リスク計測の世界へようこそ！

皆さん、こんにちは！FRM Part Iの旅路において、最も重要な章の一つへようこそ。リスクを管理するためには、まずそのリスクを計測しなければなりません。この章は、いわば金融における「体温計」のようなものです。医師が患者の体温や心拍数を測って健康状態をチェックするように、リスク管理者はリターン、ボラティリティ（変動率）、相関をチェックして、ポートフォリオがどのような「状態」にあるのかを確認します。

最初は用語が数学的で難しく感じるかもしれませんが、大丈夫です。実社会の例を使いながら、噛み砕いてシンプルに解説していきます。この章を終える頃には、皆さんGARCHやEWMAについてプロのように語れるようになっているはずですよ！


1. リターン：離散的リターン vs 連続的リターン

リスクについて語る前に、まずはどれだけ儲かった（あるいは損した）のかを知る必要があります。ファイナンスでは、これをリターンと呼びます。

単純（離散的）リターン

これは学校で習うような馴染みのあるリターンです。ある株を100ドルで買い、110ドルになった場合、リターンは10%となります。
公式： \( R_t = \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}} \)

対数（連続複利）リターン

FRMの世界では、私たちは対数リターン（Log Returns）を愛用します。なぜなら、長期間にわたる計算が圧倒的に楽になるからです！対数リターンの系列があれば、それらを足し合わせるだけで期間全体の合計リターンを求めることができます。
公式： \( r_t = \ln(\frac{P_t}{P_{t-1}}) \)

クイック復習ボックス：なぜ対数リターンを使うのか？
• 時間加法性：日次の対数リターンを足し合わせることで、週次のリターンを簡単に計算できる。
• 正規分布：単純リターンよりも統計モデルに適合しやすい。

ありがちなミス：この二つを混同しないでください！試験で「連続複利リターン（continuously compounded return）」を求められたら、必ず電卓のln（自然対数）ボタンを使うことを忘れないでくださいね。


2. ボラティリティ：恐怖の尺度

ボラティリティ（標準偏差）は、株価が平均値からどれくらい「揺れ動く」かを示します。ボラティリティが高いということはリスクが高い（その分、リターンも大きくなる可能性がある）ことを意味し、低いということは値動きが穏やかで安定していることを意味します。

標準的な計算式：
歴史的には、平均からの乖離の二乗平均（分散 \(\sigma^2\)）を求めることで計算します：
\( \sigma^2 = \frac{1}{m-1} \sum_{i=1}^{m} (u_{n-i} - \bar{u})^2 \)

例え話：2人のドライバーを想像してみてください。ドライバーAは時速60マイルで一定走行します。ドライバーBは時速80マイルまで加速したり、40マイルまで減速したりを繰り返します。平均速度はどちらも60マイルですが、ドライバーBの方が「ボラティリティが高く」、リスクが高い運転をしていると言えます！

重要なポイント：リスク管理の実務では、計算を簡略化するために、ごく短期間（1日など）の場合、平均リターン（\(\bar{u}\)）をゼロと仮定することがよくあります。これはFRMの慣習として覚えておきましょう！


3. EWMA：直近のデータを重視する

標準的なボラティリティ・モデルでは、過去のすべてのデータを等しく重要視します。しかし、3年前の市場暴落が、昨日起きた出来事と同じくらい重要でしょうか？おそらくそうではないですよね！そこで登場するのが指数加重移動平均（EWMA）です。

コンセプト：直近のデータに最も大きなウェイト（重み）を置き、過去に遡るにつれてデータの重要性を「減衰（fade）」させていきます。

公式：
\( \sigma_n^2 = \lambda \sigma_{n-1}^2 + (1-\lambda) u_{n-1}^2 \)

記憶のコツ（「ラムダ」のルール）：
• \(\lambda\)（ラムダ）：日次データでは通常0.94（RiskMetricsの基準）。
• \(\lambda\) が大きい（1に近い）場合、ボラティリティはゆっくり変化します（「粘り強い」）。
• \(\lambda\) が小さい場合、ボラティリティは新しい情報に対して非常に敏感に反応します。

豆知識：EWMAは、これから学ぶGARCHモデルの「特殊なケース」にすぎません！


4. GARCH (1,1)：平均回帰の概念を取り入れる

EWMAが「クールな弟」なら、GARCH (1,1)は「洗練された兄貴」です。GARCHは「Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity（一般化自己回帰条件付不均一分散）」の略です（早口言葉のように3回言わなくても大丈夫ですよ！）。

最大の違い：GARCHは、ボラティリティがいずれ長期的な平均値に戻ると想定します。これを平均回帰（Mean Reversion）と呼びます。

GARCH (1,1) のレシピ：
分散は以下の3つの要素で構成されます：
1. 長期的な平均分散の加重（\(\omega\)）
2. 昨日起きた「ニュース」つまり二乗リターン（\(\alpha u_{n-1}^2\)）
3. 昨日予測されたボラティリティ（\(\beta \sigma_{n-1}^2\)）

公式：
\( \sigma_n^2 = \omega + \alpha u_{n-1}^2 + \beta \sigma_{n-1}^2 \)

重要な条件：モデルが安定し、平均値へ回帰するためには、\(\alpha + \beta\) が1未満でなければなりません。\(\alpha + \beta = 1\) となる場合は、実はEWMAモデルそのものになるんですよ！

重要なポイント：GARCHは「荒れた市場もいずれは落ち着き、平常時に戻る」という性質を考慮しているため、長期的な予測に適しています。


5. 相関と共分散：資産の共演

リスクとは、一つの株がどう動くかだけではなく、それらがどう連動して動くかという問題でもあります。これこそが分散投資の核心です。

共分散：関係性の方向を示します。プラスなら同じ方向に動き、マイナスなら逆方向に動くことを意味します。
相関（\(\rho\)）：共分散を「標準化」したもので、常に-1から+1の間に収まります。

相関の尺度：
• +1.0：完璧な調和。完全に同じ動きをします。
• 0：無関係。地下鉄で見知らぬ人同士のような関係です。
• -1.0：完璧な対照。一方が上がれば、もう一方は下がります。

計算のステップ：
相関（\(\rho_{xy}\)）を求めるには：
1. 共分散（\(Cov_{xy}\)）を計算する。
2. 2つの資産の標準偏差の積（\(\sigma_x \times \sigma_y\)）で割る。
\( \rho_{xy} = \frac{Cov_{xy}}{\sigma_x \sigma_y} \)

励ましのメッセージ：共分散の数式が難しく見えるかもしれませんが、単に「偏差の積の平均」だと覚えておいてください。両方の資産が「平均からどれだけ同じ方向にズレたか」をチェックしているだけなのです。


まとめ：全体を振り返って

• リターンが出発点です。加法性がある対数リターンが好まれます。
• ボラティリティはリスクの尺度です。市場の「恐怖」は時間とともに変化するため、EWMAやGARCHを使って予測します。
• EWMAはシンプルで反応が速く、GARCHはより複雑で長期平均への「引き戻し」を考慮します。
• 相関はポートフォリオが分散されているかを示します。全体のリスクを減らすには、相関の低い資産を組み合わせましょう！

試験への最後のアドバイス：EWMAやGARCHの式を使って「新しい」ボラティリティを計算する準備をしておいてください。試験では、「昨日の」データを与えて「今日の」ボラティリティ推定値を問う問題が非常によく出題されます。手順通りに式へ数値を代入すれば、きっと大丈夫です！頑張ってくださいね！