三平方の定理：練習問題

正方形 \(ABCD\) の対角線 \(AC\) の長さが \(10 \text{ cm}\) であるとき、この正方形の面積を求めなさい。

一辺の長さが \(6 \text{ cm}\) である正三角形 \(ABC\) の高さを求めなさい。

直角三角形 \(ABC\) において、\(\angle B = 90^{\circ}\) です。辺 \(AB = 8 \text{ cm}\) 、辺 \(BC = 15 \text{ cm}\) であるとき、斜辺 \(AC\) の長さを求めなさい。

座標平面上の2点 \(A(2, 3)\) と \(B(5, 7)\) の間の距離を求めなさい。

底面の半径が \(5 \text{ cm}\)、母線の長さが \(13 \text{ cm}\) である円錐があります。この円錐の体積を求めなさい。ただし、円周率は \(\pi\) とします。

直角三角形 \(ABC\) において、\(\angle B = 90^{\circ}\) です。辺 \(AB\) 上に点 \(D\) を、辺 \(BC\) 上に点 \(E\) をとります。以下の問いに答えなさい。
(a) \(AE^2 + CD^2 = AC^2 + DE^2\) が成り立つことを証明しなさい。
(b) \(AB = 6\text{ cm}\)、\(BC = 8\text{ cm}\) で、点 \(D\) と点 \(E\) がそれぞれ \(AB\) と \(BC\) の中点であるとき、\(DE\) の長さを求めなさい。

図のような、底面の半径が \(3\text{ cm}\)、母線の長さが \(9\text{ cm}\) の円錐があります。底面の円周上の点 \(P\) から出発し、円錐の側面を一周して点 \(P\) に戻る最短の道のりを考えます。
(a) この円錐の展開図において、側面となる扇形の中心角を求めなさい。
(b) 点 \(P\) から出発して側面を一周し、再び点 \(P\) に戻る最短の道の長さを求めなさい。
(c) 点 \(P\) から出発して側面を半周し、点 \(P\) の真反対にある母線上の点 \(Q\)（頂点から \(6\text{ cm}\) の位置）に到達する最短の道の長さを求めなさい。