即期利率与远期利率简介

在你的 CM1 学习旅程中，到目前为止你通常会对每一笔现金流量使用单一且固定的利率 \(i\)，而不会考虑现金流量发生的时间。然而在现实世界中，利率通常会根据你打算借入或贷出资金的时间长短而有所不同。这就是我们所说的利率期限结构 (term structure of interest rates)。

在本章中，我们将拆解精算师描述这种结构的两种主要方式：即期利率 (Spot Rates)（“即时”投资的利率）和远期利率 (Forward Rates)（我们今天可以约定在“未来”投资的利率）。无论是以离散还是连续形式表示，其背后的逻辑都是一样的。如果一开始觉得符号看起来很复杂，请不要担心——一旦你理解了“时间线”逻辑，一切都会豁然开朗！

1. 即期利率：从“现在”开始投资

即期利率是零息债券的收益率。简单来说，它是今天约定的年利率，用于从今天开始并持续 \(t\) 年的贷款。

离散即期利率

期限为 \(t\) 的离散即期利率，通常记作 \(y_t\) 或 \(s_t\)，是适用于从时间 \(0\) 到时间 \(t\) 期间的年度实际利率。

如果你今天以即期利率 \(y_t\) 投资 \(1\) 并持有 \(t\) 年，你在时间 \(t\) 的累积价值将为：

\( (1 + y_t)^t \)

相反，在时间 \(t\) 到期的款项 \(C\) 的现值 (PV)，是使用该特定期限的即期利率进行折现来计算的：

\( PV = C \cdot (1 + y_t)^{-t} \)

连续即期利率

有时候，在数学上使用利息强度 (force of interest)会更方便。连续即期利率 \(\bar{y}_t\) 是在 \([0, t]\) 期间作用的恒定利息强度，其产生的累积结果与离散即期利率相同。

两者的关系为：

\( e^{\bar{y}_t \cdot t} = (1 + y_t)^t \)

使用连续即期利率计算在时间 \(t\) 的款项 \(C\) 的现值为：

\( PV = C \cdot e^{-\bar{y}_t \cdot t} \)

小贴士：务必检查题目要求的是“年度实际利率”（离散）还是“利息强度”（连续）。如果题目只提到“即期利率”，请观察所提供公式的上下文！

2. 远期利率：锁定未来

想像一下，你知道自己在 2 年后将有 $1,000 可以投资，并且你想在今天就为那笔未来的投资锁定一个利率。这个“预先锁定”的利率就是远期利率。

离散远期利率

离散远期利率 \(f_{t, n}\) 是今天约定的年度实际利率，用于在时间 \(t\) 进行、期限为 \(n\) 年（至时间 \(t+n\) 结束）的投资。

这里的基本原理是无套利 (No Arbitrage)原则。这意味着以即期利率 \(y_{t+n}\) 投资 \(t+n\) 年的结果，应该与以即期利率 \(y_t\) 投资 \(t\) 年，然后再以远期利率 \(f_{t, n}\) 进行再投资的结果相同。

核心公式：

\( (1 + y_{t+n})^{t+n} = (1 + y_t)^t \cdot (1 + f_{t, n})^n \)

由此，我们可以求出远期利率：

\( (1 + f_{t, n})^n = \frac{(1 + y_{t+n})^{t+n}}{(1 + y_t)^t} \)

连续远期利率

在连续的情况下，远期利率通常表示为时间 \(t\) 的瞬时利息强度，记作 \(f(t)\) 或 \(\delta_t\)。

连续即期利率 \(\bar{y}_T\) 与瞬时远期利率之间的关系是：即期利率是该段期间内远期利率的平均值：

\( \bar{y}_T = \frac{1}{T} \int_0^T f(t) dt \)

关键要点：即期利率是从今天向后看，而远期利率则是看未来的一个特定窗口。它们通过一个简单的累积“链条”联系在一起。

3. 即期利率与远期利率的比较

为了帮助你记住两者的区别，可以想像这个比喻：

即期利率就像是一辆汽车从旅程起点到某个特定里程碑的平均速度。远期利率则像是一辆汽车预计在未来旅程中某段特定路程行驶的速度。

常见关系：

  • 如果即期利率随时间增加（“向上倾斜的收益率曲线”），那么未来一段期间的远期利率将高于总期间的即期利率。
  • 如果即期利率随时间减少（“倒挂的收益率曲线”），那么远期利率将低于即期利率。
  • 如果所有期限的即期利率都相等，那么远期利率将等于即期利率。

4. 逐步计算：计算远期利率

如果已知 1 年期即期利率 \(y_1 = 4\%\)，2 年期即期利率 \(y_2 = 5\%\)，你该如何计算从 1 年后开始的 1 年期远期利率 (\(f_{1, 1}\))？

  1. 建立关联： \((1 + y_2)^2 = (1 + y_1)^1 \cdot (1 + f_{1, 1})^1\)
  2. 代入数值： \((1.05)^2 = (1.04) \cdot (1 + f_{1, 1})\)
  3. 整理公式： \(1 + f_{1, 1} = \frac{1.05^2}{1.04}\)
  4. 计算结果： \(1 + f_{1, 1} = 1.0601\)
  5. 最终答案： \(f_{1, 1} = 6.01\%\)

注：由于收益率曲线向上倾斜，因此 1 年期远期利率高于这两个即期利率。

5. 总结与常见陷阱

总结：

  • 离散即期利率 (\(y_t\))： 从 \(0\) 到 \(t\) 的年度实际利率。
  • 连续即期利率 (\(\bar{y}_t\))： 从 \(0\) 到 \(t\) 的利息强度。
  • 离散远期利率 (\(f_{t, n}\))： 从 \(t\) 到 \(t+n\) 的年度实际利率。
  • 瞬时远期利率 (\(f(t)\))： 时间 \(t\) 的利息强度。

应避免的错误：

  • 混淆离散与连续： 确保在该使用 \((1+i)\) 的时候不要用了 \(e\)，反之亦然。请仔细读题！
  • 年期错误： 在公式 \((1+f_{t, n})^n\) 中，指数是 \(n\)（远期期间的长度），而不是 \(t+n\)（结束日期）。
  • 忽略“无套利”逻辑： 如果你忘记了公式，只需画一条时间线。从 \(0 \to t\) 的累积加上从 \(t \to t+n\) 的累积，必须等于直接从 \(0 \to t+n\) 的累积。

在接下来的章节中，我们将使用这些利率来计算平价收益率 (Par Yields)并评估现金流量的存续期 (Duration)，届时对利率变动的敏感度将成为我们的关注焦点。