M2 向量应用
同学们！欢迎来到《向量应用》的学习笔记。你已经学会了什么是向量，以及如何进行加法和乘法等基本运算。现在，让我们发掘它们真正的威力！在本章中，我们将看到向量不仅是抽象的箭头，更是解决二维和三维空间中实际几何问题的强大工具。我们将学习如何找出角度、投影、计算面积与体积、检测共面性等等。
如果这听起来很复杂，请不要担心。我们将所有内容分解成简单、一步步的教学。想象一下，这就像为你的数学工具箱增添新工具一样。事不宜迟，现在就开始吧！
1. 分割线段
想象一下，你有一条由 \(A\) 点到 \(B\) 点的线段。如果你想找出线上某一点 \(P\) 的确切坐标呢？这就是分点公式派上用场的地方了，它非常有用！
内分点
这是最常见的情况。我们想找出位于 \(A\) 和 \(B\) 之间的一个 \(P\) 点，它以 \(m : n\) 的比例内分线段 \(AB\)。
设 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 分别为 \(A\) 点和 \(B\) 点的位置向量。点 \(P\)（它以 \(m : n\) 的比例内分 \(AB\)）的位置向量由以下公式给出：
分点公式（内分点）：
\( \vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n} \)
记忆法：“交叉相乘”技巧
要记住这个公式，你可以这样想：比例中的 \(n\) 会乘以向量 \(\vec{a}\)（离它较远的那个），而比例中的 \(m\) 会乘以向量 \(\vec{b}\)（另一个离它较远的那个）。然后，你再除以比例之和 (\(m+n\))。
例子：设 \(A = (1, 2, 3)\) 和 \(B = (5, 6, 7)\)。求将 \(AB\) 以 \(1 : 3\) 内分的点 \(P\)。步骤1：找出你的向量和比例。
\(\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}\), \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}\)
\(m = 1\), \(n = 3\)
步骤2：套用公式。
\( \vec{p} = \frac{3\vec{a} + 1\vec{b}}{1+3} = \frac{3\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + 1\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}}{4} \)
步骤3：计算结果。
\( \vec{p} = \frac{\begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix}}{4} = \frac{\begin{pmatrix} 8 \\ 12 \\ 16 \end{pmatrix}}{4} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \)
所以，\(P\) 点的坐标是 \((2, 3, 4)\)。
一个特殊情况：中点
中点只不过是将线段以 \(1 : 1\) 比例分割的点。如果我们将 \(m=1\) 和 \(n=1\) 代入公式：
\( \vec{p} = \frac{1\vec{a} + 1\vec{b}}{1+1} = \frac{\vec{a} + \vec{b}}{2} \)
这就只是两个位置向量的平均值！
外分点
当点 \(P\) 位于穿过 \(A\) 和 \(B\) 的直线上，但位于线段 \(AB\) 的外部，且满足 \(AP : PB = m : n\) 时，它外分 \(AB\)。公式为：
分点公式（外分点）：
\( \vec{p} = \frac{-n\vec{a} + m\vec{b}}{m-n} \quad (m \neq n) \)
重点归纳
要找出将线段 \(AB\) 以 \(m:n\) 比例内分的点 \(P\)，请使用公式 \( \vec{p} = \frac{n\vec{a} + m\vec{b}}{m+n} \)。对于外分点，只需将 \(n\) 替换为 \(-n\)。
2. 平行与正交（垂直）
向量让检查直线或方向之间的关系变得非常容易。它们是平行的吗？它们是垂直的吗？让我们来探讨。
平行向量
两个向量是平行的，如果它们指向同一方向或完全相反的方向。想象地图上的两条平行街道。
规则：两个非零向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 平行，若其中一个是另一个的标量倍数。
\( \vec{a} = k \vec{b} \)
这里，\(k\) 只是一个非零实数（一个标量）。
・如果 \(k > 0\)，它们方向相同。
・如果 \(k < 0\)，它们方向相反。
例子：向量 \(\vec{a} = 2\mathbf{i} + 4\mathbf{j} - 6\mathbf{k}\) 和 \(\vec{b} = -3\mathbf{i} - 6\mathbf{j} + 9\mathbf{k}\) 平行吗？让我们看看是否能找到一个 \(k\)，使得 \(\vec{a} = k\vec{b}\)。
比较 \(\mathbf{i}\) 分量：\(2 = k(-3) \implies k = -2/3\)
比较 \(\mathbf{j}\) 分量：\(4 = k(-6) \implies k = -2/3\)
比较 \(\mathbf{k}\) 分量：\(-6 = k(9) \implies k = -2/3\)
由于所有分量的 \(k\) 值都相同，所以这两个向量是平行的！因为 \(k\) 是负数，所以它们指向相反方向。
正交（垂直）向量
如果两个向量之间的夹角是 \(90^\circ\)，则它们是正交的（即垂直）。
规则：两个非零向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 正交当且仅当它们的点积为零。
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \)
为什么会这样呢？
还记得点积公式吗？\(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\)。如果夹角 \(\theta\) 是 \(90^\circ\)，那么 \(\cos(90^\circ) = 0\)。这使得整个点积为零！
例子：证明向量 \(\vec{u} = 3\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + \mathbf{k}\) 和 \(\vec{v} = 4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} - 2\mathbf{k}\) 是正交的。我们只需要计算它们的点积。
\( \vec{u} \cdot \vec{v} = (3)(4) + (-2)(5) + (1)(-2) = 12 - 10 - 2 = 0 \)
由于点积是 \(0\)，所以这些向量是正交的。
重点归纳
平行检测：是 \(\vec{a} = k\vec{b}\) 吗？（分量是否成比例？）
垂直检测：是 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\) 吗？（点积是否为零？）
3. 求两向量之间的夹角
我们刚才使用点积来检查 \(90^\circ\) 夹角，但我们可以用它来找出两个向量之间的“任意”角度。这是点积最强大的一个应用。
通过重新排列点积公式，我们得到：
\( \cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|} \)
求夹角的分步指南
步骤1：计算点积 (\(\vec{a} \cdot \vec{b}\))。
步骤2：计算每个向量的大小（模长） (\(|\vec{a}|\) 和 \(|\vec{b}|\))。
步骤3：将这三个值代入公式 以求出 \(\cos\theta\)。
步骤4：使用计算器上的反余弦函数 (\(\theta = \arccos(\dots)\)) 来找出夹角 \(\theta\)。
步骤1：点积
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (2)(6) + (2)(-3) + (-1)(2) = 12 - 6 - 2 = 4 \)
步骤2：大小（模长）
\( |\vec{a}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3 \)
\( |\vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-3)^2 + 2^2} = \sqrt{36+9+4} = \sqrt{49} = 7 \)
步骤3：公式
\( \cos\theta = \frac{4}{(3)(7)} = \frac{4}{21} \)
步骤4：找出夹角
\( \theta = \arccos\left(\frac{4}{21}\right) \approx 79.0^\circ \)
两个向量之间的夹角约为 \(79.0^\circ\)。
快速回顾
夹角公式： \( \theta = \arccos\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}\right) \)
4. 向量投影
什么是投影呢？想象一下太阳在正上方。你在地面上的投影就是你“投射”到地面上的影像。在向量中，我们做的事情也类似。将向量 \(\vec{a}\) 投影到向量 \(\vec{b}\) 上，就像找出 \(\vec{a}\) 沿着 \(\vec{b}\) 的方向所形成的“投影”。
投影分为两种：标量投影和向量投影。
标量投影（投影的长度）
这会告诉你沿着 \(\vec{b}\) 方向的投影的带符号大小或长度。它是一个标量数值。
向量 \(\vec{a}\) 投影到 \(\vec{b}\) 上的标量投影公式是：
\( \text{comp}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \)
向量投影（作为向量的投影）
这会给你实际的投影向量。它既有大小也有方向。
要获得这个向量，我们取其长度（标量投影）并乘以沿着 \(\vec{b}\) 方向的单位向量（即 \(\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}\)）。
向量 \(\vec{a}\) 投影到 \(\vec{b}\) 上的向量投影公式是：
\( \text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\right) \frac{\vec{b}}{|\vec{b}|} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\right)\vec{b} \)
常见错误警示！
当将 \(\vec{a}\) 投影到 \(\vec{b}\) 上时，分母中的向量永远是 \(\vec{b}\)。你所投影“到”的向量决定了方向，并会出现喺分母中。
例子：求 \(\vec{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}\) 投影到 \(\vec{b} = 4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 6\mathbf{k}\) 上的标量投影和向量投影。步骤1：找出点积以及 \(\vec{b}\) 的大小（模长）。
\( \vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(4) + (2)(5) + (3)(6) = 4 + 10 + 18 = 32 \)
\( |\vec{b}| = \sqrt{4^2 + 5^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 25 + 36} = \sqrt{77} \)
步骤2：计算标量投影。
\( \text{标量投影} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} = \frac{32}{\sqrt{77}} \)
步骤3：计算向量投影。
我们还需要 \(|\vec{b}|^2 = 77\)。
\( \text{向量投影} = \left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\right)\vec{b} = \frac{32}{77}(4\mathbf{i} + 5\mathbf{j} + 6\mathbf{k}) = \frac{128}{77}\mathbf{i} + \frac{160}{77}\mathbf{j} + \frac{192}{77}\mathbf{k} \)
重点归纳
投影就像找出向量的投影。
・标量投影： \(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}\)
・向量投影： \(\left(\frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}\right)\vec{b}\)
5. 平行四边形与三角形的面积
我们可以使用向量积（又称叉积）直接计算三维空间中的面积。
平行四边形的面积
由两个不平行的向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 所张成的平行四边形，其面积由向量积的大小（模长）给出：
\( \text{平行四边形面积} = |\vec{a} \times \vec{b}| \)
三角形的面积
由于邻边为 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 的三角形只是由这些向量形成的平行四边形的一半，因此其面积为：
\( \text{三角形面积} = \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| \)
例子：求顶点为 \(P(1, 1, 1)\)、\(Q(2, 3, 4)\) 和 \(R(4, 3, 2)\) 的三角形面积。步骤1：找出具有共同顶点（例如 \(P\)）的两个向量。
\( \vec{PQ} = (2-1)\mathbf{i} + (3-1)\mathbf{j} + (4-1)\mathbf{k} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k} \)
\( \vec{PR} = (4-1)\mathbf{i} + (3-1)\mathbf{j} + (2-1)\mathbf{k} = 3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + \mathbf{k} \)
步骤2：计算向量积 \(\vec{PQ} \times \vec{PR}\)。
\( \vec{PQ} \times \vec{PR} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} \)
\( = \mathbf{i}(2\cdot 1 - 3\cdot 2) - \mathbf{j}(1\cdot 1 - 3\cdot 3) + \mathbf{k}(1\cdot 2 - 2\cdot 3) = -4\mathbf{i} + 8\mathbf{j} - 4\mathbf{k} \)
步骤3：找出大小（模长）。
\( |-4\mathbf{i} + 8\mathbf{j} - 4\mathbf{k}| = \sqrt{(-4)^2 + 8^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 64 + 16} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} \)
步骤4：除以 2。
\( \text{面积} = \frac{1}{2}(4\sqrt{6}) = 2\sqrt{6} \)
6. 标量三重积与体积
标量三重积结合了三个向量 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 和 \(\vec{c}\) 的点积与叉积：
\( \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} \)
平行六面体的体积
如果平行六面体的三条共顶点棱由向量 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 和 \(\vec{c}\) 表示，其体积 \(V\) 由它们的标量三重积的绝对值给出：
\( V = |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| \)
四面体的体积
具有共顶点棱 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 和 \(\vec{c}\) 的四面体，其体积等于相应平行六面体体积的 \(\frac{1}{6}\)：
\( V = \frac{1}{6} |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| \)
共面向量
三个非零向量 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 和 \(\vec{c}\) 位于同一平面上（即共面），当且仅当它们构成的立体体积为零：
\( \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0 \)
例子：检验向量 \(\vec{a} = \mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}\)、\(\vec{b} = 2\mathbf{i} + 3\mathbf{j} + 4\mathbf{k}\) 及 \(\vec{c} = 3\mathbf{i} + 4\mathbf{j} + 5\mathbf{k}\) 是否共面。计算标量三重积：
\( \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \end{vmatrix} \)
\( = 1(15 - 16) - 2(10 - 12) + 3(8 - 9) = 1(-1) - 2(-2) + 3(-1) = -1 + 4 - 3 = 0 \)
由于标量三重积为 \(0\)，因此向量 \(\vec{a}\)、\(\vec{b}\) 和 \(\vec{c}\) 是共面的。
重点总结表
・三角形面积： \( \frac{1}{2} |\vec{a} \times \vec{b}| \)
・平行六面体体积： \( |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| \)
・四面体体积： \( \frac{1}{6} |\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})| \)
・共面条件： \( \vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = 0 \)