

考慮一組共九個數：\(11, 13, 15, 15, 17, 19, 21, x, y\)，其中 \(x\) 及 \(y\) 為實數且 \(x \le y\)。已知這九個數的平均值為 17，且極差為 12。求 \(x\) 及 \(y\) 的值。

以下為一組共 8 個數據：\(4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, a\)。已知該組數據的平均值為 8。
(a) 求 \(a\) 的值。
(b) 求該組數據的標準差，精確至兩位小數。

一等差數列的第 3 項及第 8 項分別為 13 及 33。
(a) 求該數列的首項及公差。
(b) 求該數列的前 20 項之和。

(a) 圓 \(C\) 通過 \(P(0, 0)\) 且其圓心為 \(G(3, 4)\)。求 \(C\) 的方程及 \(C\) 在 \(P\) 的切線 \(L\) 的方程。 (4分)
(b) 將圓 \(C\) 向左水平平移 \(d\) 單位（其中 \(d > 0\)）以得出另一圓 \(C'\)。若 \(C'\) 與 \(L\) 相切，求 \(d\) 的值。 (3分)

設 \(f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx - 12\)，其中 \(a\) 及 \(b\) 為常數。已知 \(x - 2\) 是 \(f(x)\) 的因式。當 \(f(x)\) 除以 \(x + 1\) 時，餘數為 \(-15\)。
(a) 求 \(a\) 及 \(b\) 的值。 (3分)
(b) 有人宣稱方程 \(f(x) = 0\) 的所有根均為實數。你是否同意？試解釋你的答案。 (4分)

下面的莖葉圖顯示某商店 15 名僱員的每小時工資（以港元計）的分佈：
$$\begin{array}{r|l}
\text{莖 (十位)} & \text{葉 (個位)} \\
\hline
2 & 2,\, 5,\, 5,\, 8 \\
3 & 0,\, 3,\, 3,\, 5,\, 7,\, 8 \\
4 & 2,\, 4,\, 4 \\
5 & 0,\, 4
\end{array}$$
(a) 求該分佈的平均值、中位數及四分位數間距。 (3分)
(b) 再有兩名僱員加入該商店，其每小時工資分別為 \(W_1\) 及 \(W_2\)（其中 \(W_1 \le \mathcal{W}_2\)）。
(i) 若該 17 名僱員的每小時工資的平均值保持不變，求 \(W_1 + \mathcal{W}_2\) 的值。
(ii) 若該 17 名僱員的每小時工資的極差增加 6，且中位數保持不變，寫出一組可能的 \(W_1\) 及 \(W_2\) 的值。 (4分)

設 \(A\) 為一等差數列，其首項為 \(a\)，公差為 \(d\)，其中 \(d \neq 0\)。\(A\) 的第 1 項、第 3 項及第 9 項依序構成一等比數列 \(G\)。
(a) 證明 \(a = d\)。 (3分)
(b) 若 \(A\) 的首 10 項之和為 110，求：
(i) \(G\) 的首項及公比；
(ii) \(G\) 的首 8 項之和。 (4分)

設 \(f(x) = x^2 - 4x + 3\)。將 \(y = f(x)\) 的圖像記為 \(U\)。
(a) 通過配方法或以其他方法，求 \(U\) 的頂點坐標。 (2分)
(b) 將 \(U\) 向下垂直平移 5 單位，然後將所得的圖像對着 \(x\) 軸反射，以得出圖像 \(V\)。
(i) 求 \(V\) 的方程。
(ii) 設 \(V\) 的頂點為 \(W\)。若 \(V\) 與 \(x\) 軸相交於 \(A\) 及 \(B\) 兩點，求三角形 \(WAB\) 的面積。 (5分)

圓 \(C\) 的方程為 \(x^2 + y^2 - 4x - 12y + 31 = 0\)。(a) 求 \(C\) 的圓心 \(G\) 的坐標及半徑 \(r\)。(b) 直線 \(L\) 通過 \(P(2, 1)\) 且斜率為 \(m\)。(i) 若 \(L\) 與 \(C\) 相切，求 \(m\) 的兩個可能值。(ii) 設 \(A\) 及 \(B\) 為由 \(P\) 到 \(C\) 的兩條切線的切點。求四邊形 \(PAGB\) 的面積。

一組 10 名學生的測驗得分的平均值為 64，標準差為 8。(a) 求這 10 名學生的得分之和及得分平方之和。(b) 另有兩名得分為 \(x\) 及 \(y\) 的學生加入該組（其中 \(x \le y\)）。(i) 若這 12 名學生的平均值保持不變，寫出一個關於 \(x\) 與 \(y\) 的方程。(ii) 若這 12 名學生的標準差亦為 8，求 \(x\) 及 \(y\) 的值。

設 \(f(x) = ax^2 + bx + c\)，其中 \(a\)、\(b\) 及 \(c\) 為常數。\(y = f(x)\) 的圖像的頂點為 \(V(3, -4)\)，且該圖像與 y 軸相交於 \(P(0, 5)\)。(a) 求 \(a\)、\(b\) 及 \(c\) 的值。(b) 將 \(y = f(x)\) 的圖像向左水平平移 \(h\) 單位，然後沿 x 軸反射，得到 \(y = g(x)\) 的圖像。若 \(y = g(x)\) 的圖像的頂點位於 y 軸上。(i) 求 \(h\) 的值。(ii) 寫出 \(g(x)\) 的表達式。(iii) 若 \(y = g(x)\) 的圖像與直線 \(y = k\) 相交於相異兩點 \(A\) 及 \(B\) 使得 \(AB\) 的長度為 6，求 \(k\) 的值。

設 \(a_1, a_2, a_3, \dots\) 為等差數列，其公差為 \(d\)。對所有正整數 \(n\)，設 \(b_n = 2^{a_n}\)。(a) 證明 \(b_1, b_2, b_3, \dots\) 為等比數列，並以 \(d\) 表其公比。(b) 已知 \(b_1 b_2 b_3 = 512\) 及 \(b_1 + b_2 + b_3 = 28\)。(i) 求 \(d\) 的兩個可能值。(ii) 若 \(d > 0\)，求 \(n\) 的最小值使得數列 \(a_n\) 的首 \(n\) 項之和超過 2000。

設 \(P(x) = 2x^3 - 5x^2 + kx - 3\)，其中 \(k\) 為常數。已知 \(2x - 3\) 是 \(P(x)\) 的因式。(a) 求 \(k\) 的值。(b) 有人宣稱方程 \(P(x) = 0\) 的所有根均為實數。你是否同意？解釋你的答案。