Pure Mathematics 3：微分綜合學習筆記

歡迎來到 Pure Mathematics 3 (P3) 的微分章節！微分不僅僅是為了求斜率；它是我們用來測量瞬時變化率的強大數學工具。無論你是要計算拋體運動的最高點，還是要分析水箱水位上升的速度，微分都不可或缺。

在 P3 中，我們將建立在 P1（多項式及基本連鎖律）與 P2（\(e^x\) 和 \(\ln x\) 的基礎）之上，引入更多進階規則來處理複雜函數——特別是涉及積函數、商函數、隱函數及參數方程的函數。

從 P1/P2 延伸的重點複習：

你必須熟練掌握幂函數的標準微分公式：\(\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}\)。

1. P3 微分核心工具箱

在 P3 中，我們擴展了對標準函數的微分知識，包括指數、對數以及更廣泛的三角函數。

你必須掌握的 P3 標準微分公式
函數 \(f(x)\) 導數 \(f'(x)\) 或 \(\frac{dy}{dx}\)
\(e^x\) \(e^x\)
\(\ln x\) \(\frac{1}{x}\)
\(\sin x\) \(\cos x\)
\(\cos x\) \(-\sin x\)
\(\tan x\) \(\sec^2 x\)
\(\tan^{-1} x\) \(\frac{1}{1 + x^2}\)

（你知道嗎？\(\tan^{-1} x\) 的微分結果是考試中要求必須背誦並運用的標準公式之一！）

連鎖律 (Chain Rule)（複合函數）

當你遇到函數中還有函數的情況時，就需要使用連鎖律。這通常被稱為複合函數 (Composite Function) 規則。

若 \(y = f(u)\) 且 \(u = g(x)\)，則：

\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \times \frac{du}{dx}\)

比喻：剝洋蔥法則！ 從最外層的函數開始處理，先剝掉一層（進行微分），然後乘以內部函數（下一層）的導數。

處理複合函數 \(y = e^{f(x)}\) 的步驟：

  • 範例： \(y = e^{3x^2 + 5}\)
  • 外層函數 (f(u))： \(e^u\)，其中 \(u = 3x^2 + 5\)。其導數為 \(e^u\)。
  • 內層函數 (u)： \(3x^2 + 5\)。其導數為 \(\frac{du}{dx} = 6x\)。
  • 結果： \(\frac{dy}{dx} = e^{3x^2 + 5} \times (6x) = 6x e^{3x^2 + 5}\)。

常見陷阱：

在微分 \(\ln(f(x))\) 時，結果為 \(\frac{f'(x)}{f(x)}\)。很多同學會忘記乘以內部函數的導數 \(f'(x)\)！
例如：若 \(y = \ln(2x^3)\)，則 \(\frac{dy}{dx} = \frac{6x^2}{2x^3} = \frac{3}{x}\)。

重點總結（第一部分）

熟練運用連鎖律是關鍵。請務必找出內層函數，並記得乘以它的導數。

2. 進階微分技巧

P3 要求我們運用三種專業技巧來處理積函數、商函數或變量關係不明顯的函數。

2.1 積函數法則 (Product Rule)

當 \(y\) 是兩個 \(x\) 函數的乘積時使用此法則。若 \(y = uv\)，其中 \(u\) 和 \(v\) 均為 \(x\) 的函數：

\(\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}\)

口訣： 「前乘後微分，加上後乘前微分」。保持一個函數不變，微分另一個，然後交換角色並相加。

步驟範例： \(y = x^2 \sin(3x)\)

  1. 找出 \(u\) 和 \(v\)：
    • \(u = x^2 \implies \frac{du}{dx} = 2x\)
    • \(v = \sin(3x) \implies \frac{dv}{dx} = 3 \cos(3x)\) （使用連鎖律）
  2. 套用公式：

    \(\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx} = x^2 (3 \cos(3x)) + \sin(3x) (2x)\)

  3. 化簡：

    \(\frac{dy}{dx} = 3x^2 \cos(3x) + 2x \sin(3x)\)

2.2 商函數法則 (Quotient Rule)

當 \(y\) 為分數，且分子與分母皆為 \(x\) 的函數時使用此法則。若 \(y = \frac{u}{v}\)：

\(\frac{dy}{dx} = \frac{v \frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\)

口訣（順口溜）： 「下乘上微分，減去上乘下微分，整條除以下方平方」。（其中下=\(v\)，上=\(u\)）。

注意！ 順序非常重要，因為中間是減號！請務必先從 \(v\) (下) 開始。

2.3 隱函數微分 (Implicit Differentiation)

當 \(x\) 與 \(y\) 的關係式很複雜，導致難以或無法分離出 \(y\) 時（例如 \(x^2 + y^2 = xy + 7\)），就必須使用此技巧。

在處理隱函數微分時，將所有包含 \(y\) 的項視為 \(x\) 的複合函數。

  • 法則： 當微分含有 \(y\) 的項時，先當作一般函數對 \(y\) 微分，然後立即乘以 \(\frac{dy}{dx}\)（這是連鎖律的應用）。
  • 範例： 將 \(y^3\) 對 \(x\) 微分：
    \(\frac{d}{dx} (y^3) = 3y^2 \times \frac{dy}{dx}\)
  • 範例： 將 \(xy\) 對 \(x\) 微分：（需使用積函數法則！）
    • \(u = x \implies \frac{du}{dx} = 1\)
    • \(v = y \implies \frac{dv}{dx} = 1 \times \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx}\)
    • 結果：\(\frac{d}{dx} (xy) = x \frac{dy}{dx} + y(1)\)
2.4 參數方程微分 (Parametric Differentiation)

參數方程使用第三個變量（通常為 \(t\) 或 \(\theta\)）來描述曲線。 （想像 \(x\) 和 \(y\) 都是時間 \(t\) 的函數。為了求出斜率 \(\frac{dy}{dx}\)，我們將它們的變化率連結起來。）

若 \(x = f(t)\) 且 \(y = g(t)\)，導數計算如下：

\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \div \frac{dx}{dt}\)

步驟：

  1. 計算 \(\frac{dx}{dt}\)（\(x\) 對 \(t\) 的導數）。
  2. 計算 \(\frac{dy}{dt}\)（\(y\) 對 \(t\) 的導數）。
  3. 將 \(\frac{dy}{dt}\) 除以 \(\frac{dx}{dt}\)，得到以 \(t\) 為變量的斜率 \(\frac{dy}{dx}\)。
  4. 若題目要求特定點的斜率，請代入該點對應的 \(t\) 值。

重點總結（第二部分）

積函數與商函數法則需要熟練背誦公式。隱函數與參數方程的微分則基礎於連鎖律的原理。

3. 微分在 P3 中的應用

3.1 切線 (Tangent) 與法線 (Normal)

一階導數 \(\frac{dy}{dx}\) 永遠代表曲線在特定點的切線斜率。

  • 切線斜率 (\(m_T\))： \(m_T = \frac{dy}{dx}\)
  • 法線斜率 (\(m_N\))： 法線與切線互相垂直，故 \(m_N = -\frac{1}{m_T}\)。

當你求得斜率 \(m\) 及點 \((x_1, y_1)\) 後，使用直線方程： \(y - y_1 = m(x - x_1)\)。

3.2 相關變化率 (Connected Rates of Change)

這涉及使用連鎖律將兩個通過第三個變量連結的變化率聯繫起來。這是 P3 常見的應用題型。

如果你想要求 \(\frac{dA}{dt}\)，且已知 \(\frac{dA}{dr}\) 和 \(\frac{dr}{dt}\)，你可以這樣連結：

\(\frac{dA}{dt} = \frac{dA}{dr} \times \frac{dr}{dt}\)

（比喻：如果你知道球體半徑 \(r\) 隨時間變化的速度 \(\frac{dr}{dt}\)，又知道體積 \(V\) 隨半徑變化的關係 \(\frac{dV}{dr}\)，你就能求出體積隨時間變化的速率 \(\frac{dV}{dt}\)。）

記得檢查單位！ 變化率通常以「每秒」或「每分鐘」為單位，因此時間 \(t\) 的單位必須保持一致。

3.3 駐點 (Stationary Points)（極大值與極小值）

駐點發生在斜率為零的地方：\(\frac{dy}{dx} = 0\)。

要判斷駐點的性質（極大值或極小值），我們使用二階導數測試 (Second Derivative Test)：

  • 計算二階導數：\(\frac{d^2y}{dx^2}\)。
  • 將駐點的 \(x\) 坐標代入 \(\frac{d^2y}{dx^2}\)。

二階導數記憶法：

若 \(\frac{d^2y}{dx^2} > 0\)（正數/笑臉），則該點為極小值 (Minimum)。

若 \(\frac{d^2y}{dx^2} < 0\)（負數/哭臉），則該點為極大值 (Maximum)。

3.4 遞增與遞減函數

一階導數也反映了函數的整體趨勢：

  • 若 \(\frac{dy}{dx} > 0\)，函數為遞增 (Increasing)。
  • 若 \(\frac{dy}{dx} < 0\)，函數為遞減 (Decreasing)。

例如，要找出 \(y\) 為遞增的區間，你需要求解不等式 \(\frac{dy}{dx} > 0\)。

P3 微分快速複習

P3 章節對精確度要求很高。如果規則看起來很複雜，不用擔心，熟能生巧！以下是核心規則總結：

積函數法則 (uv)： \(u v' + v u'\)

商函數法則 (\(\frac{u}{v}\))： \(\frac{v u' - u v'}{v^2}\)

隱函數： 對含 \(y\) 的項正常微分，然後乘以 \(\frac{dy}{dx}\)。

參數方程： \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \div \frac{dx}{dt}\)

變化率（連鎖律）： \(\frac{A}{C} = \frac{A}{B} \times \frac{B}{C}\)

保持代數運算的整潔，並背熟那些標準微分公式。你一定做得到的！