簡單多項式除法

欢迎学习简易代数除法

除法是大家从小学会开始接触的四则运算之一。刚开始学习数字除法时，你会将例如 \(17\) 除以 \(5\)，得出商式（Quotient）为 \(3\)，余式（Remainder）为 \(2\)。在 Pearson Edexcel IGCSE 进阶纯粹数学（Further Pure Mathematics）中，我们正是把这套完全相同的逻辑应用到代数式上！

如果代数除法乍看之下令人望而生畏，千万不要担心。只要掌握了这个不断重复的四步循环，它就会变成一项十分稳定可靠的技巧。请务必熟练这项基本功，因为它是通往本单元其他核心课题的重要基石，例如因式定理与余式定理（Factor and Remainder Theorems）以及三次方程因式分解（Factorising Cubic Equations）。

1. 除法的核心结构

在开始动手计算之前，我们先来厘清规范的数学术语。每个除法运算都包含四个核心部分：

1. 被除式（Dividend）：你想要除的多项式，通常写作 \(f(x)\)。
2. 除式（Divisor）：用来除对方的代数式，写作 \(d(x)\)。在本课程范围内，除式必定是一次式（线性式）：\((x + a)\)、\((x - a)\)、\((ax + b)\) 或 \((ax - b)\)。
3. 商式（Quotient）：除法的主要结果，写作 \(Q(x)\)。
4. 余式（Remainder）：最后剩余的部分，写作 \(R\)。由于除式是一次式（次数为 \(1\)），余式必定是一个常数（次数为 \(0\)）。

基本除法恒等式

正如一般的数字运算中，\(\text{被除数} = \text{除数} \times \text{商} + \text{余数}\)，代数运算亦完全遵循这个恒等式：

\(f(x) \equiv d(x) Q(x) + R\)

或者，两边同时除以除式 \(d(x)\)，可以写成分数形式：

\(\frac{f(x)}{d(x)} \equiv Q(x) + \frac{R}{d(x)}\)

关键要点：如果余式 \(R = 0\)，即代表 \(d(x)\) 能整除 \(f(x)\)，亦即 \(d(x)\) 是 \(f(x)\) 的因式（Factor）。

2. 长除法（四步循环法）

进行简易代数除法的标准方法是多项式长除法（Polynomial long division）。它与数字长除法如出一辙，遵循一个不断重复的四步循环记忆法：

第一步：除（Divide）—— 用当前被除式的最高次项，除以除式的第一项。
第二步：乘（Multiply）—— 将新求出的商式项乘以整个除式。
第三步：减（Subtract）—— 从被除式的相应行减去这个乘积。计算负号时务必加倍小心！
第四步：拉下（Bring down）—— 把被除式的下一项拉下来，然后重复整个过程，直至余下项的次数低于除式的次数为止。

记忆口诀：Does McDonald's Sell Burgers?

记住这四个步骤顺序的经典口诀是：Divide、Multiply、Subtract、Bring down（取首字母即 Does McDonald's Sell Burgers?）。

例题一：除以 \((x - a)\) 且余式为零

计算 \((x^3 + 2x^2 - 5x - 6) \div (x - 2)\)。

逐步解题过程：

第 1 个循环：
- 除：用被除式的第一项除以除式的第一项：\(\frac{x^3}{x} = x^2\)。这就是商式的第一项。
- 乘：将 \(x^2\) 乘以 \((x - 2)\)，得出 \(x^3 - 2x^2\)。
- 减：\((x^3 + 2x^2) - (x^3 - 2x^2) = 2x^2 - (-2x^2) = 4x^2\)。
- 拉下：把下一项 \(-5x\) 拉下来，组成新的代数式 \(4x^2 - 5x\)。

第 2 个循环：
- 除：计算 \(\frac{4x^2}{x} = +4x\)。
- 乘：将 \(+4x\) 乘以 \((x - 2)\)，得出 \(4x^2 - 8x\)。
- 减：\((4x^2 - 5x) - (4x^2 - 8x) = -5x - (-8x) = 3x\)。
- 拉下：把常数项 \(-6\) 拉下来，得出 \(3x - 6\)。

第 3 个循环：
- 除：计算 \(\frac{3x}{x} = +3\)。
- 乘：将 \(+3\) 乘以 \((x - 2)\)，得出 \(3x - 6\)。
- 减：\((3x - 6) - (3x - 6) = 0\)。

余式为 \(0\)。因此，商式为 \(x^2 + 4x + 3\)。
我们可以写成：\(x^3 + 2x^2 - 5x - 6 \equiv (x - 2)(x^2 + 4x + 3)\)。

3. 处理缺少特定次数 \(x\) 项的情况

考试中最常见的陷阱之一，就是多项式跳过了某个次数的 \(x\) 项（例如直接从 \(x^3\) 跳到 \(x\)，缺了 \(x^2\) 项）。如果没有设置占位项（Placeholder），同类项就无法在竖式中上下对齐，导致代数计算一片混乱！

黄金法则：被除式必须依照 \(x\) 的降幂完整写出，凡是缺少的项都要补上 \(0x^2\) 或 \(0x\)。

例题二：缺项及余式不为零的除法

将 \(2x^3 - 7x + 1\) 除以 \((x + 3)\)。请将答案写成 \(Q(x) + \frac{R}{x + 3}\) 的形式。

逐步解题过程：

首先，重写被除式以补上缺失的二次项：\(2x^3 + 0x^2 - 7x + 1\)。

第 1 个循环：
- 除：\(\frac{2x^3}{x} = 2x^2\)。
- 乘：\(2x^2(x + 3) = 2x^3 + 6x^2\)。
- 减：\((2x^3 + 0x^2) - (2x^3 + 6x^2) = -6x^2\)。
- 拉下：把 \(-7x\) 拉下来，得出 \(-6x^2 - 7x\)。

第 2 个循环：
- 除：\(\frac{-6x^2}{x} = -6x\)。
- 乘：\(-6x(x + 3) = -6x^2 - 18x\)。
- 减：\((-6x^2 - 7x) - (-6x^2 - 18x) = -7x - (-18x) = 11x\)。
- 拉下：把 \(+1\) 拉下来，得出 \(11x + 1\)。

第 3 个循环：
- 除：\(\frac{11x}{x} = +11\)。
- 乘：\(11(x + 3) = 11x + 33\)。
- 减：\((11x + 1) - (11x + 33) = 1 - 33 = -32\)。

由于 \(-32\) 是常数，无法再被 \(x\) 整除，因此余式为 \(R = -32\)。
商式为 \(Q(x) = 2x^2 - 6x + 11\)。
依题目要求写出最终形式：
\(\frac{2x^3 - 7x + 1}{x + 3} \equiv 2x^2 - 6x + 11 - \frac{32}{x + 3}\)。

4. 除以 \((ax + b)\) 或 \((ax - b)\)

当除式中 \(x\) 的系数不等于 \(1\) 时，运算步骤完全相同。你只需在除的步骤中格外留神，确保除以首项系数 \(a\)。

例题三：除式首项系数大于 1

求 \(6x^3 + 11x^2 - x - 5\) 除以 \((2x - 1)\) 的商式及余式。

逐步解题过程：

第 1 个循环：
- 除：\(\frac{6x^3}{2x} = 3x^2\)。
- 乘：\(3x^2(2x - 1) = 6x^3 - 3x^2\)。
- 减：\((6x^3 + 11x^2) - (6x^3 - 3x^2) = 11x^2 - (-3x^2) = 14x^2\)。
- 拉下：把 \(-x\) 拉下来，得出 \(14x^2 - x\)。

第 2 个循环：
- 除：\(\frac{14x^2}{2x} = +7x\)。
- 乘：\(7x(2x - 1) = 14x^2 - 7x\)。
- 减：\((14x^2 - x) - (14x^2 - 7x) = -x - (-7x) = 6x\)。
- 拉下：把 \(-5\) 拉下来，得出 \(6x - 5\)。

第 3 个循环：
- 除：\(\frac{6x}{2x} = +3\)。
- 乘：\(3(2x - 1) = 6x - 3\)。
- 减：\((6x - 5) - (6x - 3) = -5 - (-3) = -2\)。

商式 \(Q(x) = 3x^2 + 7x + 3\)
余式 \(R = -2\)
写成恒等式形式：
\(6x^3 + 11x^2 - x - 5 \equiv (2x - 1)(3x^2 + 7x + 3) - 2\)。

5. 另类解法：待定系数法（观察法）

在 Pearson Edexcel 考试中，另一个获认可的方法是通过设立恒等式并比较系数来求商式。如果你觉得长除法中的逐行减法容易出错，这个方法提供了一个利落清晰的代数替代方案。

当一个三次多项式 \(f(x)\) 除以一次因式 \((ax + b)\) 时，商式必定是二次式 \(Ax^2 + Bx + C\)，并留下一个常数余式 \(R\)：

\(f(x) \equiv (ax + b)(Ax^2 + Bx + C) + R\)

例题四：运用待定系数法

求 \(2x^3 - 3x^2 + 4x - 7\) 除以 \((x - 2)\) 的商式及余式。

逐步解题过程：

设立恒等式：
\(2x^3 - 3x^2 + 4x - 7 \equiv (x - 2)(Ax^2 + Bx + C) + R\)

依步骤展开右边算式：
\((x - 2)(Ax^2 + Bx + C) + R = Ax^3 + Bx^2 + Cx - 2Ax^2 - 2Bx - 2C + R\)
将相同次数的 \(x\) 项合并：
\(= Ax^3 + (B - 2A)x^2 + (C - 2B)x + (-2C + R)\)

现在比较恒等式两边的系数：

- \(x^3\) 的系数：
\(A = 2\)

- \(x^2\) 的系数：
\(B - 2A = -3\)
\(B - 2(2) = -3 \implies B - 4 = -3 \implies B = 1\)

- \(x\) 的系数：
\(C - 2B = 4\)
\(C - 2(1) = 4 \implies C - 2 = 4 \implies C = 6\)

- 常数项：
\(-2C + R = -7\)
\(-2(6) + R = -7 \implies -12 + R = -7 \implies R = 5\)

因此，商式为 \(2x^2 + x + 6\)，余式为 \(5\)。

6. 常犯错误警示

考评员经常发现，考生失分往往是因为无心之失，而非概念理解不足。请特别提防以下常见陷阱：

1. 相减时正负号出错：在减去负数项（例如 \(-5x - (-8x)\)）时，学生常常误算为 \(-5x - 8x = -13x\)，而正确结果应为 \(-5x + 8x = 3x\)。在相减前，先给下方的算式加上括号，以确保正负号正确！
2. 遗漏缺项：在为 \(x^3 - 4\) 进行除法前，切记务必先将其写成 \(x^3 + 0x^2 + 0x - 4\)。
3. 除法未算完：除法过程必须持续进行，直至余下项的次数严格小于除式的次数为止。面对一次除式时，只有算到剩下单纯的常数（次数为 \(0\)）才可以停笔。
4. 除法时只除了字母：对于 \((2x - 1)\)，切记 \(\frac{6x^3}{2x} = 3x^2\)，而不是 \(6x^2\)。每次进行除法时，数字和未知数必须一同计算。

7. 快速复习与总结清单

- 除式形式：课程要求掌握除以 \((x + a)\)、\((x - a)\)、\((ax + b)\) 或 \((ax - b)\) 这类一次式。
- 恒等式形式：\(\text{被除式} \equiv \text{除式} \times \text{商式} + \text{余式}\)。
- 次数关系：三次多项式（次数为 \(3\)）除以一次式（次数为 \(1\)），所得的商式必定是二次式（次数为 \(2\)），余式为常数（次数为 \(0\)）。
- 余式为零：若 \(R = 0\)，则该一次式是该多项式的因式。
- 下一步：在接下来因式定理与余式定理的课题中，你将直接运用这套除法运算来完整分解多项式。