二項式定理：练习题

若 \((1 + x)^n\) 的展開式中，\(x^2\) 的係數為 \(21\)，求正整數 \(n\) 的值。

設 $$(1+x)^n$$ 的二項式展開為 $$C_0 + C_1 x + C_2 x^2 + \dots + C_n x^n$$，其中 $$C_r = \binom{n}{r}$$。求以下總和的值：
$$C_0 + 2C_1 + 3C_2 + \dots + (n+1)C_n$$

已知 \(C^n_0 + C^n_1 + C^n_2 + \dots + C^n_n = 64\)，求 \(n\) 的值。

在 \((1 + x + x^2)(1 - x)^6\) 的展開式中，求 \(x\) 的係數。

考慮展開式 \((2x - \frac{1}{x})^6\)。

(a) 求展開式中一般項。

(b) 求展開式中獨立於 \(x\) 的項。

(c) 在 \((3+x^2)(2x - \frac{1}{x})^6\) 的展開式中，求 \(x^2\) 的係數。

考慮展開式 \((1+ax)(1-x)^n\)，其中 \(n\) 是一個正整數，而 \(a\) 是一個常數。

(a) 若 \(n=4\)，求展開式中 \(x^2\) 的係數。

(b) 若已知展開式中 \(x\) 的係數為 \(1\)，而 \(x^2\) 的係數為 \(-20\)，求 \(n\) 及 \(a\) 的值。