Ratio and proportion

欢迎来到比与比例的世界！

你好！这一章我们要学习如何比较数量以及事物是如何按比例放大或缩小的——这些技能在日常生活中非常实用，无论是按照食谱烹饪还是阅读地图，都离不开它们。
比（Ratio）和比例（Proportion）是基础的数学工具，能帮助你解决现实中涉及分配、缩放和比较测量的问题。让我们开始吧！

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1. 理解比 (C1.10/E1.10)

比是比较同类事物中两个或多个数量大小的一种方式。它展示了一个数量相对于另一个数量有多少。

关键术语与表示法

如果你在调配油漆，每3份白色油漆配1份红色油漆，那么红色与白色的比就是1比3，写作：\(1 : 3\)。

• 份数：比中的数字（1和3）。
• 顺序很重要：\(1:3\)（红:白）与 \(3:1\)（白:红）意义完全不同。一定要看清题目要求的顺序！

1.1 比的化简

比应该始终写成最简形式，就像分数一样。化简比的方法是将所有项同时除以它们的最大公因数（HCF）。

例子：化简 \(20 : 30 : 40\)
20、30和40的最大公因数是10。
将各项同时除以10：
\(20 \div 10 : 30 \div 10 : 40 \div 10\)
化简后的比为：\(2 : 3 : 4\)。

重要规则：单位必须统一！

在所有数量的单位统一之前，不能对比进行化简。

例子：化简 \(50 \text{ cm} : 2 \text{ m}\)
1. 将米转换为厘米：\(2 \text{ m} = 200 \text{ cm}\)。
2. 使用相同单位写出比：\(50 : 200\)。
3. 化简（同时除以50）：\(1 : 4\)。

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2. 按给定比例分配数量 (C1.10/E1.10)

这通常被称为“分配”问题。当你需要按照一定的比例切分总量时，请遵循以下简单的步骤：

分步指南：总份数法

问题：按 \(2 : 3 : 4\) 的比例分配 $450。

第一步：求出总份数
将比中的各项相加：\(2 + 3 + 4 = 9\) 总份数。

第二步：求出每一份的价值
用总量除以总份数：
\( \text{每份价值} = \frac{\$450}{9} = \$50 \)。

第三步：计算每个部分的金额
将每份的价值乘以比中对应的份数：

• 第一部分：\(2 \times \$50 = \$100\)
• 第二部分：\(3 \times \$50 = \$150\)
• 第三部分：\(4 \times \$50 = \$200\)

检验： \(100 + 150 + 200 = 450\)。总数对上了！（记得一定要检验你的答案！）

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3. 上下文中的比例推理 (C1.10/E1.10)

比例推理是指将比的应用到实际情况中，以保持平衡或正确缩放事物。

3.1 食谱与配料

比对于放大或缩小食谱至关重要。如果一份食谱中面粉与糖的比是 \(5:2\)，无论你是做一大份还是小一份，这个比例都必须保持不变。

缩放例子：一份食谱需要150克糖和375克面粉。如果你只有50克糖，需要多少面粉？

1. 求出比（面粉 : 糖）：\(375 : 150\)。
2. 化简比：同时除以75，得到 \(5 : 2\)。
3. 列出比例式：\(\frac{\text{面粉}}{\text{糖}} = \frac{5}{2}\)。
4. 代入新的糖量（50克）：\(\frac{\text{面粉}}{50} = \frac{5}{2}\)。
5. 求解面粉量：\(\text{面粉} = 50 \times \frac{5}{2} = 125 \text{ g}\)。

3.2 地图比例尺

地图比例尺通常以比的形式给出，如 \(1 : 50\ 000\)。这意味着地图上1个单位代表现实中的50 000个相同单位。

• 如果地图上的距离是3厘米，实际距离是： \(3 \times 50\ 000 = 150\ 000 \text{ cm}\)。
• 因为 \(100 \text{ cm} = 1 \text{ m}\) 且 \(1\ 000 \text{ m} = 1 \text{ km}\)： \(150\ 000 \text{ cm} = 1500 \text{ m} = 1.5 \text{ km}\)。

3.3 确定最优价格

要找到最优价格（性价比最高），你必须比较单位价格（例如：每公斤价格或每升价格）。这就是比率的应用。

例子：哪个更划算？
A: 500克咖啡售价 $8.00
B: 750克咖啡售价 $11.50

• 计算单克价格（也可以算每100克或每公斤）。我们以1克为例。
• A: \(\frac{\$8.00}{500 \text{ g}} = \$0.016\) /克。
• B: \(\frac{\$11.50}{750 \text{ g}} \approx \$0.0153\) /克。

因为B的每克价格更低，所以 B更划算。

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4. 比率 (C1.11/E1.11)

比率（Rate）是一种特殊类型的比，被比较的两个数量单位不同。例如，千米每小时（km/h）或美元每升（$/L）。

4.1 速度与时间

速度是你最常遇到的比率计算。你必须掌握以下关系：

$$ \text{速度} = \frac{\text{距离}}{\text{时间}} $$ $$ \text{距离} = \text{速度} \times \text{时间} $$ $$ \text{时间} = \frac{\text{距离}}{\text{速度}} $$

常见错误：时间单位转换！

计算速度时，时间必须是单一单位（通常是小时或秒），不能用“小时加分钟”的形式。

例子：一辆汽车在1小时30分钟内行驶了45公里。平均速度是多少？

1. 将时间转换为小时：30分钟 = 0.5小时。总时间 = 1.5小时。
2. 计算速度：\(\text{速度} = \frac{45 \text{ km}}{1.5 \text{ h}} = 30 \text{ km/h}\)。

4.2 其他常见比率

• 小时工资：每小时（h）获得的报酬（$）。
• 燃油消耗：行驶距离（km）除以使用的燃油量（L），通常表示为 km/L。
• 流速：单位时间（如秒或分）内的体积（如升或立方厘米），通常表示为 L/min 或 g/cm³（这是密度，也是一种比率）。
• 汇率：用于转换货币的比率（如 1 USD : 0.85 EUR）。

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5. 进阶内容：代数比例 / 变分 (E2.8)

如果你学习的是Extended课程，你需要理解如何使用比例关系来建立代数联系。

比例符号为 \(\propto\)（读作“与……成正比”）。

核心原则：常数 \(k\)

当你看到 \(\propto\) 时，将其替换为等号和一个常数 \(k\)。这个常数 \(k\) 被称为比例常数。

如果起初觉得这很难，别担心——方法永远是一样的：先求出 \(k\)！

5.1 正比例

如果两个量 \(y\) 和 \(x\) 随之以相同的比例增加或减少，那么它们成正比例。当一个量增加一倍，另一个也增加一倍。

线性正比例

表述：\(y\) 与 \(x\) 成正比。
符号：\(y \propto x\)
方程：\(y = kx\)

类比：你工作的小时数（\(x\)）越多，赚到的钱（\(y\)）就越多。

其他正比例

正比例可以涉及 \(x\) 的幂或根：

• \(y\) 与 \(x\) 的平方成正比：\(y \propto x^2 \implies y = kx^2\)
• \(y\) 与 \(x\) 的立方根成正比：\(y \propto \sqrt[3]{x} \implies y = k\sqrt[3]{x}\)

5.2 反比例

如果两个量 \(y\) 和 \(x\) 中一个增加时另一个减少，那么它们成反比例。

线性反比例

表述：\(y\) 与 \(x\) 成反比。
符号：\(y \propto \frac{1}{x}\)
方程：\(y = \frac{k}{x}\)

类比：完成某项工作的人数（\(x\)）越多，所需要的时间（\(y\)）就越短。

其他反比例

反比例也可以涉及幂或根：

• \(y\) 与 \(x\) 的平方成反比：\(y \propto \frac{1}{x^2} \implies y = \frac{k}{x^2}\)

5.3 分步指南：解决变分问题

问题：\(P\) 与 \(T\) 成正比。当 \(T=5\) 时，\(P=20\)。求 \(T=12\) 时的 \(P\)。

1. 写出比例表述和方程：
   \(P \propto T \implies P = kT\)
2. 代入已知值求出 \(k\)：
   \(20 = k(5)\)
   \(k = \frac{20}{5} = 4\)
3. 写出完整公式：
   \(P = 4T\)
4. 使用公式计算未知数：
   当 \(T=12\) 时：\(P = 4(12) = 48\)。

你知道吗？理解正比例和反比例对于学习物理至关重要，特别是在处理力、压强和电路问题时！