歡迎來到多邊形的世界！
在這一章，我們會探索構成這個世界的各種形狀——從蜂巢的圖案到課室的地磚。我們稱這些形狀為多邊形 (polygons)。讀完這份筆記後，你將學會如何計算任何多邊形的內角和外角，甚至學會如何將它們鑲嵌在一起！
1. 甚麼是多邊形？
多邊形 (polygon) 是由三條或以上的直線線段組成的平面封閉圖形。
- 邊 (Sides)： 組成形狀的直線。
- 頂點 (Vertices)： 兩條邊相交的「角」。
- 內角 (Interior Angles)： 多邊形內部的角。
正多邊形 (Regular Polygons)
如果一個多邊形符合以下條件，就稱為正多邊形：
- 所有邊的長度相等。
- 所有內角的大小相等。
例子：等邊三角形是具有 3 條邊的正多邊形；正方形是具有 4 條邊的正多邊形。
小貼士：如果一個形狀有曲線邊（例如圓形）或者不是封閉的，它就不是多邊形！
2. 內角和
通過從一個頂點向其他頂點畫線（稱為對角線），我們可以將任何多邊形分割成多個三角形。由於一個三角形的內角和是 \(180^\circ\)，我們可以藉此找出任何多邊形的總內角和。
公式
對於任何一個有 \(n\) 條邊的多邊形，其內角和為：
總和 \( = (n - 2) \times 180^\circ\)
為什麼是 \(n - 2\)？
就算覺得這公式有點難記也不要緊！只要記住：如果你有一個四邊形，你可以把它分成 \(4 - 2 = 2\) 個三角形。由於每個三角形有 \(180^\circ\)，所以總和就是 \(2 \times 180^\circ = 360^\circ\)。
正多邊形的內角
因為正多邊形的所有角都相等，所以你可以將總和除以邊數 \(n\)，來找出一個內角的大小：
每個內角 \( = \frac{(n - 2) \times 180^\circ}{n}\)
重點筆記：要找出內角和，只需數數邊數，減去 2，然後乘以 \(180^\circ\)。
3. 外角和
如果你「延長」多邊形的邊，就會形成外角。對於任何凸多邊形（所有「角」都向外指的多邊形），有一個重要的規則：
外角和永遠是 \(360^\circ\)。
不論多邊形是有 3 條邊還是 100 條邊，如果你繞著外面走一圈，你剛好轉了一個完整的圓圈，即是 \(360^\circ\)。
正多邊 service 的外角
對於一個有 \(n\) 條邊的正多邊形：
每個外角 \( = \frac{360^\circ}{n}\)
你知道嗎？在任何頂點，內角 + 外角 = \(180^\circ\)，因為它們位於一條直線上。（這與你學過的「角與平行線」章節有關！）
常見錯誤：同學有時會忘記外角和是固定在 \(360^\circ\) 的，而試圖使用包含 \(n\) 的複雜公式。記住：外角總和永遠是 360！
4. 鑲嵌（非基礎課題）
鑲嵌 (Tessellation) 是指用一個或多個幾何圖形覆蓋平面，且圖形之間沒有重疊，也沒有縫隙。
哪些圖形可以鑲嵌？
- 三角形和四邊形： 任何三角形或任何四邊形（即使是不規則的！）都可以鑲嵌平面。
- 正多邊形： 只有三種正多邊形可以單獨進行鑲嵌：
- 等邊三角形
- 正方形
- 正六邊形（就像蜂巢一樣！）
為什麼？ 圖形要完美拼合在一點，在該頂點相匯的所有角之和必須剛好是 \(360^\circ\)。
5. 幾何作圖（非基礎課題）
只使用圓規和直尺（沒有刻度的尺），我們就能繪畫出完美的規則圖形。
構造等邊三角形
- 畫一條線段 \(AB\)。
- 將圓規針尖放在 \(A\) 點，以 \(AB\) 為半徑畫一條弧。
- 將圓規針尖放在 \(B\) 點，以相同的半徑畫另一條弧。
- 兩弧相交之處即為 \(C\) 點。連接 \(AC\) 和 \(BC\)。
構造正六邊形
正六邊形非常特別，因為它的邊長等於其外接圓的半徑！先畫一個圓，然後用相同的半徑在圓周上連續標記，你就能完美地找出 6 個頂點。
總結清單
快速複習：
- 正多邊形： 所有邊和角都相等。
- 內角和： \((n - 2) \times 180^\circ\)。
- 外角和： 永遠是 \(360^\circ\)。
- 一個外角（正多邊形）： \(\frac{360^\circ}{n}\)。
- 鑲嵌： 沒有縫隙的拼貼（三角形、正方形和六邊形都可行！）。
繼續努力練習！多邊形是幾何學的基礎。如果你覺得公式很難記，試試畫一個正方形 (\(n=4\)) 來測試公式——它得出的結果永遠會是 \(360^\circ\)！