代數與函數

欢迎来到纯数学 3：代数与函数！

你好！欢迎来到 P3 单元。本章关于“代数与函数”的内容非常重要。虽然其中的一些概念在 P1 或 P2 中可能已经接触过，但我们将进一步深入探讨更复杂、更核心的工具——特别是部分分式（Partial Fractions）和模函数（Modulus Function）。

如果起初觉得有些棘手，不用担心！我们将把每一个概念拆解成清晰、易懂的步骤。掌握这些知识点至关重要，因为部分分式通常是后续在 P3 中计算复杂函数积分的关键，而模函数则引入了一套全新的作图和方程求解技能。让我们开始吧！

第 1 节：代数分式与部分分式

1.1 真分式与假分式（快速回顾）

在开始拆分分式之前，我们必须确保我们的代数分式是一个真分式。

• 真分式：分子的最高次幂（次数）严格小于分母的最高次幂。 示例： \(\frac{2x + 1}{x^2 + 5x - 6}\)（1 次除以 2 次）。
• 假分式：分子的最高次幂（次数）大于或等于分母的最高次幂。 示例： \(\frac{x^3 - 2x + 1}{x^2 - 1}\)（3 次除以 2 次）。

关键步骤：如果你遇到的是假分式，你必须先进行代数长除法。

如果 \(\frac{A(x)}{B(x)}\) 是假分式，你需要将其通过除法转化为以下形式：

\[ \frac{A(x)}{B(x)} = Q(x) + \frac{R(x)}{B(x)} \]

其中 \(Q(x)\) 是商（多项式部分），而 \(\frac{R(x)}{B(x)}\) 现在成为了一个真分式，你可以将其拆分为部分分式。

1.2 部分分式简介

部分分式的过程实际上是分式加法的逆运算。我们将一个复杂的分式拆解为两个或多个更简单的分式，这样处理起来会更容易（特别是在进行积分时）。

情况 A：分母含有不同的线性因子

这是最常见的情况。如果分母可以分解为互不相同的线性项，如 \((ax+b)\) 和 \((cx+d)\)，那么部分分式的结构非常直接。

设定规则：对于分式 \(\frac{P(x)}{(x+a)(x-b)}\)，我们写成：

\[ \frac{P(x)}{(x+a)(x-b)} \equiv \frac{A}{x+a} + \frac{B}{x-b} \]

逐步方法：

1. 写出恒等式（如上所示）。
2. 等式两边同时乘以原分母 \((x+a)(x-b)\)，从而消去分母。
3. 方法 1：代入法（简便方法）

   代入使括号为零的 \(x\) 值（例如 \(x = -a\) 和 \(x = b\)）。这会直接抵消一个未知数（\(A\) 或 \(B\)），从而让你轻松解出另一个。

4. 方法 2：比较系数法

   展开等式右侧，归类 \(x^2\)、\(x\) 以及常数项。令这些项的系数等于原分子对应的系数。这将得出一个联立方程组。

解题小技巧： 务必优先使用代入法求出尽可能多的常数！只有当代入法无法求出所有常数时（例如在情况 B 或 C 中），才考虑使用比较系数法。

情况 B：分母含有重复的线性因子

如果一个因子出现两次，如 \((x+a)^2\)，我们必须同时考虑单因子和平方因子。这是学生最容易犯错的地方！

设定规则：对于分式 \(\frac{P(x)}{(x+a)^2(x-b)}\)，我们写成：

\[ \frac{P(x)}{(x+a)^2(x-b)} \equiv \frac{A}{x+a} + \frac{B}{(x+a)^2} + \frac{C}{x-b} \]

示例：如果分母是 \((x-1)^3\)，你需要三个项：\(\frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x-1)^2} + \frac{C}{(x-1)^3}\)。

求解策略：

1. 使用代入法求出 \(B\) 和 \(C\)。(令 \(x=1\) 求 \(C\)，令 \(x=b\) 求 \(B\))。
2. 代入法结束后，必须使用比较系数法（例如比较 \(x\) 最高次幂的系数）或代入一个容易计算的数（如 \(x=0\)）来求出最后一个未知常数 \(A\)。

情况 C：分母含有不可约的二次因子

不可约二次因子是指像 \(x^2 + 4\) 这样在实数范围内无法进一步分解的二次表达式（即它没有实数根）。

设定规则：对于分式 \(\frac{P(x)}{(x^2+ax+b)(x-c)}\)，其中 \(x^2+ax+b\) 是不可约的，我们写成：

\[ \frac{P(x)}{(x^2+ax+b)(x-c)} \equiv \frac{Ax+B}{x^2+ax+b} + \frac{C}{x-c} \]

注意，二次因子上方的分子必须是线性的（即 \(Ax+B\)）。

求解策略：

1. 利用线性因子进行代入求出 \(C\)。（例如令 \(x=c\)）。
2. 利用比较系数法（特别是最高次幂，如 \(x^3\)，以及常数项）建立联立方程组来求出 \(A\) 和 \(B\)。

第 2 节：模函数（绝对值）

模函数，记作 \(|x|\)，给出了 \(x\) 的绝对值。从概念上讲，它表示一个数到零点的距离，而距离永远是非负的！

2.1 定义与符号

模函数的定义如下：

\[ |x| = \begin{cases}\nx & \text{当 } x \ge 0 \ -x & \text{当 } x < 0 \end{cases} \]

示例： \(|5| = 5\)，而 \(|-5| = -(-5) = 5\)。

2.2 涉及模函数的图像

理解模函数的几何图像至关重要，无论是为了作图还是通过图像解方程。

变换 1：\(y = |f(x)|\)

这意味着在计算函数值之后再取模。

规则： \(y = |f(x)|\) 的图像是通过将 \(y = f(x)\) 中所有位于 x 轴下方的部分反射到正区域（x 轴上方）得到的。负的部分被向上翻转。

比喻： 想象 x 轴是一个合页，所有在合页下面的部分都被翻了上来。

变换 2：\(y = f(|x|)\)

这意味着直接对输入变量 \(x\) 取模。

规则： \(y = f(|x|)\) 的图像总是关于 y 轴对称的。

1. 画出 \(x \ge 0\) 时的函数图像。
2. 擦掉 \(x < 0\) 部分的图像。
3. 将 \(x \ge 0\) 部分的图像沿 y 轴反射，以填充 \(x < 0\) 的区域。

你知道吗？ 满足 \(f(x) = f(-x)\) 的函数被称为偶函数，它们总是呈现 y 轴对称，这正是 \(y = f(|x|)\) 所创造的性质！

2.3 求解含模方程

在求解如 \(|ax + b| = c\) 或 \(|f(x)| = |g(x)|\) 的方程时，有两种可靠的方法。

方法 1：分情况讨论（推荐，更为简单）

由于模号内的表达式可能是正也可能是负，我们测试这两种可能性。

步骤（针对 \(|ax + b| = cx + d\)）：

1. 情况 1（正值）：假设模内表达式为正或零。 \[ ax + b = cx + d \]
2. 情况 2（负值）：假设模内表达式为负。我们必须在表达式前加一个负号。 \[ -(ax + b) = cx + d \]
3. 解这两个线性方程以找到 \(x\) 的所有潜在解。
4. 检查解：务必将算出的解代回原方程进行验证，尤其是当右侧也包含 \(x\) 时。模函数问题有时会产生增根（满足推导出的方程但不能满足原方程的解）。

方法 2：两边平方

如果两边都有模号，平方通常很有效，因为 \(|A|^2 = A^2\)。

示例： \(|x + 1| = |2x - 5|\)
\[ (x + 1)^2 = (2x - 5)^2 \]

这将方程简化为一个标准的二次方程，按常规方法求解即可。此方法始终适用于此类方程，且当两边已经都是模函数时（即均为非负），可以避免增根。

2.4 求解含模不等式

求解模不等式比求解方程需要更加谨慎。我们需要非常依赖定义以及对结果图像的理解。

含常数的不等式（快速技巧）

若 \(a\) 为正常数：

• “小于”（AND/内部）： \(|x| < a\) 意味着 \(x\) 到零点的距离小于 \(a\)。 \[ |x| < a \implies -a < x < a \]
• “大于”（OR/外部）： \(|x| > a\) 意味着 \(x\) 到零点的距离大于 \(a\)。 \[ |x| > a \implies x > a \quad \text{或} \quad x < -a \]

含 \(x\) 在不等式两边（唯一安全的方法）

在求解如 \(|2x - 1| \le x + 4\) 这样的不等式时，平方方法通常是首选，但在处理表达式可能出现的符号时必须极其小心。

推荐方法：平方（但切记符号限制！）

对于 \(|f(x)| \le g(x)\)：

1. 确立右侧限制：由于 \(|f(x)|\) 始终是非负的，为了使解存在，右侧 \(g(x)\) 也必须是非负的。

   必要条件： \(g(x) \ge 0\)。此限制必须包含在你的最终解集中。

2. 两边平方：对两边平方并解由此产生的二次不等式。 \[ (f(x))^2 \le (g(x))^2 \]
3. 合并解：你的最终答案必须同时满足步骤 2 中的解和步骤 1 中的限制。

替代方法：画出 \(y = |f(x)|\) 和 \(y = g(x)\) 的图像，确定图像的相对位置，这是解决复杂模不等式最直观的方法。