The Poisson distribution: แบบฝึกหัด

某客戶服務中心平均每小時收到2個查詢電話。假設查詢電話的數量服從泊松分佈。求在某小時內恰好收到3個查詢電話的概率。

某工廠生產的燈泡中，每盒出現次品的數目服從泊松分佈，其平均值為 \(\lambda\)。已知在一盒中恰好有 2 個次品的概率是恰好有 4 個次品的概率的 3 倍。求在隨機抽取的一盒中，次品數目為 1 或 2 的概率。（答案須準確至四位小數。）

設 \(X\) 及 \(Y\) 為兩個獨立的隨機變量，且分別服從參數為 \(\lambda\) 及 \(2\lambda\) 的泊松分佈，其中 \(\lambda > 0\)。已知 \(Var(X) + [E(Y)]^2 = 18\)。求 \(P(X+Y \le 2 \mid X+Y \ge 1)\) 的值。（答案須準確至四位小數。）

某便利店平均每分鐘有 \(1.2\) 名顧客進入。假設進入便利店的顧客人數服從泊松分佈。求在隨機選取的 \(1\) 分鐘內，沒有顧客進入的概率。（答案須準確至四位小數。）

已知隨機變量 \(X\) 服從泊松分佈。若 \(3P(X=1) = P(X=2)\)，求 \(P(X=3)\) 的值。（答案須準確至四位小數。）

某電郵伺服器平均每分鐘收到5封垃圾郵件。假設垃圾郵件的數量服從泊松分佈。

求該伺服器在某一分鐘內恰好收到2封垃圾郵件的概率。

某系統平均每小時發生 \(\lambda\) 次故障，且故障次數服從泊松分佈。若已知在一小時內恰好發生 \(1\) 次故障的概率是恰好發生 \(2\) 次故障的概率的 \(4\) 倍。求 \(\lambda\) 的值及其在三小時內發生故障次數的方差。

某高速公路路段平均每週發生 \(2\) 宗嚴重事故。假設事故次數服從泊松分佈。已知在隨機選取的某兩週內，發生事故的總數少於 \(4\) 宗，求該兩週內完全沒有事故發生的概率。（答案須準確至四位小數。）

某客戶服務熱線平均每小時接到 3 個電話。假設每小時接到的電話數量服從泊松分佈。

(a) 求在一個小時內剛好接到 2 個電話的概率。
(b) 求在一個小時內最多接到 1 個電話的概率。
(c) 求在一個小時內最少接到 3 個電話的概率。

某工廠生產布料，布料上的瑕疵數目服從泊松分佈。假設每 \(100\) 平方米的布料平均有 \(\lambda\) 個瑕疵。

(a) 已知在隨機選取的 \(100\) 平方米布料中，恰好有 \(1\) 個瑕疵的概率與恰好有 \(2\) 個瑕疵的概率相等。求 \(\lambda\) 的值。(1分)

(b) 求在隨機選取的 \(300\) 平方米布料中，至少有 \(3\) 個瑕疵的概率。答案須準確至四位小數。(3分)

(c) 假設該工廠生產了 \(50\) 塊 \(100\) 平方米的布料。求預期有多少塊布料是完全沒有瑕疵的。答案須準確至四位小數。(1分)