はじめに：「期待値」がなぜ重要なのか

これまでのCM1の章では、確実なキャッシュフローの現価（現在の価値）を計算する方法を学びました。しかし、生命保険の世界では確実なことなど一つもありません！被保険者がいつ亡くなるかは正確には分かりません。つまり、いつ死亡保険金を支払うことになるのか、あるいは年金をいつまで支払い続けることになるのかは予測不可能なのです。

この不確実性を扱うために、給付の現価（PV）を確率変数として扱います。この章では、この確率変数の「平均」である給付現価（EPV）と、それがどの程度ばらつくかを示す分散（Variance）の求め方を学びます。これは、実社会に存在するあらゆる保険商品の価格設定（プライシング）の基礎となる非常に重要な考え方です。

1. 確率変数：\(T_x\) と \(K_x\)

お金について考える前に、まずは「時間」について考える必要があります。\(x\) 歳の人があとどれくらい生きるかを測るには、主に2つの方法があります。

  • 連続型将来余命 \(T_x\)： 死亡するまでの正確な時間です。12.432年など、あらゆる値をとります。これは、死亡時に即時支払われる給付を計算する際に使用します。
  • 離散型将来余命 \(K_x\)： 死亡するまでに完了した満年数です。常に整数（例えば12.7年生存した場合、\(K_x = 12\)）となります。これは、死亡した年度の末に支払われる給付を計算する際に使用します。

2. 生命保険の給付現価（EPV）

保険のEPVとは、将来の死亡給付をカバーするために、保険会社が平均して今日いくら積み立てておく必要があるかを示す金額です。これらはしばしば保険料係数（Assurance Factors）と呼ばれます。

終身保険（Whole Life Assurance）

被保険者がいつ亡くなっても給付金が支払われます。
死亡した年度の末に支払われる場合、現価を表す確率変数は \(Z = v^{K_x+1}\) です。
EPVは \(A_x\) と表記されます：
\(A_x = E[v^{K_x+1}] = \sum_{k=0}^{\infty} v^{k+1} \cdot P(K_x = k) = \sum_{k=0}^{\infty} v^{k+1} \cdot {}_k|q_x\)

死亡時に即時支払われる場合、現価を表す確率変数は \(Z = v^{T_x}\) です。
EPVは \(\bar{A}_x\) と表記されます：
\(\bar{A}_x = E[v^{T_x}] = \int_{0}^{\infty} v^t \cdot f_x(t) dt\)

定期保険（Term Assurance）

\(n\) 年間という決められた期間内に死亡した場合のみ給付が支払われます。期間満了まで生存した場合は、給付はゼロです。
記号： \(A^1_{x:\overline{n|}}\) （\(x\) の上に「1」がついているのは、死亡が先に起こる必要があることを意味します）。
\(A^1_{x:\overline{n|}} = \sum_{k=0}^{n-1} v^{k+1} \cdot {}_k|q_x\)

生存保険（Pure Endowment）

定期保険の逆で、被保険者が \(n\) 年間生存した場合のみ給付が支払われます。
記号： \(A_{x:\overline{n|}}^{\ \ \ 1}\) （\(n\) の上に「1」がついているのは、\(n\) 時点での生存が条件であることを意味します）。
\(A_{x:\overline{n|}}^{\ \ \ 1} = v^n \cdot {}_n p_x\)

ワンポイント・アドバイス： これらは組み合わせることができます！養老保険（\(A_{x:\overline{n|}}\)）は、単に「定期保険 + 生存保険」で構成されています。
\(A_{x:\overline{n|}} = A^1_{x:\overline{n|}} + A_{x:\overline{n|}}^{\ \ \ 1}\)

3. 年金の給付現価（EPV）

年金は、被保険者が生存している間に定期的に支払われるものです。これらは年金現価係数（Annuity Factors）と呼ばれます。

期首払終身年金（Whole Life Annuity Due）

被保険者が生存している限り、毎年年初に1の給付が支払われます。
記号： \(\ddot{a}_x\)
\(\ddot{a}_x = \sum_{k=0}^{\infty} v^k \cdot {}_k p_x\)

極めて重要な関係式

CM1で最も重要な公式の一つに、保険と年金を結びつけるものがあります。こう考えてみてください。今日、あなたが1単位のお金を持っているなら、それをそのまま持ち続けることもできますし、利息分（\(d\)）の年金と引き換えにして、自分が死んだときにその1単位を（\(A_x\) として）受け取るように交換することもできる、という関係です。
\(A_x = 1 - d\ddot{a}_x\)
同様に、連続型の場合は： \(\bar{A}_x = 1 - \delta \bar{a}_x\)

ここがポイント： 年金の価値が分かれば、長い合計計算をしなくても、簡単に保険の価値を求めることができます（その逆も可能です）！

4. 分散の計算：「モーメントの法則」

現価の分散は、リスクについて教えてくれます。分散が大きい場合、実際のコストがEPVよりも大幅に高く（あるいは低く）なる可能性があることを意味します。

確率変数 \(Z\) の分散の公式は以下の通りです：
\(Var(Z) = E[Z^2] - (E[Z])^2\)

保険における \(E[Z^2]\) の求め方

素晴らしい近道があります！保険の「2次モーメント」（\(E[Z^2]\)）を求めるには、標準的なEPVの公式を使い、利力（\(\delta\)）を2倍にするだけでよいのです。これは、割引因子 \(v\) を2乗することと同じです。
記号： \({}^2 A_x\)

終身保険の分散を計算するステップ：
1. 利率 \(i\) で \(A_x\) を計算する。
2. \((1+i^*) = (1+i)^2\) となるような新しい利率 \(i^*\) を使い、同じ公式で \({}^2 A_x\) を計算する。
3. \(Var(Z) = {}^2 A_x - (A_x)^2\) を計算する。

注意：このテクニックは保険（Assurances）にのみ有効で、年金（Annuities）には直接使えません。年金の分散を求めるには、関係式 \(Z_{annuity} = \frac{1-Z_{assurance}}{d}\) を使って保険の形に変換してから計算します。

5. 生命表の活用：\(l_x\) と \(d_x\)

試験では、常に \({}_k p_x\) のような確率が与えられるとは限りません。生命表（Life Table）から数値を抽出する必要があります。

  • \(l_x\)： \(x\) 歳での生存者数。
  • \(d_x\)： \(x\) 歳から \(x+1\) 歳の間に死亡する人数（\(d_x = l_x - l_{x+1}\)）。
  • \({}_n p_x = \frac{l_{x+n}}{l_x}\) （\(n\) 年間生存する確率）。
  • \({}_n q_x = \frac{l_x - l_{x+n}}{l_x}\) （\(n\) 年以内に死亡する確率）。

よくある間違い

  • 年度末 vs 年度始： \(\ddot{a}_x\)（期首払年金）は時刻0から始まりますが、\(A_x\)（年度末払保険）は時刻 \(K_x + 1\) に支払われることを忘れないでください。
  • 2乗する対象の間違い： 分散を計算するとき、学生はよく利率を2乗（\(i^2\)）してしまいます。これは間違いです！ 2乗すべきなのは割引因子（\(v^2\)）であり、つまり \(i^* = (1+i)^2 - 1\) という新しい利率を使う必要があります。
  • 「1」を忘れる： 関係式 \(A_x = 1 - d\ddot{a}_x\) において、「1」を忘れないようにしましょう！これは保証された1単位の支払いの現価を象徴しています。

クイックレビュー

EPV： アクチュアリーにおける給付コストの「平均」。
保険料係数： \(A_x\)（年度末払）または \(\bar{A}_x\)（即時払）。
年金現価係数： \(\ddot{a}_x\)（期首払）または \(a_x\)（期末払）。
分散のコツ： 保険の2次モーメントを求めるには、利力を2倍にして計算した \({}^2 A_x\) を使用する。