イントロダクション：バラバラの要素を一つに
ようこそ！これまでのCM1の学習では、単一の現金を将来へ、あるいは過去へと評価時点を移動させる方法を学んできました。しかし、現実世界の金融プロジェクトで、支払いがたった一度きりということは滅多にありません。年金基金、建設プロジェクト、あるいはローンなどを思い浮かべてみてください。これらには、異なるタイミングで流入・流出する「お金の流れ（ストリーム）」が伴います。
この章では、こうした一般的なキャッシュフロー・ストリームを評価する方法を学びます。これは、シラバスに登場するほぼすべての金融商品の価格設定に使用する「価値の方程式（Equation of Value）」の基礎となる、極めて重要なスキルです。支払いが断続的（離散的）であっても、水のようにスムーズ（連続的）であっても、また利率が一定であっても変動していても、基本的な考え方は同じです。
1. 離散的キャッシュフロー：各パーツの合計
離散的キャッシュフロー・ストリームは、特定の時点で支払われる個別の支払いで構成されます。例えば、今日100ドル、1年後に200ドル、5年後に500ドルを受け取るようなケースです。
現在価値 (PV)
ストリーム全体の現在の価値を求めるには、各支払いを時点 \(t=0\) まで割り引き、それらを合計します。時点 \(t_1, t_2, ..., t_n\) における支払いを \(c_1, c_2, ..., c_n\) とすると、現在価値（PV）は以下のようになります。
\(PV = \sum_{j=1}^{n} c_j v^{t_j}\)
ここで、 \(v = (1+i)^{-1}\) は現価係数（割引因子）です。
終価 (AV)
将来の特定の時点 \(T\) における価値を求めるには、すべての支払いをその時点まで複利で運用します。
\(AV = \sum_{j=1}^{n} c_j (1+i)^{T-t_j}\)
ヒント： まずPVを計算し、その合計に \((1+i)^T\) を掛けることでもAVを求めることができます。試験ではこの方法の方が圧倒的に早く計算できることが多いですよ！
例：実効利率5%の場合において、時点1で100ポンド、時点3で200ポンドを受け取る場合のPVを求めなさい。
\(PV = 100(1.05)^{-1} + 200(1.05)^{-3}\)
\(PV = 95.24 + 172.77 = 268.01\)
2. 連続的キャッシュフロー：お金の「流れ」
支払いの頻度が非常に高い場合、それを連続的な流れとしてモデル化することがあります。大企業の毎日の売上や、個人の公共料金の支払いなどをイメージしてください。これには、通常 \(\rho(t)\) と表記される支払率関数を使用します。
この場合、合計（\(\sum\)）の代わりに、積分（\(\int\)）を使って、これら無限に小さい支払いを「足し合わせ」ます。
連続的ストリームの現在価値
お金が時点 \(a\) から時点 \(b\) まで率 \(\rho(t)\) で流れており、利力が一定の \(\delta\) である場合、PVは以下のようになります。
\(PV = \int_{a}^{b} \rho(t) e^{-\delta t} dt\)
なぜ \(e^{-\delta t}\) なのか？ 前の章で学んだ通り、 \(v^t = e^{-\delta t}\) だからです。連続的な計算においては、実効利率 \(i\) を使うよりも、利力 \(\delta\) を使う方がはるかに簡単です。
試験でよくあるパターン： 支払率が一定（例：\(\rho(t) = 100\)）の場合、定数を積分の外に出すことができます。
\(PV = 100 \int_{a}^{b} e^{-\delta t} dt\)
- 離散的（Discrete）： \(\sum\)（総和）を使用。決まった日付の支払いに適しています。
- 連続的（Continuous）： \(\int\)（積分）を使用。支払いの「率」を扱うのに適しています。
3. 変動利率への対応
現実の世界では、利率が永遠に固定されていることはありません。シラバスでは、時間の経過とともに利率が変化するケースを扱う必要があります。
離散的な変化
最初の2年間は利率が \(i_1\)、その後が \(i_2\) である場合、段階的に割り引く必要があります。
例：時点5で支払われる1,000ドルの価値を求めなさい。利率は0〜2年が4%、2〜5年が6%とします。
ステップ1：時点5から時点2まで割り引く： \(1,000 \times (1.06)^{-3}\)
ステップ2：その結果をさらに時点2から時点0まで割り引く： \([1,000 \times (1.06)^{-3}] \times (1.04)^{-2}\)
連続的な変化（利力の変化）
利力が時間の関数 \(\delta(t)\) である場合、単純に \(e^{-\delta t}\) を掛けることはできません。累積蓄積因子を使用する必要があります。
時点 \(T\) における支払い \(C\) のPVは以下の通りです。
\(PV = C \times \exp\left(-\int_{0}^{T} \delta(s) ds\right)\)
そして、時点 \(0\) から \(n\) までの連続的ストリーム \(\rho(t)\) のPVは以下のようになります。
\(PV = \int_{0}^{n} \rho(t) \exp\left(-\int_{0}^{t} \delta(s) ds\right) dt\)
焦らなくて大丈夫です！ 見た目は難しそうですが、CM1の試験では \(\delta(s)\) は通常、簡単に積分できる単純な関数（定数や単純な一次式など）であることがほとんどです。
4. 複合ストリームと据置期間
実際の問題では、複数の要素が組み合わさったケースによく直面します。例えば、「最初の2年間は支払いなし（据置）、その後3年間は一定額の支払いがあり、最後に一時金が支払われる」といったプロジェクトです。
攻略のための戦略：
- タイムラインを描く： これが最も重要なステップです。すべての支払いと利率の変化をタイムライン上に書き込みましょう。
- 問題を分割する： 連続的な部分と離散的な部分を別々に計算します。
- 日付を再確認する： ストリームが \(m\) 年間据え置かれている場合、まず支払期間の開始時点（時点 \(m\)）での価値を計算し、その後、その単一の値を時点0まで割り引きます。
据置ストリームの例：
年額500ドルのストリームが時点5で始まり、時点10で終わる場合。
1. まず時点5における価値を求めます。
2. その価値に \(v^5\) を掛けて、時点0の価値を求めます。
5. 注意すべき落とし穴
- 利率の不一致： 利率の期間と支払いの頻度が一致しているか確認してください。支払いが月払いの場合は、月単位で計算するのが最も簡単なことが多いです。
- 積分の範囲ミス： 積分を行う際は、範囲（下端と上端）を再確認しましょう。支払いが「2年目の終わり」に始まる場合、それは時点 \(t=2\) を指します。
- 計算機のエラー： \(\exp(-\int \delta dt)\) を計算するときは、まず積分の結果を出してから、指数関数（exp）を適用するようにしましょう。
まとめと重要なポイント
ポイント 1： キャッシュフローの現在価値とは、将来の支払いを正確に再現するために、与えられた利率で今日投資する必要がある金額のことです。
ポイント 2： 離散的キャッシュフローの場合、 \(PV = \sum C_t v^t\) となります。連続的キャッシュフローの場合、 \(PV = \int \rho(t) v^t dt\) となります。
ポイント 3： 利率が変動する場合、現価係数 \(v^t\) は積分形式の \(\exp(-\int_0^t \delta(s) ds)\) に置き換わります。
ポイント 4： 複雑な問題は、常に管理しやすい小さなパーツに分解しましょう。各パーツのPVを計算し、最後にそれらを合計すればよいのです。
次の章からは、これらの一般原則を年金（Annuities）と呼ばれる特定の標準的な支払いパターンに当てはめていきます。もし試験で年金の公式を忘れてしまっても、この「一般キャッシュフローの基本原則」に立ち返れば、必ず答えを導き出せますよ！