1.1 数制：计算机数据的基石
你好！本章我们将学习计算机的“秘密语言”。你在屏幕上看到的一切——文字、图像、声音和数字——首先都必须转换成计算机能够理解的电脉冲序列。这个过程被称为数据表示（Data Representation）。
别担心数学运算看起来很复杂，我们会将每一次转换拆解成简单易懂的步骤和技巧！
为什么计算机只用二进制（基数为 2）
人类使用十进制（基数为 10），这是因为我们有 10 根手指。然而，计算机是靠电力工作的。计算机只需要区分两种状态：开（ON）或关（OFF）。
- 开（ON）用数字 1 表示。
- 关（OFF）用数字 0 表示。
因为它只使用两个数字（0 和 1），所以被称为二进制（Binary）系统（基数为 2）。
关键术语： 单个二进制数字（0 或 1）被称为位（Bit）。计算机将这些位存储在称为寄存器（Registers）的临时存储区域中。
快速回顾：需要掌握的数制
- 十进制（Denary/Decimal）：基数为 10（使用数字 0–9）。这是我们日常生活中使用的系统。
- 二进制（Binary）：基数为 2（使用数字 0 和 1）。这是计算机的母语。
- 十六进制（Hexadecimal/Hex）：基数为 16（使用数字 0–9 和字母 A–F）。这是程序员常用的便捷缩写。
2. 数制间的转换
我们需要能够在这三种基数之间进行转换。请记住：考试不允许使用计算器，因此理解数位权重（column headings）至关重要！
2.1 十进制（基数 10）与二进制（基数 2）的转换
在任何数制中，数字的位置决定了它的权重。在二进制中，权重是 2 的幂。我们通常使用 8 位（即一个字节 Byte）来进行表示，但考纲要求掌握最高 16 位的转换。
8 位二进制的权重表如下：
128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1
A. 十进制转换为正二进制
我们使用减法法。从小于或等于十进制数的最大权重列开始计算。
示例： 将十进制数 195 转换为 8 位二进制。
- 195 $\ge$ 128 吗？是的。在 128 下面写 1。余数：\(195 - 128 = 67\)。
- 67 $\ge$ 64 吗？是的。在 64 下面写 1。余数：\(67 - 64 = 3\)。
- 3 $\ge$ 32 吗？不是。写 0。
- 3 $\ge$ 16 吗？不是。写 0。
- 3 $\ge$ 8 吗？不是。写 0。
- 3 $\ge$ 4 吗？不是。写 0。
- 3 $\ge$ 2 吗？是的。写 1。余数：\(3 - 2 = 1\)。
- 1 $\ge$ 1 吗？是的。写 1。余数：\(1 - 1 = 0\)。
最终的 8 位二进制结果为 11000011。
B. 正二进制转换为十进制
只需将每一位的权重乘以该位的二进制数字（0 或 1），然后将结果相加即可。
示例： 将二进制 01010101 转换为十进制。
| 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
计算：\((0 \times 128) + (1 \times 64) + (0 \times 32) + (1 \times 16) + (0 \times 8) + (1 \times 4) + (0 \times 2) + (1 \times 1)\)
\(= 0 + 64 + 0 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1 = 85\)
十进制结果为 85。
2.2 十进制（基数 10）与十六进制（基数 16）的转换
十六进制使用 16 个符号。我们需要为 10 到 15 的数字定义新的符号：
A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15
A. 十进制转换为十六进制
使用除法法。将十进制数除以 16。
示例： 将十进制数 250 转换为十六进制。
- 用 250 除以 16：\(250 \div 16 = 15\)，余数为 \(10\)。
- 将余数 (10) 转换为十六进制符号：A。这是最低有效位 (LSD)。
- 将商 (15) 转换为十六进制符号：F。这是最高有效位 (MSD)。
十六进制结果为 FA。
B. 十六进制转换为十进制
十六进制的数位权重是 16 的幂（\(16^0=1\)，\(16^1=16\)，\(16^2=256\)，依此类推）。
示例： 将十六进制 3F 转换为十进制。
- 拆分十六进制数字：3 和 F。记住 F = 15。
- 将每一位的权重乘以该数字的十进制等价值。
\((3 \times 16) + (F \times 1)\)
\((3 \times 16) + (15 \times 1)\)
\(= 48 + 15 = 63\)
十进制结果为 63。
2.3 十六进制与二进制的转换（最简单的方法！）
由于 \(16 = 2^4\)，一个十六进制数字总是可以用正好 4 位二进制（即一个半字节 nibble）来完美表示。这就是所谓的“快捷”转换。
A. 十六进制转换为二进制
将每个十六进制数字转换为对应的 4 位二进制码。
示例： 将十六进制 A5 转换为二进制。
- 拆分数字：A 和 5。（A 在十进制中为 10）。
- 使用 4 位权重（8, 4, 2, 1）转换 A (10)：\(8+2 = 10 \rightarrow \mathbf{1010}\)
- 使用 4 位权重（8, 4, 2, 1）转换 5：\(4+1 = 5 \rightarrow \mathbf{0101}\)
合并结果：10100101。
B. 二进制转换为十六进制
从右向左，每 4 位二进制分为一组，然后将每一组转换成一个十六进制数字。
示例： 将二进制 11110011 转换为十六进制。
- 分组：
\(\mathbf{1111} \ \ \ \ \ \ \ \ \mathbf{0011}\) - 转换左侧组 (\(1111\))：\(8+4+2+1 = 15\)。十六进制符号：F。
- 转换右侧组 (\(0011\))：\(2+1 = 3\)。十六进制符号：3。
十六进制结果为 F3。
核心要点：转换
十六进制只是二进制的一种便捷简写。 如果需要通过十六进制在十进制和二进制之间转换，先进行“十进制 $\leftrightarrow$ 十六进制”转换，再进行“十六进制 $\leftrightarrow$ 二进制”转换。转换的诀窍永远是将二进制字符串按 4 位一组进行划分。
3. 十六进制的用途
3.1 理解其优势
既然计算机使用二进制，人类使用十进制，为什么还要费心使用十六进制呢？
十六进制作为一种有效的数据表示方法，原因如下：
- 它更短： 十六进制为长二进制串提供了简洁的表示方式。一个 16 位的二进制数（如 1101001011110000）只需 4 个十六进制数字（D2F0）即可表示。这减少了人类在转录或阅读数据时出错的概率。
- 对人类更友好： 程序员阅读和记忆“A4”比阅读和记忆“10100100”要简单得多。
3.2 十六进制在计算机科学中的应用
你会在以下领域发现十六进制的使用：
- MAC 地址： 网卡的唯一物理地址（例如：00-1A-C2-7B-00-47）。
- 内存转储（Memory Dumps）： 当程序员需要检查内存（寄存器或 RAM）中的原始内容时，为了便于阅读，数据会以十六进制显示。
- HTML 颜色代码： 网页上的颜色通常用 6 位十六进制数字表示（例如：#FF0000 代表纯红色）。
4. 二进制算术：加法与溢出
4.1 两个 8 位正二进制整数的加法
二进制加法遵循简单的规则。你只需要处理 0 和 1：
- \(0 + 0 = 0\)
- \(1 + 0 = 1\)
- \(1 + 1 = 0\)，进位 1（就像十进制中 5+5=0 进位 1 一样）
- \(1 + 1 + 1 = 1\)，进位 1
示例： 将二进制 01010010 (82) 和 00001011 (11) 相加。
进位行： 1 1
01010010 (82)
+ 00001011 (11)
----------
01011101 (93)
4.2 理解溢出（Overflow）的概念
当计算结果太大，超出了分配的存储空间（即寄存器）时，就会发生溢出错误（Overflow error）。
在 IGCSE 考纲中，我们重点关注 8 位寄存器。
- 8 位寄存器所能容纳的最大正整数是 11111111（十进制中的 255）。
- 如果你相加两个数，结果需要第 9 位，就发生了溢出。
溢出示例： 将 150 和 150 相加（两者都在 8 位范围内）。结果应该是 300。
进位行： 1 1 1 1 1 1
10010110 (150)
+ 10010110 (150)
----------
$\mathbf{1}\ $ 00101100 (44)
第 9 位（加粗部分）被称为溢出位（overflow bit）。由于寄存器只有 8 位空间，计算机只会存储 00101100 (44)，导致答案错误并触发溢出错误。
类比： 想象一下往只能装 255 毫升水的杯子里倒入 300 毫升果汁。多出来的部分溢出了，杯子（寄存器）里只留下了最大承载量，丢失了真正的结果。
记忆辅助：溢出
如果使用 8 位寄存器时，十进制总和超过 255，就会发生溢出。
5. 特殊二进制技术
5.1 二进制逻辑移位
二进制逻辑移位是一种快速操作，它将寄存器中的所有位向左或向右移动。
执行移位时：
- 从寄存器末端移出的位将丢失。
- 在另一端产生的空位用零填充。
A. 逻辑左移
左移等同于将数字乘以 2 的幂。
规则： 每向左移一位，数字乘以 2。
示例： 二进制 00000101 (5)。向左移 2 位。
- 两个位 (00) 从右侧移入。
- 最高位的两个位 (00) 被移出并丢失。
\(00000101 \rightarrow \mathbf{00010100}\) (十进制 20)。
(原始值 5 乘以 \(2^2\)，即 4，结果为 20)。
B. 逻辑右移
右移等同于将数字除以 2 的幂。
规则： 每向右移一位，数字除以 2。
示例： 二进制 00101000 (40)。向右移 3 位。
- 三个零 (000) 从左侧移入。
- 最低位的三个位 (000) 被移出并丢失。（这会导致整数除法，余数被舍弃）。
\(00101000 \rightarrow \mathbf{00000101}\) (十进制 5)。
(原始值 40 除以 \(2^3\)，即 8，结果为 5)。
你知道吗？
移位是进行乘除运算的极快方式。计算机在汇编语言中使用移位代替传统算术运算，从而迅速完成计算。
5.2 二进制补码（Two's Complement）：表示负数
到目前为止，我们只观察了正整数（0 到 255）。计算机如何表示负数呢？它使用二进制补码（Two's Complement）。
二进制补码使我们能够在同一个寄存器中存储正整数和负整数。
符号位（Sign Bit）
使用二进制补码时（以我们的 8 位示例为例）：
- 最高有效位 (MSB)（最左边的位，128 列）成为符号位。
- 如果 MSB 为 0，则数字为正数。
- 如果 MSB 为 1，则数字为负数。
8 位二进制补码的表示范围为 -128 到 +127。
转换步骤（正十进制转负二进制补码）
将十进制数（例如 -42）转换为 8 位二进制补码的表示：
第 1 步：写出正二进制数。
\(42 = 00101010\)
第 2 步：求反码（翻转每一位）。
将所有的 0 变为 1，将所有的 1 变为 0。
\(00101010 \rightarrow \mathbf{11010101}\)
第 3 步：加 1。
11010101
+ 1
----------
\(\mathbf{11010110}\)
-42 的 8 位二进制补码是 11010110。（注意 MSB 是 1，表示这是一个负数）。
转换步骤（负二进制补码转回十进制）
将负二进制数（例如 11010110）转回十进制：
第 1 步：求反码（翻转每一位）。
\(11010110 \rightarrow 00101001\)
第 2 步：加 1。
00101001
+ 1
----------
00101010
第 3 步：将得到的正二进制转回十进制。
\(00101010 = 32 + 8 + 2 = 42\)
由于我们开始时的符号位是负数 (1)，因此原始数字一定是 -42。
章节总结：核心要点
- 二进制是基数 2（0 和 1），因为计算机依赖两种电状态（开/关）。
- 十六进制（基数 16）是二进制的缩写表示，让长二进制串对人类而言更易于管理（4 位二进制 = 1 位十六进制）。
- 二进制加法在 \(1+1\) 时需要进位 1。
- 如果在 8 位加法中结果超过 255，会发生溢出（生成第 9 位并丢失）。
- 左移相当于乘以 2；右移相当于除以 2。空位用零填充。
- 二进制补码用于表示负数。最高有效位（最左位）是符号位。