イントロダクション：生存と時間の組み合わせ
この章では、年齢だけでなく確定期間にも依存する二生関数について学習します。これまでのCM1の学習では、単身者の契約評価や、2人の生存状況に依存する契約（連生および後生/最終生存者）の評価方法を学んできました。
現実の世界では、多くの保険商品は単に「一生涯」や「死亡するまで」続くわけではありません。多くの場合、確定期間（有期）が設定されています。例えば、ある夫婦が25年の住宅ローンを完済するまでの間だけ保障が続く生命保険を希望する場合や、年金の受取人がいつ亡くなったとしても、少なくとも10年間は支払いが保証されている年金などが挙げられます。この章では、2人の死亡率と確定期間 \(n\) を数学的に組み合わせる方法を学びます。
ご存知ですか？ これらの関数は、連生住宅ローンや家族収入保障といった複雑な商品の「基礎となる構成要素」です。これらをマスターすれば、CM1の「プライシングと責任準備金」のセクションがぐっと楽になりますよ！
1. 確定期間付きの「連生」状態
連生状態（\(xy\) と表記）は、両者が生存している間のみ継続することを思い出してください。ここに確定期間 \(n\) を加えると、以下の3つのイベントのうち、いずれか最初に発生したもので終了する状態が作られます。
1. \(x\) が死亡する。
2. \(y\) が死亡する。
3. 期間 \(n\) が経過する。
この組み合わされた状態を \(xy:\overline{n|}\) と表記します。これは、誰か一人（\(n\) 年という「時間」も含めて）がゴールラインを越えた時点で終了する、3者によるレースのようなものだと考えてください。
連生有期年金
有期年金は、状態 \(xy:\overline{n|}\) が継続している間、給付金を支払います。言い換えれば、両者が生存している間に支払われますが、その期間は最長で \(n\) 年間です。
公式：
\(a_{xy:\overline{n|}} = \sum_{t=1}^{n} v^t \cdot {}_t p_{xy}\)
（期末払を想定しています。期首払の場合は \(\ddot{a}_{xy:\overline{n|}}\) を使用し、和の範囲を \(t=0\) から \(n-1\) とします。）
重要な関係：
（生存の独立性を仮定すると）\({}_t p_{xy} = {}_t p_x \cdot {}_t p_y\) となることを覚えておきましょう。つまり、この状態が継続する確率は、単に両者の生存確率を掛け合わせたものになります。
連生養老保険
2人の連生養老保険は、第1死が発生した年度の末、または両者が生存して \(n\) 年が経過した時点のいずれか早い方に支払われます。
ロジック：
\(A_{xy:\overline{n|}} = A_{xy:\overline{n|}}^1 + A_{xy:\overline{n|}}^{\: \: \: 1}\)
ここで：
• \(A_{xy:\overline{n|}}^1\) は定期保険部分です（\(n\) 年以内に第1死が発生した場合に支払われます）。
• \(A_{xy:\overline{n|}}^{\: \: \: 1}\) は生存保険部分です（\(n\) 年時点で両者が生存している場合に支払われます）。これは \(v^n \cdot {}_n p_{xy}\) に等しくなります。
ポイント： 期間 \(n\) の連生状態は、単身者の期間 \(n\) の状態と全く同じように動作します。単に単身の生存確率 \({}_t p_x\) を、連生の生存確率 \({}_t p_{xy}\) に置き換えるだけです。
2. 確定期間付きの「後生（最終生存者）」状態
後生状態（\(\overline{xy}\) と表記）は、少なくとも一人が生存している限り継続します。ここに確定期間 \(n\) を加えると、状態 \(\overline{xy}:\overline{n|}\) は、最後の生存者が死亡したとき、または期間 \(n\) が経過したときのいずれか早い方で終了します。
これは後生有期年金でよく見られます。これは少なくとも一人が生存している限り支払われ続けますが、生存状況にかかわらず \(n\) 年後には停止します。
「Z法」（包除原理）
後生関数と確定期間を扱う際、問題を解く最も簡単な方法は包除原理を使用することです。任意の関数（これを \(f\) としましょう）について、以下の関係が成り立ちます。
\(f_{\overline{xy}:\overline{n|}} = f_{x:\overline{n|}} + f_{y:\overline{n|}} - f_{xy:\overline{n|}}\)
例：後生有期年金
\(\ddot{a}_{\overline{xy}:\overline{n|}} = \ddot{a}_{x:\overline{n|}} + \ddot{a}_{y:\overline{n|}} - \ddot{a}_{xy:\overline{n|}}\)
なぜこれでうまくいくのでしょうか？
2人に支払われる給付をイメージしてください。もし \(x\) に（\(n\) 年間）1件、\(y\) に（\(n\) 年間）1件の給付を支払うと、2人が共に生存している期間については「二重」に支払っていることになります。そこから連生年金（\(xy:\overline{n|}\)）を差し引くことで、その二重払い分を取り除き、いずれか一方が生存している限り正確に1回分の支払いが行われるように調整しているのです。
最初は難しく感じるかもしれませんが、大丈夫です！ 次のルールを覚えておきましょう：後生 ＝ 1人目 ＋ 2人目 － 連生。 このルールは、保険、年金、確率のすべてに適用できます。
3. 確定期間に依存する関数の特殊なケース
シラバスでは、確定期間に依存する関数を拡張知識として明確に挙げています。試験でよく出題される2つの応用例は、2人に関連する保証期間付年金と据置給付です。
2人の保証期間付年金
よくある契約として、確定期間 \(n\) と生存者の生存期間のいずれか長い方にわたって支払われる年金があります。これは \(\ddot{a}_{\overline{xy}:\overline{n|}}\) と表記されることもありますが、文脈が異なります。つまり、状態が \(n\) 年間は確実に継続し、さらに \(x\) または \(y\) が生き残っている限り継続するという意味です。
\(n\) 年保証付き \(\ddot{a}_{\overline{xy}}\) のステップ・バイ・ステップの論理：
1. 確実な部分を評価する：\(\ddot{a}_{\overline{n|}}\) （これは標準的な確定年金です）。
2. 「条件付き」の部分を加える：誰かが生存している場合に \(n\) 年経過後に発生する支払いです。
3. これは次のように表されます：\(\ddot{a}_{\overline{n|}} + v^n \cdot {}_n p_{\overline{xy}} \cdot \ddot{a}_{\overline{x+n:y+n}}\)
（あるいはより単純に：\(\ddot{a}_{\overline{n|}} + {}_n|\ddot{a}_{\overline{xy}}\)）。
据置連生給付
据置年金 \({}_n|\ddot{a}_{xy}\) は、「\(n\) 年間待ちます。その時点で両者が生存していれば、連生年金の支払いを開始する」という意味です。
公式：
\({}_n|\ddot{a}_{xy} = v^n \cdot {}_n p_{xy} \cdot \ddot{a}_{x+n:y+n}\)
よくある間違いを避けましょう：
確率の扱いに注意してください！据置連生年金の場合、据置期間を両者が生き残る必要があります。一方、据置後生年金の場合は、少なくとも一人が生き残ればよいことになります。
4. 重要な公式のまとめ
この章で最も重要な関係式のクイックレビューです。
1. 確率の関係：
\({}_t p_{\overline{xy}:\overline{n|}}\) は、\(t \le n\) かつ誰かが生存していれば1です。通常、私たちは状態の生存に注目します。連生状態 \(xy:\overline{n|}\) が時刻 \(t\) でまだアクティブである確率は以下の通りです：
• \(t < n\) のとき \({}_t p_{xy}\)
• \(t \ge n\) のとき \(0\)
2. 年金の関係：
\(\ddot{a}_{xy:\overline{n|}} = \ddot{a}_{xy} - {}_n|\ddot{a}_{xy}\)
（有期年金とは、全期生存年金から、不要な据置部分を差し引いたものです）。
3. 後生の「Z」ルール：
計算をスッキリさせるために、確定期間 \(n\) が関わる場合は常に後生 ＝ X ＋ Y － 連生を使用しましょう。
5. 試験に向けた実践的なアドバイス
ヒント1：タイミングを慎重に読み取る！
支払いは第1死のときですか、それとも第2死のときですか？確定期間はありますか？記号をガイドにしましょう。年齢の上に線があれば（\(\overline{xy}\)）、それは後生です。状態の上に「1」があれば（例：\(A_{xy:\overline{n|}}^1\)）、その特定の状態が最初に「終了」した場合にのみ支払われます。
ヒント2：Excel（Paper B）での効率化
CM1Bでは、\({}_t p_x\) と \({}_t p_y\) の表を作成することがよくあります。連生版を作成するには、それらを掛け合わせた列（\({}_t p_{xy} = {}_t p_x \cdot {}_t p_y\)）を作るだけです。有期版にするには、単に \(n\) 行目で合計を止めればOKです。
ヒント3：「少なくとも一人」のロジック
問題で「\(n\) 年の時点で少なくとも一人が生存している確率」を求められた場合、それは単に \({}_n p_{\overline{xy}} = {}_n p_x + {}_n p_y - {}_n p_x \cdot {}_n p_y\) です。あるいはもっと簡単に：\(1 - (1 - {}_n p_x)(1 - {}_n p_y)\)、つまり「\(1 - (\text{両者とも死亡している確率})\)」で求められます。
まとめ： 二生関数に確定期間 \(n\) を加えても、保険数理の根本的なロジックは変わりません。それは単に、合計や積分の範囲が \(\infty\) ではなく \(n\) に制限されることを意味します。後生については包除原理を使い、契約が「連生」（第1死で終了）か「後生」（第2死で終了）かを常に確認するようにしましょう。