ようこそ数学Ⅲの「微分法」へ！
数学Ⅱで学んだ微分（多項式関数の微分）を覚えていますか？数学Ⅲの微分法では、その世界がぐっと広がり、分数関数、無理関数、三角関数、指数関数、対数関数など、高校数学で登場するあらゆる関数を微分できるようになります。「公式がたくさんあって難しそう…」と感じるかもしれませんが、大丈夫です！基本のルールをひとつずつ積み上げれば、パズルのように楽しく解けるようになります。焦らず一緒にマスターしていきましょう！
※ 極限（lim）の基本計算や積分の計算は、それぞれの単元で詳しく扱います。ここでは微分の理論と計算、そしてその応用に集中していきましょう。
1. 連続性と微分可能性
関数を微分する前に、まず「微分できるとはどういうことか？」を正しく理解しておきましょう。
連続性と微分可能性の関係
関数 \(y = f(x)\) について、\(x = a\) における微分係数 \(f'(a)\) は次のように定義されます。
\(f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}\) （または \(\lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}\)）
この極限値が存在するとき、関数 \(f(x)\) は \(x = a\) で微分可能であるといいます。
ここでとても大切な定理があります。
「関数 \(f(x)\) が \(x = a\) で微分可能ならば、\(f(x)\) は \(x = a\) で連続である」
グラフがつながっていなければ（不連続なら）、接線を引くこと（微分）は絶対にできません。しかし、この逆は必ずしも成り立ちません！
【よくある間違い】「連続ならいつでも微分できる」と思い込むこと
連続であっても、グラフが「尖っている点（尖点）」では微分できません。
例えば、\(f(x) = |x|\) は \(x = 0\) でグラフがつながっている（連続）ですが、右側からの極限は \(+1\)、左側からの極限は \(-1\) となり、一致しないため \(x = 0\) で微分可能ではありません。
【ポイント】
・微分可能 \(\implies\) 連続（常に成り立つ）
・連続 \(\implies\) 微分可能（成り立つとは限らない！反例：\(y = |x|\) の \(x=0\)）
2. 導関数の基本公式（積・商・合成関数）
数学Ⅲで登場する強力な微分の計算ルールです。どんなに複雑な式も、このルールに分解すれば計算できます。
(1) 和・差・定数倍の微分
・\(\{kf(x)\}' = k f'(x)\) （\(k\) は定数）
・\(\{f(x) + g(x)\}' = f'(x) + g'(x)\)
・\(\{f(x) - g(x)\}' = f'(x) - g'(x)\)
(2) 積の微分公式
\(\{f(x)g(x)\}' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)\)
「前を微分・後ろそのまま ＋ 前そのまま・後ろ微分」と声に出してリズムで覚えるのがおすすめです！
(3) 商の微分公式
分数関数の微分には、次の公式を使います（分母が \(0\) でないとき）。
・\(\left\{ \frac{1}{g(x)} \right\}' = -\frac{g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)
・\(\left\{ \frac{f(x)}{g(x)} \right\}' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{\{g(x)\}^2}\)
分子の引き算の順序に注意しましょう。「分子の微分 \(\times\) 分母 － 分子 \(\times\) 分母の微分」です。
(4) 合成関数の微分法
\(y = f(u)\) かつ \(u = g(x)\) のとき、合成関数 \(y = f(g(x))\) の導関数は次のようになります。
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)、すなわち \(\{f(g(x))\}' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\)
外側の関数を微分してから、内側の関数の微分（塊の中身の微分）を掛け算します。
例：\(y = (2x + 1)^3\) を微分するとき
外側の微分：\(3(2x + 1)^2\)
内側の微分：\((2x + 1)' = 2\)
したがって、\(y' = 3(2x + 1)^2 \cdot 2 = 6(2x + 1)^2\)
【よくある間違い】中身の微分を掛け忘れる！
\(\{(3x - 1)^4\}'\) を \(4(3x - 1)^3\) で終わらせてしまうミスが多発します。必ず中身の微分である \(3\) を掛けて、\(12(3x - 1)^3\) としましょう。
3. いろいろな関数の導関数
数学Ⅲで新しく登場する関数の微分公式です。これらは定義式 \(\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) から導くことができます。
(1) 三角関数の導関数
・\((\sin x)' = \cos x\)
・\((\cos x)' = -\sin x\) （マイナスがつく点に注意！）
・\((\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}\) （商の微分公式から導けます）
(2) 自然対数と指数・対数関数の導関数
極限値 \(\lim_{h \to 0} (1+h)^{\frac{1}{h}} = e\) で定義される特別な数 \(e\)（ネイピア数、およそ \(2.71828\dots\)）を底とする対数を自然対数といい、単に \(\log x\)（底の \(e\) を省略）と書きます。
・\((e^x)' = e^x\) （微分しても形が変わらない不思議で美しい関数です！）
・\((a^x)' = a^x \log a\) （\(a > 0, a \neq 1\)）
・\((\log x)' = \frac{1}{x}\)
・\((\log_a x)' = \frac{1}{x \log a}\) （\(a > 0, a \neq 1\)）
合成関数との組み合わせで特によく使われる重要公式：
・\(\{\log |f(x)|\}' = \frac{f'(x)}{f(x)}\)
【豆知識】なぜ自然対数の底 \(e\) を使うの？
一般の底 \(a\) の指数関数 \(a^x\) を微分すると、後ろに余計な定数 \(\log a\) がくっついてきます。しかし、底を \(e\) に選ぶと \(\log e = 1\) となり、\((e^x)' = e^x\) という最もシンプルで扱いやすい形になります。自然現象の解析に極めて便利だから「自然」対数と呼ばれるのです。
4. 接線の方程式
曲線 \(y = f(x)\) 上の点 \((a, f(a))\) における接線の傾きは、微分係数 \(f'(a)\) です。数学Ⅱで学んだ直線の公式にそのまま当てはめることができます。
接線の方程式： \(y - f(a) = f'(a)(x - a)\)
接線を求める3つのパターン：
1. 接点の座標 \((a, f(a))\) が与えられているとき：そのまま公式に代入します。
2. 接線の傾き \(m\) が与えられているとき：\(f'(a) = m\) を解いて接点の \(x\) 座標 \(a\) を求めます。
3. 曲線外の点 \((x_0, y_0)\) から引いた接線：まず接点の座標を \((t, f(t))\) と仮定して接線の方程式を作り、それが点 \((x_0, y_0)\) を通るという条件から \(t\) を求めます。
5. 第二次導関数とグラフの凹凸・変曲点
導関数 \(f'(x)\) をさらにもう一度微分した関数を、第二次導関数といい、\(f''(x)\) や \(\frac{d^2y}{dx^2}\) と表します。
関数の増減・凹凸と導関数の関係
・\(f'(x) > 0\) の区間では、グラフは増加する（右上がり）
・\(f'(x) < 0\) の区間では、グラフは減少する（右下がり）
・\(f''(x) > 0\) の区間では、グラフは下に凸（谷の形、接線の傾きが増加していく）
・\(f''(x) < 0\) の区間では、グラフは上に凸（山の形、接線の傾きが減少していく）
変曲点（へんきょくてん）とは？
曲線が「上に凸」から「下に凸」、あるいは「下に凸」から「上に凸」へと切り替わる境目の点を変曲点といいます。
【ポイント】変曲点の求め方
1. \(f''(x) = 0\) となる \(x\) の値を求める。
2. その \(x\) の前後で \(f''(x)\) の符号が正から負、または負から正に変化していることを確認する。
両方を満たす点 \((a, f(a))\) が変曲点となります。
【よくある間違い】\(f''(a) = 0\) だけで変曲点と決めつける！
\(f'(a) = 0\) だからといって極値とは限らないのと同様に、\(f''(a) = 0\) であっても前後で符号が変わらなければ変曲点ではありません（例：\(f(x) = x^4\) における \(x = 0\) では \(f''(0) = 0\) ですが、常に \(f''(x) \ge 0\) なので変曲点ではなく下に凸のままです）。
6. 関数の増減・極値とグラフの描き方
数学Ⅲの関数のグラフを描くときは、次のステップで増減表を作成します。
ステップ1：定義域を確認する
分母 \(\neq 0\)、根号内 \(\ge 0\)、対数の真数 \(> 0\) などを最初に必ずチェックします。
ステップ2：\(f'(x)\) と \(f''(x)\) を計算する
\(f'(x) = 0\) および \(f''(x) = 0\) となる \(x\) を見つけます。
ステップ3：増減・凹凸表を作成する
増減表には \(x\)、\(f'(x)\)、\(f''(x)\)、\(f(x)\) の行を作ります。矢印の向きと曲がり具合で形状を表現します：
・\(f' > 0, f'' > 0\) \(\implies\) 下に凸で増加（右上がりの谷底側：\(\nearrow\) が下向きに湾曲）
・\(f' > 0, f'' < 0\) \(\implies\) 上に凸で増加（右上がりの山頂側：\(\nearrow\) が上向きに湾曲）
・\(f' < 0, f'' > 0\) \(\implies\) 下に凸で減少（右下がりの谷底側：\(\searrow\) が下向きに湾曲）
・\(f' < 0, f'' < 0\) \(\implies\) 上に凸で減少（右下がりの山頂側：\(\searrow\) が上向きに湾曲）
ステップ4：端点や無限遠の極限を確認してグラフを描く
漸近線（\(x \to \pm\infty\) や定義域の端での挙動）を調べ、滑らかに結びます。
7. 微分の応用：直線運動と平面運動の速度・加速度
微分法は物理的な「動き」を分析する強力なツールです。位置を時間 \(t\) で微分すると速度になり、速度をさらに時間 \(t\) で微分すると加速度になります。
(1) 直線上の運動
数直線上を動く点 \(\mathrm{P}\) の時刻 \(t\) における座標を \(x = f(t)\) とします。
・速度 \(v\)： \(v = \frac{dx}{dt} = f'(t)\)
・速さ： 速度の絶対値 \(|v|\)
・加速度 \(\alpha\)： \(\alpha = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2} = f''(t)\)
(2) 平面上の運動
座標平面上を動く点 \(\mathrm{P}\) の時刻 \(t\) における座標が \((x, y) = (f(t), g(t))\) と媒介変数表示されているとき：
・速度ベクトル \(\vec{v}\)： 成分表示で \(\vec{v} = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right)\)
・速さ（速度の大きさ）： \(|\vec{v}| = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\)
・加速度ベクトル \(\vec{\alpha}\)： 成分表示で \(\vec{\alpha} = \left(\frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2}\right)\)
・加速度の大きさ： \(|\vec{\alpha}| = \sqrt{\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2 + \left(\frac{d^2y}{dt^2}\right)^2}\)
【ポイント】「速度」と「速さ」の違い
日常会話では混同しやすいですが、数学や物理では明確に区別されます。
「速度」は向きを含む量（ベクトル）であり、負の値になることもあります。「速さ」はその大きさ（スカラー）なので、常に \(0\) 以上の値となります。
章のまとめ
・微分可能性：連続であっても微分可能とは限らない（尖点に注意）。
・計算公式：積の微分、商の微分、合成関数の微分は確実に使いこなせるように反復練習しましょう。
・超越関数の微分：三角関数・指数関数・対数関数の公式を正確に覚える。
・第2次導関数 \(f''(x)\)：グラフの凹凸と変曲点を調べるための必須アイテム。
・速度と加速度：位置 \(\xrightarrow{\text{微分}}\) 速度 \(\xrightarrow{\text{微分}}\) 加速度。速さは大きさ（絶対値）！
最初は計算量が多くて大変に感じるかもしれませんが、微分法は計算練習を重ねるほど確実に実力が伸びる単元です。基本公式をしっかり身につけて、自信を持って問題に挑んでいきましょう！