連続型分布への導入

CS1の学習において、最も重要な章の一つへようこそ！前章では、事故の件数などの「数える」対象を扱う離散型分布について学習しました。ここからは、対象を「測る」連続型の世界へと進みます。例えば、次の自動車事故が発生するまでの正確な時間や、保険金の具体的な支払い額などを思い浮かべてください。これらの値は（124.50や124.5023...のように）どのような値でも取り得るため、連続型分布を使ってモデル化します。

最初は難しく感じるかもしれませんが、大丈夫です！ 数学的には微積分が登場しますが、核心となる考え方はシンプルです。私たちはある範囲におけるデータの「形状」を見ているだけなのです。このノートを読み終える頃には、将来を予測するために使われるアクチュアリーの「道具箱」である様々な分布に親しみを感じているはずです。

注：モーメントの計算方法や積率母関数については「モーメントと累積母関数」の章を、これらの変数を生成するための「逆関数法」については「ポアソン過程とシミュレーション」の章を参照してください。

1. 基本：PDFとCDF

連続型の世界では、確率変数 \(X\) がちょうど一つの特定の値をとる確率は、常にゼロとなります：\(P(X = x) = 0\)。その代わりに、\(X\) がある範囲に収まる確率について考えます。

  • 確率密度関数 (PDF), \(f(x)\): これは曲線の「高さ」を表します。この曲線の下側の全面積は1に等しくなければなりません。
  • 累積分布関数 (CDF), \(F(x)\): これは \(X\) がある値 \(x\) 以下になる確率です。数学的には：\(F(x) = P(X \le x)\) と表されます。

ワンポイント・アドバイス： 2点 \(a\) と \(b\) の間の確率を求めるには、単純に \(F(b) - F(a)\) を計算します。

2. 一様分布

一様分布は、最も単純な連続型分布です。範囲 \([a, b]\) 内の同じ長さの区間であれば、どこでも等しく発生することを前提としています。完全にバランスの取れた回転盤をイメージしてください。0.1で止まる確率も0.9で止まる確率も、全く同じです。

\(X \sim U(a, b)\) の主な性質：

  • PDF: \(a \le x \le b\) において \(f(x) = \frac{1}{b-a}\)
  • 期待値: \(E(X) = \frac{a+b}{2}\) （ちょうど真ん中の値です！）
  • 分散: \(Var(X) = \frac{(b-a)^2}{12}\)

3. 指数分布

指数分布は「待ち時間」の分布です。アクチュアリーは、カスタマーサービスセンターへの2つの電話の間の時間など、独立して起こるイベントの間隔をモデル化するためにこれを使用します。

\(X \sim Exp(\lambda)\) の主な性質：

  • PDF: \(x > 0\) において \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\)
  • CDF: \(F(x) = 1 - e^{-\lambda x}\)
  • 期待値: \(E(X) = \frac{1}{\lambda}\)
  • 分散: \(Var(X) = \frac{1}{\lambda^2}\)

知っていましたか？ 指数分布には「無記憶性」という性質があります。これは、保険金の請求が来るのをすでに10分待っていたとしても、さらにあと5分待つ確率は、今待ち始めたばかりの時と全く同じであるということを意味します！（注：これは連続型分布の中では指数分布だけのユニークな特徴です）。

4. 正規分布

正規分布、あるいは「ベルカーブ（鐘形曲線）」は、統計学で最も有名な分布です。左右対称で、平均（\(\mu\)）と分散（\(\sigma^2\)）によって定義されます。

\(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) の主な性質：

  • 期待値: \(E(X) = \mu\)
  • 分散: \(Var(X) = \sigma^2\)
  • 標準化: 次の公式を使って、\(X\) を標準正規変数 \(Z \sim N(0, 1)\) に変換することがよくあります：\(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\)

よくある間違い： 公式 \(Z = \frac{X - \mu}{\sigma}\) を使うとき、\(\sigma\) は標準偏差（分散の平方根）であることを忘れないでください。平方根をとるのを忘れてしまう受験生が非常に多いので注意しましょう！

5. 対数正規分布

ある変数の自然対数が正規分布に従う場合、その変数自体は対数正規分布に従います。保険実務では、損害額のモデル化に非常によく使われます。これは分布が「歪んで」おり、稀に発生する非常に高額な請求を表す「右側に長い裾」を持っているためです。

定義： \(Y \sim N(\mu, \sigma^2)\) ならば、\(X = e^Y\) は対数正規分布となります。

6. ガンマ分布

ガンマ分布は、指数分布よりも柔軟な分布です。指数分布が「最初の」イベントが発生するまでの時間をモデル化するのに対し、ガンマ分布は「\(n\) 番目」のイベントが発生するまでの時間をモデル化できます。

パラメータ： 通常、形状パラメータ（\(\alpha\)）とレートパラメータ（\(\lambda\)）を持ちます。

  • 期待値: \(E(X) = \frac{\alpha}{\lambda}\)
  • 分散: \(Var(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2}\)

注：\(\alpha = 1\) の場合、ガンマ分布は実のところ指数分布と同じになります！

7. ベータ分布

ベータ分布は、通常 \([0, 1]\) という固定された区間で定義されるユニークな分布です。そのため、特定の再保険契約でカバーされる損失の割合など、比率やパーセンテージをモデル化するのに最適です。

8. 統計的推論のための分布

以下の3つの分布は、主にデータの「検定」を行う際に使用されます。これらはシラバスの統計的推論のセクションでより詳しく学習します。

  • カイ二乗分布 (\(\chi^2\)): ガンマ分布の特殊なケースです。モデルがデータにどの程度適合しているかを調べる検定（適合度検定）に使用されます。
  • t分布: 正規分布に似ていますが、より「裾が厚い」のが特徴です。サンプルサイズが小さく、母集団の真の分散が未知の場合に使用します。
  • F分布: 主に2つの異なる分散を比較し、それらに有意な差があるかどうかを判断するために使用されます。

9. 分位点と確率の求め方

CS1の試験では、確率（例：\(P(X < 10)\)）や分位点（例：\(P(X < x) = 0.95\) となるような値 \(x\)）を求めることが求められます。

ペーパーA（筆記／数表）

ペーパーAでは、多くの場合Formulae and Tables（数表）を使用します。正規分布については、「ファイ」関数 \(\Phi(z)\) を引いて確率を見つけます。他の分布については、CDFの公式を直接使う必要があるかもしれません。

ペーパーB（Rの使用）

Rを用いた試験（CS1B）では、標準的なコマンドを使用します。すべての分布には接頭辞が付いています：

  • p（probability）：累積分布関数 (CDF) 用。例：pnorm(x, mean, sd)
  • q（quantile）：分位点用。例：qexp(0.95, rate)
  • r（random）：乱数生成用。例：rgamma(100, shape, rate)

重要なまとめ

  • 連続型変数は、数えるものではなく「測る」ものである。
  • 正規分布は、左右対称な分布の基準となる。
  • 対数正規分布とガンマ分布は、「歪んだ」保険金請求データのモデル化に不可欠である。
  • 指数分布は待ち時間のモデル化の定番であり、ユニークな無記憶性を持つ。
  • 分位点と確率は、ペーパーAでは数表、ペーパーBではRの関数を使って求める。

よく頑張りました！ 連続型確率における主要な「登場人物」をマスターしましたね。これらの分布間のつながりを練習し続けてください。それらはアクチュアリー統計学のほぼすべての基礎となります。