Numerical solution of equations

方程式的數值解 (P3/Paper 3)

歡迎來到令人興奮的數值方法世界！本章的重點在於求出那些過於複雜而無法使用標準代數技巧（例如二次方程式公式或簡單因式分解）解決的方程式的解（根）。由於我們無法求得精確答案，我們將會使用各種方法來尋找極高精度的近似值。這在應用數學和科學領域中至關重要！

如果這聽起來很複雜，別擔心——我們只是在學習如何做出越來越準確的推測！

---

1. 定位根：起點

在開始進行根的近似之前，我們需要大致了解它的位置。我們有兩種主要方法來確定根的位置：

1.1 變號規則（「跨越坐標軸」測試）

定位根最簡單且最可靠的方法是測試根兩側的函數值。

假設你有一個方程式 \(f(x) = 0\)。如果你能找到兩個值，\(a\) 和 \(b\)，使得：

• \(f(a)\) 是正數（例如 \(f(a) > 0\)）
• \(f(b)\) 是負數（例如 \(f(b) < 0\)）
• 函數 \(f(x)\) 在 \(a\) 和 \(b\) 之間是連續的（意味著沒有斷點或間隙）。

……那麼，在 \(x=a\) 和 \(x=b\) 之間，\(f(x) = 0\) 必定至少存在一個根（解）。

比喻： 想像你正走過一個山谷。如果你從山上開始（高度為正），最後到達山谷的另一邊低於海平面（高度為負），假設你沒有跳過整個山谷，那麼你在某個點上必定跨越了海平面（高度為零）！

重要前置檢查： 你必須確保該函數是連續的。對於 9709 課程中涉及的所有函數（多項式、指數、對數、三角函數），除非區間包含了垂直漸近線（例如 \(y = \tan x\) 或 \(y = 1/x\)），否則這通常是成立的。

1.2 使用圖解法定位根

有時，直接觀察圖形來定位根會更容易，特別是在方程式比較複雜的時候。

如果你有一個方程式 \(f(x) = 0\)，你通常可以將其重組為兩個獨立、較簡單的函數：

\(y_1 = g(x)\) 和 \(y_2 = h(x)\)

原方程式 \(f(x)=0\) 的根，就是這兩個函數圖形 \(y_1\) 和 \(y_2\) 交點的 \(x\) 坐標。

例子： 要找出 \(e^x - x^2 = 0\) 的根，我們可以重組為 \(e^x = x^2\)。接著繪製：

• \(y_1 = e^x\)（指數曲線）
• \(y_2 = x^2\)（拋物線）

透過繪圖，你可以直觀地估計有多少個根及其大致位置（例如：「一個根在 \(x=-0.7\) 附近，另一個在 \(x=1.3\) 附近」）。

---

2. 迭代法：一步步逼近

當你知道根在 \(x_0\) 附近後，我們使用迭代法 (iteration) 來多次精煉該推測值，直到達到所需的精度。

2.1 迭代公式 \(x_{n+1} = F(x_n)\)

數值迭代的核心是將方程式 \(f(x) = 0\) 重組為 \(x = F(x)\) 的形式。

這讓我們能定義一連串的近似值：

\(x_{n+1} = F(x_n)\)

• 從初始推測值 \(x_0\) 開始。
• 計算下一個近似值：\(x_1 = F(x_0)\)。
• 接著：\(x_2 = F(x_1)\)。
• 依此類推：計算出 \(x_n\)，即可得到 \(x_{n+1}\)。

如果這一串數值（\(x_0, x_1, x_2, \dots\)）越來越接近某個單一固定值，我們就說該數列收斂 (converges) 到根 \(\alpha\)。由於當 \(n\) 很大時 \(x_{n+1} \approx x_n\)，我們發現 \(\alpha = F(\alpha)\)，這正是原方程式的解。

2.2 將 \(f(x)=0\) 重組為 \(x = F(x)\)

對於任何一個方程式 \(f(x)=0\)，通常有許多種方法將其重組為 \(x = F(x)\) 的形式。

例子： 解 \(x^3 - 2x - 5 = 0\)

重組方式 A：

\(x^3 = 2x + 5\)
\(x = (2x + 5)^{1/3}\)

這給出了迭代公式：\(x_{n+1} = (2x_n + 5)^{1/3}\)

重組方式 B：

\(2x = x^3 - 5\)
\(x = \frac{x^3 - 5}{2}\)

這給出了迭代公式：\(x_{n+1} = \frac{x_n^3 - 5}{2}\)

你知道嗎？ 並非所有的重組方式都有效！如果你選擇了錯誤的重組方式，迭代可能會發散 (diverge)（離根越來越遠）。在考試中，通常題目會給定你應使用的特定重組方式，或者要求你找出一種看起來有效的重組方式。

---

3. 執行迭代與判斷精度

3.1 逐步迭代（計算機技巧）

有效運用迭代公式是一項關鍵技能，通常使用計算機上的 ANS 鍵來完成。

程序清單：

1. 從 \(x_0\) 開始： 輸入初始推測值（題目通常會給定，例如 \(x_0 = 1\)）。按 [=]。
2. 輸入 \(F(x)\)： 輸入迭代公式，用 ANS 取代 \(x_n\)。
例子（對於 \(x_{n+1} = (2x_n + 5)^{1/3}\)）： 輸入 \((2 \times \text{ANS} + 5)^{1/3}\)。
3. 迭代： 重複按 [=]。第一次按得到 \(x_1\)，第二次得到 \(x_2\)，依此類推。
4. 記錄： 記下數值序列，直到它們穩定（即在所需的小數位數下不再改變）。

迭代例子： 若從 \(x_0 = 1\) 開始，數列可能為：
\(x_0 = 1.000000\)
\(x_1 = 1.709976\)
\(x_2 = 1.883395\)
\(x_3 = 1.918967\)
\(x_4 = 1.925893\)
\(x_5 = 1.927282\)
\(x_6 = 1.927558\)
\(x_7 = 1.927613\)
\(x_8 = 1.927624\)

此時，如果題目要求精確到小數點後 4 位 (4 d.p.)，則答案為 \(1.9276\)。

3.2 證明根的精度（最終變號測試）

迭代過程會給你一個看似穩定的值。為了證明該值精確到特定位數（例如小數點後 3 位），你必須回到原始函數 \(f(x)\)，並在一個微小的區間內使用變號規則。

假設題目要求證明根為 \(\alpha = 1.928\)，精確到 3 位小數。

這意味著真正的根必須位於該近似值的下界和上界之間：

• 下界： \(1.9275\)
• 上界： \(1.9285\)

逐步證明：

1. 定義原始函數 \(f(x)\)。 （例如，如果我們解的是 \(x^3 - 2x - 5 = 0\)，則 \(f(x) = x^3 - 2x - 5\)）。
2. 計算 \(f(\text{下界})\)：求出 \(f(1.9275)\)。
3. 計算 \(f(\text{上界})\)：求出 \(f(1.9285)\)。
4. 檢查符號： 如果符號相反，則真正的根位於該區間內，從而證實四捨五入至 3 位小數後，根確實為 \(1.928\)。

避免常見錯誤： 學生有時會嘗試使用迭代函數 \(F(x)\) 來進行變號檢查。你必須使用原始函數 \(f(x)\)。

---

4. 迭代的圖解法（收斂）

迭代數列 \(x_{n+1} = F(x_n)\) 的行為可以透過繪製 \(y = x\) 和 \(y = F(x)\) 的圖形來視覺化。

根 \(\alpha\) 即是交點，因為在交點處 \(x = F(x)\)。

4.1 視覺化收斂與發散

為了視覺化這個數列，我們繪製一條在直線 \(y=x\) 和曲線 \(y=F(x)\) 之間交替的路徑：

1. 在 \(x\)-軸上從 \(x_0\) 開始。
2. 垂直移動到曲線 \(y = F(x)\)。此高度為 \(y_0 = F(x_0) = x_1\)。
3. 從曲線水平移動到直線 \(y = x\)。此處的 \(x\)-坐標現在為 \(x_1\)。
4. 從直線 \(y = x\) 垂直移動回曲線 \(y = F(x)\)。此高度為 \(y_1 = F(x_1) = x_2\)。
5. 重複步驟 2、3、4。

產生的形狀可以顯示出兩種主要的成功迭代（收斂）或失敗（發散）情況。

階梯式收斂 (Staircase Convergence)

如果路徑形成一系列階梯狀並導向根部，則迭代成功。

當曲線 \(y=F(x)\) 在根附近的斜率較小且為正時，就會發生這種情況。

蛛網式收斂 (Cobweb Convergence)

如果路徑呈螺旋狀向內旋轉至根部（像蛛網一樣），則迭代成功。

當曲線 \(y=F(x)\) 在根附近的斜率較小且為負時，就會發生這種情況。

發散 (Divergence)（失敗）

如果路徑遠離交點，則迭代無法收斂。當曲線 \(y=F(x)\) 在根附近太陡時，就會發生這種情況。

給資優生的備註： 雖然你不需要了解收斂的正式數學條件（這涉及導數 \(|F'(x)|\) 的大小），但你需要明白迭代可能會無法收斂，而圖解法有助於視覺化為何某些重組方式比其他方式更好。