Present value using a yield curve from spot and forward rates

変動金利の世界へようこそ！

これまで、皆さんはキャッシュフローを評価する際に単一の利率（\( i \)）を使用してきたことでしょう。計算はシンプルで済みますが、現実世界はもう少し複雑です。アクチュアリー科学や金融の実務において、金利は通常、キャッシュフローが「いつ」発生するかによって決まります。これを金利の期間構造（Term Structure of Interest Rates）と呼びます。

この章では、スポットレート（直物金利）とフォワードレート（先渡金利）を使ってキャッシュフローを評価する方法を学びます。これらの用語が難しそうに聞こえても心配はいりません！本編を終える頃には、これらが結局同じ「お金の価格」を異なる視点で見ているだけだということが分かるはずです。それでは、さっそく見ていきましょう！

1. スポットレート（直物金利）の理解

スポットレートとは、将来の特定の時点で行われる単一の支払いに対して、現時点で適用される年利のことです。通常、\( t \) 年後のスポットレートを \( s_t \) と表記します。

コンセプト：「ゼロクーポン債」（満期まで利払いがない債券）を買う場面を想像してください。1年満期の債券を買う場合の金利は \( s_1 \)、5年満期の債券を買う場合は \( s_5 \) です。通常、これらの金利は一致しません！

イールドカーブ：横軸を「期間」、縦軸を「金利」にしてスポットレートをグラフにプロットした線をイールドカーブ（利回り曲線）と呼びます。
• 順イールド（Normal Yield Curve）：期間が長くなるにつれて金利が上昇する（投資家は、お金を長く拘束される分、より高い報酬を求めるため）。
• 逆イールド（Inverted Yield Curve）：長期金利が短期金利を下回る状態。

スポットレートを用いた現在価値（PV）の計算

異なるタイミングで複数のキャッシュフローが発生する場合、単一の \( i \) を使うことはできません。代わりに、各キャッシュフローをその時点のスポットレートで割り引く必要があります。

公式：
\( PV = \frac{CF_1}{(1+s_1)^1} + \frac{CF_2}{(1+s_2)^2} + \dots + \frac{CF_n}{(1+s_n)^n} \)

例：1年後に100ドル、2年後に200ドルを受け取る約束があるとします。スポットレートは \( s_1 = 3\% \)、\( s_2 = 4\% \) です。
\( PV = \frac{100}{1.03} + \frac{200}{(1.04)^2} = 97.09 + 184.91 = 282.00 \)

クイック復習：
• スポットレート (\( s_t \))：今日から時点 \( t \) までの「点と点をつなぐ」投資の金利。
• 重要ルール：必ずキャッシュフローが発生するタイミングに対応したスポットレートを使うこと。

2. フォワードレート（先渡金利）の理解

フォワードレートとは、将来開始され、一定期間継続するローンや投資に対して、今日合意される金利のことです。

アナロジー：スポットレートを今日から3年目までの「直行便」だと考えてください。フォワードレートは、乗り継ぎ便の「片方の区間」のようなものです。具体的には、3年目の1年間限定で得られる金利を指します。

表記の注意：表記法は様々ですが、Exam FMでは以下が一般的です：
• \( f_t \)：通常、時点 \( t \) から \( t+1 \) までの1年間のフォワードレートを表します。
• \( f[t_1, t_2] \)：時点 \( t_1 \) に始まり、\( t_2 \) に終わる期間の年利を表します。

スポットレートとフォワードレートの関係

この2つの間には非常に重要な数学的関係があります。「裁定取引」（タダで儲けること）を防ぐため、2年間のスポットレートで2年間運用した結果と、1年目のスポットレートで1年間運用し、その後もう1年分を1年フォワードレートで運用した結果は一致しなければなりません。

「黄金の式」：
\( (1+s_t)^t = (1+s_{t-1})^{t-1} \times (1 + f_{t-1, t}) \)

シンプルにしましょう！
2年目の1年フォワードレート（\( f_1 \)）を求めるには：
\( (1+s_2)^2 = (1+s_1) \times (1+f_1) \)

計算の手順：
1. 長期期間の全体成長率をとる：\( (1+s_2)^2 \)。
2. 第1期間の成長率で割る：\( (1+s_1) \)。
3. 最後に1を引いて金利を出す。

豆知識：スポットレート \( s_2 \) が \( s_1 \) よりも高い場合、平均を押し上げるためには、フォワードレート \( f_1 \) は両方よりも高くなければなりません！

3. フォワードレートを用いたPVの計算

1年ごとのフォワードレートの列が与えられている場合、レートの連鎖を後ろから遡るように1年ずつ割り引くことでPVを求められます。

プロセス：
時点3のキャッシュフローを時点0に割り引く場合：
\( PV = \frac{CF_3}{(1+s_1)(1+f_1)(1+f_2)} \)

例：時点2に500ドルの支払いがあります。\( s_1 = 5\% \)、時点1から始まる1年フォワードレート \( f_1 = 7\% \) が与えられています。
\( PV = \frac{500}{(1.05)(1.07)} = 445.03 \)

重要なポイント：
• スポットレートは時点0からの旅の全行程を見る。
• フォワードレートは旅の個々の区間を見る。
• それ以前のすべてのフォワードレートがあれば、任意のスポットレートを構築できる。

4. よくある間違いと回避策

最初は難しく感じるかもしれませんが、大丈夫です。多くの学生が表記に混乱します。注意すべき落とし穴は以下の通りです：

1. 期間の混同：フォワードレートが「3年目に対する金利」（時点2から3までをカバー）なのか、「3年後に始まる金利」なのかを常に再確認してください。
2. 指数の忘れ：スポットレートを使う際は、必ず指数 \( t \) を使わなければなりません。1年フォワードレートを連鎖させる場合、複数の \( (1+f) \) を掛け合わせますが、各項の指数は通常1です。
3. 「年実効利回り」の誤解：この章では、特に断りがない限り、ほぼすべての利率が年実効利回りで示されます。「半年複利の名目利率」が出てきたら、まずは年実効利回りに変換すると計算が楽になります！

5. まとめと簡易公式シート

PVを求めるスポットレート公式：
\( PV = \sum \frac{CF_t}{(1+s_t)^t} \)

フォワードレートとの関係：
\( (1+s_n)^n = (1+f_{0,1})(1+f_{1,2})\dots(1+f_{n-1,n}) \)
（注：\( f_{0,1} \) は \( s_1 \) の別名です）

一般的な関係式：
時点 \( m \) から時点 \( n \) までの期間については：
\( (1+s_n)^n = (1+s_m)^m \times (1+f_{m,n})^{n-m} \)

試験の成功へのヒント：試験中にスポットレートの表が与えられ、フォワードレートを問われたら、タイムラインを描きましょう！「全期間の成長」（長期のスポットレート）と「既知の成長」（短期のスポットレート）を書き込みます。その「埋めるべき隙間」こそがフォワードレートです。

大丈夫、あなたならできます！これらの利率の関係を理解することは、Exam FMの「一般キャッシュフロー」セクションをマスターするための大きな一歩です。