到期收益率与平价收益率简介

在期限结构、久期与免疫法 (Term structure, duration and immunisation)章节的前几部分中，我们探讨了利率如何随着投资期限的长短而变化（即期限结构）。我们研究了即期利率 (spot rates) 和远期利率 (forward rates)，这些工具让我们能精确地为个别现金流进行估值。

然而，在现实世界中，投资者通常希望有一个单一的“摘要”数字来描述债券或项目的回报。这就是到期收益率 (Yield to Maturity, YTM) 和平价收益率 (Par Yield) 的用途。这些概念帮助我们在复杂的即期利率与市场上看到的实际价格之间建立联系。如果起初觉得这些概念有点抽象，请别担心；我们会将它们拆解为简单的价值方程式 (equations of value)！

注：本章假设你已经熟练掌握价值方程式的概念以及即期利率的基本定义。

到期收益率 (Yield to Maturity, YTM)

到期收益率（通常称为赎回收益率 Redemption Yield）是一个单一固定的年度实际利率，它使得债券所有未来现金流的现值等于其目前的市场价格。

你可以把它想象成债券的“内部收益率”(IRR)。如果你今天买入债券，持有至到期，并将所有票息以相同的利率进行再投资，那么 YTM 就是你将获得的年度回报率。

YTM 的价值方程式

如果一张债券的价格为 \(P\)，年度票息为 \(C\)，且在时间 \(n\) 的赎回价值为 \(R\)，那么 YTM（我们称之为 \(y\)）即为下列方程式的解：

\(P = C \cdot a_{\overline{n}|y} + R \cdot v_y^n\)

其中：

  • \(a_{\overline{n}|y} = \frac{1 - (1+y)^{-n}}{y}\)
  • \(v_y = (1+y)^{-1}\)

重要区别：与即期利率（针对每一年的现金流使用不同的利率）不同，YTM 对于每一笔现金流都使用相同的利率 \(y\)，无论该现金流在何时发生。

为什么我们要使用 YTM？

这是新闻报道和交易室中引用债券回报的标准方式。它让投资者能够使用单一的百分比数字来比较 5 年期债券和 10 年期债券，即使它们的票息率不同。

重要提示：YTM 是债券目前市场价格所隐含的“平均”利率。如果价格上升，YTM 就会下降。

平价收益率 (Par Yield)

平价收益率是指使债券市场价格恰好等于其名义价值（平价，par value）的特定票息率。换句话说，如果一张债券“以平价交易”，其价格就是面值的 100%。

在精算考试中，通常会要求你根据给定的一组即期利率，计算特定期限 \(n\) 的平价收益率。

平价收益率的逻辑

想象一张面值为 1 的债券。它在 \(n\) 年内每年年末支付票息 \(c\)，并在第 \(n\) 年年末偿还面值 1。为了让这张债券今天的价值恰好等于 1，这些支付款项的现值（使用即期利率计算）必须等于 1。

\(1 = c \cdot v(0,1) + c \cdot v(0,2) + \dots + (c+1) \cdot v(0,n)\)

其中 \(v(0,t)\) 是使用该特定期限的即期利率计算出的在时间 \(t\) 到期的 1 的现值。

计算平价收益率 (\(c_n\))

通过整理上述方程式，我们可以求得平价收益率 \(c_n\)：

\(1 = c_n \sum_{t=1}^{n} v(0,t) + v(0,n)\)

\(c_n = \frac{1 - v(0,n)}{\sum_{t=1}^{n} v(0,t)}\)

你知道吗？如果收益率曲线是平坦的（即所有即期利率都相同），平价收益率将会恰好等于该即期利率！

重要提示：平价收益率是“盈亏平衡”的票息率。如果债券的实际票息高于平价收益率，该债券将以溢价 (premium, 价格 > 100) 交易。如果票息较低，则以折价 (discount, 价格 < 100) 交易。

比较 YTM 与平价收益率

这两个概念很容易混淆。这里有一个简单的方法来记住它们的区别：

  • 到期收益率 (YTM)：已知价格和票息；求利率。
  • 平价收益率 (Par Yield)：已知即期利率（利率）并设定价格为 100；求票息率。

与收益率曲线的关系

平价收益率是构建“平价收益率曲线 (Par Yield Curve)”的实用工具，该曲线描绘了不同期限的平价收益率。对于从业人员来说，观察平价收益率曲线通常比“即期利率曲线”更容易，因为许多债券在发行时的价格都接近平价。

核心公式总结

1. 到期收益率 (\(y\))： 为未知的利率 \(y\) 解价值方程式。
\(价格 = \sum 现值(\text{以利率 } y \text{ 计算之现金流})\)

2. 平价收益率 (\(c_n\))： 使用即期利率使价格 = 平价的票息率。
\(c_n = \frac{1 - v(0,n)}{\sum_{t=1}^n v(0,t)}\)

快速复习：常见误区

错误 1：混淆年度利率与每年支付 p 次的利率。
如果债券每半年支付一次票息，记得调整你的收益率计算。如果 \(y\) 是年度实际收益率，则半年票息应以 \((1+y)^{-0.5}\) 进行折现。不过，除非另有说明，教学大纲在讨论这些特定定义时通常侧重于年度现金流。

错误 2：混淆即期利率与 YTM。
请记住：即期利率是“特定时间点”的（第 1 年一个利率，第 2 年另一个利率）。而 YTM 是应用于特定债券所有年份的“单一平均利率”。

如果起初觉得这很困难，请别担心！ 最重要的技能是列出价值方程式 (Equation of Value)。只要方程式列对了，剩下的就只是代数运算，或是使用计算器的求解 (solver) 或插值 (interpolation) 功能。

重要提示： 这些收益率只是以百分比回报的形式来表达债券价格的不同方式。掌握它们对于后续学习久期 (Duration) 和免疫法 (Immunisation) 至关重要。