M2 章节：行列式 - 您的终极复习指南！
大家好！欢迎来到行列式的复习笔记。您可能好奇：“究竟什么是行列式呢？”不用担心，它并没有听起来那么恐怖！
您可以将行列式想象成一个特别的标量值，我们可以从任何方阵（例如 \(2 \times 2\) 或 \(3 \times 3\) 的数字方格）计算出来。这个单一的数字非常强大。它可以告诉我们一个矩阵是否有逆矩阵、线性方程组是否有唯一解，以及更多用途。在这一章，我们将会解开如何计算行列式以及应用其性质的秘密！
什么是行列式？基本概念
行列式是一个标量值，由方阵的元素计算出来。
重点：
• 行列式只适用于方阵（例如 \(2 \times 2\)、\(3 \times 3\) 等）。您不能找到非方阵（例如 \(2 \times 3\)）的行列式。
• 矩阵 \(A\) 的行列式记作 \(\det(A)\) 或 \(|A|\)。
常见错误提示！
当您见到 \(|A|\) 的时候，它代表矩阵 \(A\) 的行列式。它不是指矩阵的绝对值。
二阶行列式 (\(2 \times 2\) 矩阵)
对于一般的 \(2 \times 2\) 矩阵 \(A\)：
\(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)
行列式的计算方法是：将主对角线（左上到右下）的元素相乘，然后减去另一条对角线（右上到左下）元素的乘积。
公式：
\(\det(A) = |A| = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc\)
记忆法：“落山 - 上山”法则
1. 将“落山”对角线（↘）上的数字相乘：\(a \times d\)
2. 将“上山”对角线（↗）上的数字相乘：\(b \times c\)
3. 计算：落山减上山
逐步示范：
找出矩阵 \(B\) 的行列式：
\(B = \begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\)
1. 识别 \(a, b, c, d\)：在这里，\(a = 4\)，\(b = 2\)，\(c = 1\)，\(d = 3\)。
2. “落山”乘积 (\(ad\))： \(4 \times 3 = 12\)
3. “上山”乘积 (\(bc\))： \(2 \times 1 = 2\)
4. 相减： \(\det(B) = 12 - 2 = 10\)
三阶行列式 (\(3 \times 3\) 矩阵)
对于 \(3 \times 3\) 矩阵，有两种主要的计算方法：余子式展开法（余子式及代数余子式展开法）和萨鲁斯法则。
方法一：余子式展开法（代数余子式展开法）
这个方法将一个 \(3 \times 3\) 的行列式分解为较小的 \(2 \times 2\) 行列式。它可以沿着任何一行或任何一列展开。
符号棋盘
位于第 \(i\) 行第 \(j\) 列的代数余子式符号由 \((-1)^{i+j}\) 给出：
\(\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}\)
逐步计算过程（沿第一行展开）：
我们来找出矩阵 \(C\) 的行列式：
\(C = \begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 7 \\ 4 & 6 & 2 \end{pmatrix}\)
1. 第一个元素 (\(1\))：
• 符号是 \(+\)。
• 余子式：\(\begin{vmatrix} 4 & 7 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} = (4)(2) - (7)(6) = 8 - 42 = -34\)
• 第一项：\((+1) \times (-34) = -34\)
2. 第二个元素 (\(5\))：
• 符号是 \(-\)。
• 余子式：\(\begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 4 & 2 \end{vmatrix} = (2)(2) - (7)(4) = 4 - 28 = -24\)
• 第二项：\((-5) \times (-24) = 120\)
3. 第三个元素 (\(3\))：
• 符号是 \(+\)。
• 余子式：\(\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 4 & 6 \end{vmatrix} = (2)(6) - (4)(4) = 12 - 16 = -4\)
• 第三项：\((+3) \times (-4) = -12\)
4. 汇总结果：
\(\det(C) = -34 + 120 - 12 = 74\)
方法二：萨鲁斯法则 (\(3 \times 3\) 捷径)
注：萨鲁斯法则只适用于 \(3 \times 3\) 矩阵。
1. 将前两列复制并写在矩阵的右边：
\(\begin{pmatrix} 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & 7 \\ 4 & 6 & 2 \end{pmatrix} \begin{matrix} 1 & 5 \\ 2 & 4 \\ 4 & 6 \end{matrix}\)
2. “落山”对角线（↘）乘积之和：
\((1 \times 4 \times 2) + (5 \times 7 \times 4) + (3 \times 2 \times 6) = 8 + 140 + 36 = 184\)
3. “上山”对角线（↗）乘积之和：
\((4 \times 4 \times 3) + (6 \times 7 \times 1) + (2 \times 2 \times 5) = 48 + 42 + 20 = 110\)
4. 相减：
\(\det(C) = 184 - 110 = 74\)
行列式的性质
在 HKDSE M2 课程中，理解代数及运算性质能让您在展开前更有效地化简行列式：
1. 转置性质： \(\det(A^T) = \det(A)\)
2. 标量乘法： 对于 \(n \times n\) 矩阵 \(A\) 及标量 \(k\)，\(\det(kA) = k^n \det(A)\)。（对于 \(3 \times 3\)，\(\det(kA) = k^3 \det(A)\)）。
3. 矩阵乘积： \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)
4. 行／列运算：
• 互换两行（或两列）会改变行列式的正负号：\(\det(A_{\text{swapped}}) = -\det(A)\)。
• 将单一行（或列）乘以标量 \(k\)，行列式的值会乘以 \(k\)。
• 将一行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式的值保持不变：\(R_i \to R_i + kR_j \implies \det(A_{\text{new}}) = \det(A)\)。
5. 行列式为零的条件： 在以下情况，\(\det(A) = 0\)：
• 整行或整列全为零。
• 两行或两列完全相同或成比例。
6. 奇异矩阵与非奇异矩阵：
• 若 \(\det(A) = 0\)，\(A\) 为奇异矩阵（它没有逆矩阵 \(A^{-1}\)）。
• 若 \(\det(A) \neq 0\)，\(A\) 为非奇异矩阵（它是可逆的，且 \(\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}\)）。
应用：克莱默法则
克莱默法则是一种利用行列式解线性方程组的代数方法。当系数矩阵的行列式不为零（\(D \neq 0\)）时，便可直接应用。
\(2 \times 2\) 系统的克莱默法则
考虑以下方程组：
\(a_1x + b_1y = c_1\)
\(a_2x + b_2y = c_2\)
1. 系数行列式 \(D\)： \(D = \begin{vmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}\)
2. \(D_x\)（将 \(x\) 列替换为常数项）： \(D_x = \begin{vmatrix} c_1 & b_1 \\ c_2 & b_2 \end{vmatrix}\)
3. \(D_y\)（将 \(y\) 列替换为常数项）： \(D_y = \begin{vmatrix} a_1 & c_1 \\ a_2 & c_2 \end{vmatrix}\)
4. 解： 若 \(D \neq 0\)，则 \(x = \frac{D_x}{D}\) 及 \(y = \frac{D_y}{D}\)。
\(3 \times 3\) 系统的克莱默法则
对于未知数 \(x, y, z\)，若 \(D = \det(\text{系数矩阵}) \neq 0\)：
\(x = \frac{D_x}{D}, \quad y = \frac{D_y}{D}, \quad z = \frac{D_z}{D}\)
逐步示范 (\(2 \times 2\))：
用克莱默法则解以下方程组：
\(2x + 3y = 7\)
\(x - 4y = -2\)
1. 计算 \(D\)： \(D = \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{vmatrix} = (2)(-4) - (3)(1) = -8 - 3 = -11\)
2. 计算 \(D_x\)： \(D_x = \begin{vmatrix} 7 & 3 \\ -2 & -4 \end{vmatrix} = (7)(-4) - (3)(-2) = -28 - (-6) = -22\)
3. 计算 \(D_y\)： \(D_y = \begin{vmatrix} 2 & 7 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = (2)(-2) - (7)(1) = -4 - 7 = -11\)
4. 求解：
\(x = \frac{D_x}{D} = \frac{-22}{-11} = 2\)
\(y = \frac{D_y}{D} = \frac{-11}{-11} = 1\)
唯一解为 \((x, y) = (2, 1)\)。
章节总结
• 行列式是一个与方阵相关联的标量值，记作 \(\det(A)\) 或 \(|A|\)。
• 对于 \(2 \times 2\) 矩阵，\(\det(A) = ad - bc\)。
• 对于 \(3 \times 3\) 矩阵，可透过余子式展开法或萨鲁斯法则计算。
• 重要的矩阵性质包括 \(\det(AB) = \det(A)\det(B)\)、\(\det(A^T) = \det(A)\) 以及 \(\det(kA) = k^n \det(A)\)。
• 当且仅当 \(\det(A) = 0\) 时，矩阵是奇异矩阵。
• 当 \(D \neq 0\) 时，克莱默法则提供了一个基于行列式的明确公式来解线性方程组。