デュレーションの世界へようこそ！

Exam FMの勉強をしている皆さんなら、金利が上がると債券価格が下がることはすでにご存知ですよね。でも、アクチュアリーや投資マネージャーにとっての大きな疑問は、「どれくらい価格が変わるのか？」ということです。まさにその疑問を測るために役立つのがデュレーションです。

デュレーションは、一連のキャッシュフローの「感応度」や「変動性」を測るための指標だと考えてください。年金基金を管理する場合でも、単純な債券ポートフォリオを運用する場合でも、デュレーションを理解することは金利リスクを管理する鍵となります。今はまだ少し抽象的に感じるかもしれませんが、大丈夫です。これから分かりやすく噛み砕いて説明していきますね！

1. マコーレー・デュレーション：「重心」

長い木の板を指先でバランスをとって支える場面を想像してみてください。両端に重いおもりがあれば、バランスをとるための「重心」が決まりますよね。マコーレー・デュレーション（\(D_{mac}\)）は、キャッシュフローの系列における時間的な「重心」と言えるものです。

これは、キャッシュフローを受け取るまでの期間の加重平均です。期間を金額で重み付けするのではなく、各キャッシュフローの現在価値（PV）で重み付けをします。

計算式

時点 \(t\) における支払い \(R_t\) がある場合、マコーレー・デュレーションは以下のようになります。

\(D_{mac} = \frac{\sum t \cdot v^t \cdot R_t}{\sum v^t \cdot R_t}\)

おっと、難しく考えないで！分母の \(\sum v^t \cdot R_t\) は、資産の価格（P）そのものです。つまり、こうなります。

\(D_{mac} = \frac{\sum t \cdot PV(R_t)}{Price}\)

身近な例え

毎年クーポンを支払う10年債を考えてみましょう。あなたは10年後までずっと待つわけではありません。1年後に一部を受け取り、2年後にも一部を受け取ります。マコーレー・デュレーションは、平均すると（例えば）8.2年待てば投資価値を回収できることを教えてくれる指標なのです。

マコーレー・デュレーションの重要な性質

1. ゼロクーポン債：満期 \(n\) で支払われるゼロクーポン債の場合、マコーレー・デュレーションはちょうど \(n\) になります。支払いが1回しかないため、「平均」の時間はその支払日そのものになるからです。
2. クーポン債：満期前にクーポンを支払う債券では、マコーレー・デュレーションは必ず満期までの期間より短くなります。
3. 金利の影響：金利 \(i\) が上昇すると、マコーレー・デュレーションは減少します（将来の支払いがより強く割り引かれるため、相対的に早い時期の支払いの比重が大きくなるからです）。

クイック復習： マコーレー・デュレーション ＝ 時間の加重平均。単位は年（または時間単位）で表されます。

2. モディファイド・デュレーション：感応度のゲージ

マコーレー・デュレーションが時間に関する指標であるのに対し、モディファイド・デュレーション（\(D_{mod}\)）は価格の変化に関する指標です。金利が1%変化したときに、価格が何%変化するかを測定します。

両者の関係

この2つの間には、非常にシンプルな数学的関係があります。\(i\) を実効年利率とすると：

\(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1+i} = v \cdot D_{mac}\)

注意：年 \(m\) 回複利の公称金利が与えられている場合は、\(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1 + \frac{i^{(m)}}{m}}\) となります。

なぜ使うのか？

モディファイド・デュレーションの主な用途は、価格変化の線形近似です。

\(\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta i\)

例： モディファイド・デュレーションが7の債券で、金利が0.5%（0.005）上昇した場合、債券価格は約 \(7 \cdot 0.005 = 3.5\%\) 下落します。

豆知識： 式にマイナス記号がついているのは、価格と金利が逆方向に動くからです。金利が上がれば、価格は下がる！

3. ステップ・バイ・ステップ：デュレーションの計算方法

長い数式に怖気づく必要はありません。Exam FMのデュレーション問題は、以下のステップで解きましょう。

ステップ1： 時点 \(t\) とキャッシュフロー \(R_t\) を書き出す。
ステップ2： 与えられた金利を使って、各キャッシュフローの現在価値（PV）を計算する。
ステップ3： それらのPVを合計して、価格（P）を求める。
ステップ4： 各支払いについて、PVに時点 \(t\) を掛ける。これらを合計して \(\sum t \cdot PV(R_t)\) を出す。
ステップ5： ステップ4の値を価格で割る。これがマコーレー・デュレーションです。
ステップ6： モディファイド・デュレーションを求めたい場合は、答えを \((1+i)\) で割る。

よくある間違い： 最後に価格で割るのを忘れる学生が非常に多いです。デュレーションは平均であることを忘れずに。合計の「重み」（価格）で割る必要があります。

4. ポートフォリオのデュレーション

デュレーションの素晴らしい点の一つは、組み合わせが簡単だということです。複数の債券で構成されるポートフォリオがある場合、一から計算し直す必要はありません。

ポートフォリオのデュレーションは、個々の資産のデュレーションの加重平均であり、その重みは各資産の時価（Market Value）になります。

\(D_{port} = \sum w_j \cdot D_j\)

ここで \(w_j = \frac{Price_j}{Total Price}\) です。

例： 債券Aに400ドル（デュレーション=3）、債券Bに600ドル（デュレーション=8）を投資している場合。
合計価値 = 1,000ドル。
\(D_{port} = (\frac{400}{1000} \cdot 3) + (\frac{600}{1000} \cdot 8) = 1.2 + 4.8 = 6.0\)。

5. まとめと要点

Exam FMのためのデュレーションの核心部分を網羅しました。覚えておくべきことは以下の通りです。

1. マコーレー・デュレーション (\(D_{mac}\))： キャッシュフローの時間的加重平均。「バランスポイント」と覚えよう。
2. モディファイド・デュレーション (\(D_{mod}\))： 金利変化に対する価格の感応度（％）。「変動性」と覚えよう。
3. 両者の関係： \(D_{mod} = \frac{D_{mac}}{1+i}\)。
4. 価格予測： \(\Delta P \approx -P \cdot D_{mod} \cdot \Delta i\)。
5. ゼロクーポン債のルール： ゼロクーポン債のマコーレー・デュレーションは、満期までの期間そのもの。

試験に向けた最後のヒント： どちらのデュレーションを使うか指定されていない場合は、単位を見てください。「パーセント変化」と言われていればモディファイド、「平均時間」と言われていればマコーレーです。あなたならきっと大丈夫！