欢迎来到二次式的恒等变形

二次式在 Pearson Edexcel 国际 GCSE 进阶纯粹数学（Further Pure Mathematics）中无处不在。二次式是指变量的最高次数为 \(2\) 的代数式。在一般式（标准式）中，它写成：

\(ax^2 + bx + c\)

在这里，\(a\)、\(b\) 和 \(c\) 都是常数（数字），且 \(a \neq 0\)。数字 \(a\) 是 \(x^2\) 的系数，\(b\) 是 \(x\) 的系数，而 \(c\) 则是常数项。

不妨将代数式想象成机械结构。在一般式中，你可以轻易读出常数项。但如果你把这个代数式拆解并重组成不同的形式，就能解锁不同的“超能力”：

1. 因式分解式（Factorised Form）：\(a(x - p)(x - q)\) 可以立刻显示出方程的根、图像的截距以及因式。
2. 配方式（Completed Square Form）：\(a(x + p)^2 + q\) 无需使用微积分，就能直接显示出函数的极大值或极小值，以及拐点（顶点）的坐标。

刚开始处理这些代数式的变形时，如果觉得有点难度，请不用担心！我们会将每种技巧拆解成简单易懂、清晰可靠的步骤，保证每次都能顺利解题。

注：相关的二次主题——例如判别式（discriminant）以及根 \(\alpha\) 与 \(\beta\) 的函数——将于本单元的其他章节中详细探讨。

第一部分：二次式的因式分解

因式分解正好是展开括号的逆运算。这是一个将多项式的“和”转换成因式的“积”的过程。

类型 A：平方差（The Difference of Two Squares）

这是最容易辨认的模式。只要看到两个平方项由减号相连，就可以利用以下恒等式进行因式分解：

\(A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)\)

例 1：因式分解 \(4x^2 - 49\)。
注意 \(4x^2 = (2x)^2\) 以及 \(49 = 7^2\)。
应用恒等式：\(4x^2 - 49 = (2x - 7)(2x + 7)\)。

例 2：因式分解 \(3x^2 - 75\)。
切记：永远先寻找公因式！这两项都可以被 \(3\) 整除：
\(3(x^2 - 25) = 3(x - 5)(x + 5)\)。

类型 B：首项系数为 1 的二次式（Monic Quadratics，即 \(a = 1\)）

这类二次式的形式为 \(x^2 + bx + c\)。若要将它因式分解为 \((x + p)(x + q)\)，我们需要找出两个数字 \(p\) 和 \(q\)，使得：

\(p \times q = c\)（两数相乘等于常数项）
\(p + q = b\)（两数相加等于中间项系数）

记忆小秘诀：“积看后面，和看中间。”

例 3：因式分解 \(x^2 - 7x + 12\)。
步骤 1：观察常数项的符号（\(+12\)）。积为正数代表两个数字的符号相同。由于中间项（\(-7\)）是负数，因此两个数字都必定是负数。
步骤 2：列出 \(12\) 的负因数对：
\(-1\) 和 \(-12\)（和 = \(-13\))
\(-2\) 和 \(-6\)（和 = \(-8\))
\(-3\) 和 \(-4\)（和 = \(-7\)) — 找到了！
步骤 3：写入括号内：\((x - 3)(x - 4)\)。

类型 C：首项系数不等于 1 的二次式（Non-Monic Quadratics，即 \(a \neq 1\)）

当 \(x^2\) 的系数不是 \(1\) 时，单靠猜测括号内的数字会耗费太多时间。这时，我们可以使用更有条理的“ac 法”（亦称为分组因式分解法）。

分解 \(ax^2 + bx + c\) 的逐步解法：
步骤 1：计算 \(a\) 乘以 \(c\)，得出目标积 \(ac\)。
步骤 2：寻找两个数字，相乘等于 \(ac\)，相加等于 \(b\)。
步骤 3：利用这两个数字，将中间项 \(bx\) 拆成两项。
步骤 4：两两分组进行因式分解（将首两项和末两项分别分组）。

例 4：因式分解 \(6x^2 + 7x - 5\)。
步骤 1：计算 \(ac = 6 \times (-5) = -30\)。同时我们需要两数之和为 \(b = +7\)。
步骤 2：寻找相加等于 \(+7\) 的 \(-30\) 的因数对：
\(10 \times (-3) = -30\) 且 \(10 + (-3) = +7\)。因此这两个数字是 \(+10\) 和 \(-3\)。
步骤 3：将中间项 \(+7x\) 拆开为 \(+10x - 3x\)：
\(6x^2 + 10x - 3x - 5\)
步骤 4：分别为前两项和后两项提取公因式：
\(2x(3x + 5) - 1(3x + 5)\)
注意 \((3x + 5)\) 是前后两部分的共同因式！将它提出：
\((3x + 5)(2x - 1)\)。

因式分解要点提示：动手之前，务必先检查是否有数字或变量的公因式。若 \(a = 1\)，找出相加等于 \(b\) 的 \(c\) 的因数。若 \(a \neq 1\)，请使用 \(ac\) 分组分解法。

第二部分：配方法（Completing the Square）

并非每个二次式都能轻易用整数分解因式。配方法是一种通用技巧，适用于每一个二次式。

你知道吗？“配方法”这个名称源自几何学。古代数学家真的画出一个面积为 \(x^2\) 的正方形，以及总面积为 \(bx\) 的两个长方形，然后计算出需要填补的几何小角落，借此把图形“拼成（完成）一个大正方形”！

情况 1：首项系数为 1 的二次式（\(a = 1\)）

当展开 \((x + d)^2\) 时，会得到 \(x^2 + 2dx + d^2\)。注意中间项是 \(2d\)，正好是 \(d\) 的两倍。
因此，如果从 \(x^2 + bx\) 开始，你可以将它改写成：

\(x^2 + bx = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2\)

加上常数项 \(c\)，便得出完整的公式：

\(x^2 + bx + c = \left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + c\)

\(a = 1\) 时的黄金法则：
1. 将 \(x\) 的系数减半，放进括号内：\(\left(x + \frac{b}{2}\right)^2\)。
2. 永远减去该数字的平方：\(-\left(\frac{b}{2}\right)^2\)。
3. 加上原本的常数项 \(c\)。

例 5：将 \(x^2 + 8x - 5\) 化为 \((x + p)^2 + q\) 的形式。
步骤 1：找出 \(b = 8\)。\(8\) 的一半是 \(4\)。
步骤 2：写成 \((x + 4)^2 - 4^2 - 5\)。
步骤 3：化简数字：\((x + 4)^2 - 16 - 5 = (x + 4)^2 - 21\)。
此处，\(p = 4\) 且 \(q = -21\)。

例 6（分数）：以配方式表示 \(x^2 - 5x + 2\)。
步骤 1：找出 \(b = -5\)。\(-5\) 的一半是 \(-\frac{5}{2}\)。
步骤 2：放入括号内并减去其平方：
\(\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \left(-\frac{5}{2}\right)^2 + 2\)
步骤 3：计算平方项：\(\left(-\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}\)。
\(\left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{25}{4} + \frac{8}{4} = \left(x - \frac{5}{2}\right)^2 - \frac{17}{4}\)。

情况 2：首项系数不等于 1 的二次式（\(a \neq 1\)）

当 \(x^2\) 的系数不等于 \(1\) 时，我们必须先从含有 \(x\) 的项中提出 \(a\)。切记不要尝试在脑中一步完成——善用方括号（中括号）能确保运算清晰准确！

逐步解题步骤：
步骤 1：从 \(x^2\) 和 \(x\) 项中提取 \(a\)。
步骤 2：在括号内，针对首项系数为 1 的二次式进行配方。
步骤 3：将外面的 \(a\) 乘回方括号内的各项。
步骤 4：合并后方的常数项。

例 7：将 \(2x^2 + 12x + 11\) 化为 \(a(x + p)^2 + q\) 的形式。
步骤 1：从首两项提取 \(2\)：
\(2\left[x^2 + 6x\right] + 11\)
步骤 2：在方括号内进行配方（\(6\) 的一半是 \(3\)）：
\(2\left[(x + 3)^2 - 3^2\right] + 11\)
\(2\left[(x + 3)^2 - 9\right] + 11\)
步骤 3：乘以 \(2\) 以展开外层方括号：
\(2(x + 3)^2 - 18 + 11\)
步骤 4：合并常数项：
\(2(x + 3)^2 - 7\)。
此处，\(a = 2\)，\(p = 3\)，且 \(q = -7\)。

情况 3：当 \(a\) 为负数时（必考重要应试技巧）

\(a < 0\) 的题目在 Pearson Edexcel IGCSE Further Pure Mathematics 中极为常见。处理负号时必须加倍小心！

例 8：将 \(7 - 4x - 2x^2\) 写成 \(A - B(x + C)^2\) 的形式。
步骤 1：按降幂排列：\(-2x^2 - 4x + 7\)。
步骤 2：从含有 \(x\) 的项中提取 \(-2\)：
\(-2\left[x^2 + 2x\right] + 7\)
注意：\(-4x\) 除以 \(-2\) 会变成 \(+2x\)。
步骤 3：在括号内配方：
\(-2\left[(x + 1)^2 - 1^2\right] + 7\)
\(-2\left[(x + 1)^2 - 1\right] + 7\)
步骤 4：展开并乘以 \(-2\)：
\(-2(x + 1)^2 + 2 + 7\)
小心注意：\(-2 \times (-1) = +2\)。
步骤 5：合并常数项，并按要求的顺序排列：
\(9 - 2(x + 1)^2\)。
此处，\(A = 9\)，\(B = 2\)，且 \(C = 1\)。

配方法要点提示：在括号内配方前，务必先将 \(a\) 提出。运算过程中保留一组方括号 \([\dots]\)，最后再仔细将外面的系数乘进去。

第三部分：为什么要配方？（应用层面）

1. 求拐点、极大值与极小值

因为任何实数的平方都必然大于或等于零，所以我们知道：

对于所有实数 \(x\)，\((x + p)^2 \geq 0\)。

这个简单的数学事实，让我们能直接从配方式 \(y = a(x + p)^2 + q\) 读出抛物线图像的关键特征：

当 \(a > 0\) 时（正数，开口向上的抛物线 \(\cup\)）：
- \((x + p)^2\) 的最小值为 \(0\)，这情况发生在 \(x = -p\) 时。
- 该函数的极小值（minimum value）为 \(q\)。
- 极小点／顶点的坐标（coordinates of the vertex）为 \((-p, q)\)。
- 对称轴（line of symmetry）方程为 \(x = -p\)。

当 \(a < 0\) 时（负数，开口向下的抛物线 \(\cap\)）：
- 当 \((x + p)^2 = 0\)（即 \(x = -p\)）时，代数式达到最大值。
- 该函数的极大值（maximum value）为 \(q\)。
- 极大点／顶点的坐标为 \((-p, q)\)。

例 9：对于曲线 \(y = 3(x - 4)^2 + 10\)：
- 极小值为 \(10\)。
- 这发生在 \(x - 4 = 0 \implies x = 4\) 的时候。
- 拐点为 \((4, 10)\)。

例 10：指出 \(f(x) = 15 - 2(x + 3)^2\) 的极大值，以及达到极大值时 \(x\) 的数值。
由于 \((x + 3)^2 \geq 0\)，项数 \(-2(x + 3)^2\) 最大只能是 \(0\)。
- 极大值为 \(15\)。
- 这发生在 \(x + 3 = 0 \implies x = -3\) 的时候。

2. 精确求解二次方程

配方法提供了一种纯代数的解方程方法，无需死记二次公式（事实上，二次方程求根公式本身就是用配方法推导出来的！）。

例 11：解 \(x^2 + 6x - 2 = 0\)，并以精确的根式形式（surd form）表示答案。
步骤 1：对等式左方进行配方：
\((x + 3)^2 - 3^2 - 2 = 0\)
\((x + 3)^2 - 11 = 0\)
步骤 2：移项以隔离平方项：
\((x + 3)^2 = 11\)
步骤 3：两边取平方根（切记加上 \(\pm\) 正负号！）：
\(x + 3 = \pm\sqrt{11}\)
步骤 4：两边减去 \(3\) 求出 \(x\)：
\(x = -3 \pm\sqrt{11}\)。
精确的根为 \(x = -3 + \sqrt{11}\) 及 \(x = -3 - \sqrt{11}\)。

第四部分：常犯错误警示

错误 1：在配方时误将减去的平方项写成加法。
错误写法：\(x^2 + 6x = (x + 3)^2 + 9\)。
纠正：展开 \((x + 3)^2\) 会得出 \(x^2 + 6x + 9\)。要变回 \(x^2 + 6x\)，你必须减去 \(9\)：
\(x^2 + 6x = (x + 3)^2 - 9\)。记住永远是减去 \(\left(\frac{b}{2}\right)^2\)。

错误 2：处理负系数时的正负号错误。
当将 \(-x^2 + 6x\) 写成 \(-\left[x^2 - 6x\right]\) 时，同学常会忘记改变括号内 \(x\) 项的正负号。
验算：\(-1 \times (-6x) = +6x\)。随时在脑中逆向展开括号来检查正负号！

错误 3：忘记将减去的数值乘以 \(a\)。
在 \(3x^2 + 12x + 1 = 3\left[(x + 2)^2 - 4\right] + 1\) 中，同学常会错误写成 \(3(x + 2)^2 - 4 + 1 = 3(x + 2)^2 - 3\)。
纠正：\(-4\) 是在括号之内的！它必须乘以 \(3\)：
\(3 \times (-4) = -12\)，因此应为 \(3(x + 2)^2 - 12 + 1 = 3(x + 2)^2 - 11\)。

错误 4：写顶点坐标时正负号颠倒。
对于 \(y = (x + 5)^2 + 4\)，其极小点是 \((-5, 4)\)，而不是 \((5, 4)\)。
记住：将括号内的部分设为零（\(x + 5 = 0 \implies x = -5\)）。

第五部分：快速复习清单

在进入下一个课题之前，请确保你能自信地：
• 辨认并以平方差因式分解：\(A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)\)。
• 熟练运用 \(ac\) 分组分解法处理首项系数不为 1 的二次式 \(ax^2 + bx + c\)。
• 将 \(x^2 + bx + c\) 正确配方为 \(\left(x + \frac{b}{2}\right)^2 - \left(\frac{b}{2}\right)^2 + c\)。
• 在为 \(ax^2 + bx + c\) 配方时正确提出 \(a\)，特别是当 \(a < 0\) 时能准确处理正负号。
• 直接从 \(a(x + p)^2 + q\) 读出极大值或极小值，以及拐点 \((-p, q)\)。