Value at Risk, Tail Value at Risk, and risk measure properties

リスク指標の世界へようこそ！

Exam FAMの学習を進める中で、皆さんは損害額（Severity）と発生頻度（Frequency）を用いて損失をモデル化する方法を学んできました。しかし、それらのモデルが手元にあるとき、私たちは実際にどのように「リスク」を測定すればよいのでしょうか？保険会社は、破綻を避けるために正確にいくらの現金を銀行に蓄えておくべきか、どのように判断するのでしょうか？

この章では、VaR (Value at Risk：バリュー・アット・リスク)、TVaR (Tail Value at Risk：テール・バリュー・アット・リスク)、そしてリスク指標が「優れている」とみなされるための正式な特性（これらを「コヒーレント」と呼びます）について学びます。難しそうな金融用語に聞こえるかもしれませんが、心配はいりません。その本質は、パーセンタイル（百分位数）と平均値を少し工夫して見ているだけなのです！

1. VaR (Value at Risk)

VaR (Value at Risk) とは、簡単に言えば損失分布における特定のパーセンタイルのことです。もし \(VaR_{0.95}\) を求めるよう求められたら、損失がその金額未満である確率が95%であり、それを超える確率がわずか5%であるような金額を探していることになります。

計算式

損失の確率変数 \(X\) について、信頼水準 \(p\) におけるVaRは次のように表されます：
\(VaR_p(X) = \pi_p = F_X^{-1}(p)\)
ここで、\(\pi_p\) は分布の \(100p^{th}\) パーセンタイルです。

日常的な例え

通勤時間を想像してみてください。あなたの通勤時間の95パーセンタイル（VaR）が45分であると言われたら、それは「95%の日は45分以内に職場に着ける」ことを意味します。事故や雪などの「最悪の」5%の日だけが、45分以上の時間がかかるというわけです。

よくある間違い

確率と金額の混同： VaRはパーセンテージではなく、金額（損失額）です。もし \(p = 0.99\) であれば、VaRはその99パーセンタイルの地点における「金額」であり、0.99そのものではありません。

クイック復習：VaR

• とは何か？ パーセンタイル（\(\pi_p\)）のこと。
• 何を教えてくれる？ 最悪の \(1-p\) ケースを除いた、予想される最大損失。
• 計算方法： 連続分布であれば、\(F(x) = p\) を解いて \(x\) を求めるだけです。

2. TVaR (Tail Value at Risk)

VaRは優れていますが、弱点もあります。それは、閾値（VaR）を超えた損失が「どれほどひどいものか」を考慮しない点です。TVaR (Tail Value at Risk) はこれを解決します。「もし最悪の5%のケースに入ってしまったら、予想される損失の平均値はいくらか？」という問いに答えるものです。

計算式

TVaRは、損失がVaRを超えたという条件付きの、損失の期待値です：
\(TVaR_p(X) = E[X | X > VaR_p(X)]\)
連続分布の場合、次のように計算することもできます：
\(TVaR_p(X) = \frac{1}{1-p} \int_{p}^{1} VaR_u(X) du\)

便利な計算ショートカット

試験中、面倒な積分は避けたいものです。代わりに以下の関係式を使いましょう：
1. 平均超過損失関数 \(e(d)\) を使う場合：
\(TVaR_p(X) = VaR_p(X) + e(VaR_p(X))\)
2. 限定期待値 \(E[X \wedge x]\) を使う場合：
\(TVaR_p(X) = VaR_p(X) + \frac{E[X] - E[X \wedge VaR_p(X)]}{1-p}\)

豆知識： TVaRは、他の金融の教科書では「期待ショートフォール（Expected Shortfall）」や「条件付きVaR（CVaR）」と呼ばれることもあります！

クイック復習：TVaR

• とは何か？ 分布の「テール（裾）」における平均損失。
• 重要な洞察： \(TVaR_p(X)\) は常に \(VaR_p(X)\) 以上である。
• 覚え方のコツ： VaRは危険地帯の「境界線」、TVaRは危険地帯の「平均値」。

3. リスク指標の特性（コヒーレンス）

1990年代後半、数学者たちはリスク指標（\(\rho\)）が「論理的」あるいは「コヒーレント（整合的）」であるためには、4つの特定のルールに従う必要があると定義しました。これらは試験でよく問われるポイントです！

1. 劣加法性（Translation Invariance）※原文の訳語注意：平行移動不変性

\(\rho(X + c) = \rho(X) + c\)
簡単な意味： ポートフォリオに \(c\) ドルの確定した損失を加えると、合計のリスク指標も正確に \(c\) だけ増加します。

2. 正の斉次性（Positive Homogeneity）

\(\rho(cX) = c\rho(X)\) （\(c > 0\) のとき）
簡単な意味： ポートフォリオの規模を2倍にすれば（損失も2倍になる）、リスク指標も2倍になります。ここには規模による「割引」や「割増」はありません。

3. 劣加法性（Subadditivity）

\(\rho(X + Y) \leq \rho(X) + \rho(Y)\)
簡単な意味： 分散投資は素晴らしい！ 2つのリスクを合わせた合計のリスクは、個々のリスクの和以下になるべきです。
重要ポイント： VaRは常に劣加法性を満たすとは限りません。 これが、多くの専門家がVaRよりもTVaRを好む理由です。TVaRは劣加法性を満たします。

4. 単調性（Monotonicity）

すべての可能な結果に対して \(X \leq Y\) であれば、\(\rho(X) \leq \rho(Y)\) である。
簡単な意味： 損失Bが常に損失Aよりも大きいなら、Bのリスク指標はAよりも高くなければなりません。

覚え方： 4つの特性を覚えるには、「MSPT」を思い出してください：Monotonicity（単調性）、Subadditivity（劣加法性）、Positive Homogeneity（正の斉次性）、Translation Invariance（平行移動不変性）。（「My Stats Professor is Tough：私の統計の教授は厳しい」と覚えるといいですよ！）

重要なポイント

リスク指標がこれら4つすべての特性を満たすとき、それはコヒーレント（整合的）であると言われます。TVaRはコヒーレントですが、VaRは（劣加法性を満たさないことがあるため）コヒーレントではありません。

4. 一般的な分布の扱い

試験では、特定の分布についてVaRやTVaRを計算する問題がよく出ます。最も一般的な2つの分布の「カンニングペーパー」を以下に示します：

正規分布

もし \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\) なら：
• \(VaR_p(X) = \mu + \sigma \cdot \Phi^{-1}(p)\)
• \(TVaR_p(X) = \mu + \sigma \cdot \frac{\phi(\Phi^{-1}(p))}{1-p}\)
（ここで \(\phi\) は標準正規分布のPDF、\(\Phi^{-1}\) は表から読み取るzスコアです）。

指数分布

もし \(X \sim Exp(\theta)\) （\(\theta\) は平均）なら：
• \(VaR_p(X) = -\theta \ln(1-p)\)
• \(TVaR_p(X) = VaR_p(X) + \theta\)
注意：これは指数分布が「無記憶性」を持っているため、閾値を超えた分の平均額は常に平均値 \(\theta\) となるからです！

要約表：VaR vs. TVaR

VaR：
- 論理：「最悪の5%のケースにおける最小の損失はいくらか？」
- 計算：単純なパーセンタイル。
- コヒーレントか？ いいえ（劣加法性を満たさない）。
- 情報：極端なテールの深刻さを無視する。

TVaR：
- 論理：「最悪の5%のケースにおける平均的な損失はいくらか？」
- 計算：条件付き期待値。
- コヒーレントか？ はい。
- 情報：テールがどれほど重いかを考慮する。

練習を続けましょう！リスク指標は、表記法さえ乗り越えれば、Exam FAMの中でもかなり「直感的」な分野の一つです。あなたならきっと大丈夫！